数字信号处理第六章 习题答案
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1．用冲激响应不变法将以下H a s变换为H z ，
抽样周期为T。
（1） H as s a s a 2 b 2
解：冲激响应不变法：
Ha
(s)
N k1
s
Ak sk
将H a s 部分分式分解： H(z)kN11TeAskTkz1
Hasssa2ab2
1 1
1
2saAjbsajb
1
H as1 2 sa 1jbsa 1jb
经冲激响应不变法变换后得：
H (z)1 2 1 e a T jb Tz 1 1 e a T jb Tz 1
1eaTz 1cosbT T12eaTz 1cosbTe 2aTz 2
A
2
3．设有一模拟滤波器 H as 1s2s 1
抽样周期 T 2，试用双线性变换法将它转变
为数字系统函数 H z
解：由变换公式
s
c
1 1
z1 z1
及c
2 T
，T
2，可得
s
1 1
z 1 z 1
Hz
Hs a
s1z1
1z1
1 z1 1 z1
2
1
A 11
z1 z1
1
1 z 1 2 3 z 2
3
4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换 导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为 100Hz，系统抽样频率为1kHz。
解：归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：
H a s s 2 1 2 s 1 s 2 1 .4 1 4 1 2 1 3 6 s 1
则将 ss c代入，得出截止频率为 c1002
的模拟原型为
Has20s021.4141213620s01
s2888 3 A.9 54 87 s8 43 .1 98 4784.18
4
H ass2 8 8 8 3 .9 5 4 8 7 s8 4 3 .1 9 8 4 7 8 4 .1 8
经双线性变换得数字滤波器的系统函数：
HzHs a
sT 21 1 zz 1 1
T1/fs1/103(s)
3 9 4 7 8 4 .1 8
2 1 0 31 1 z z 1 1 28 8 8 .5 8 2 1 031 1 z z 1 1 3 9 4 7 8 4 .1 8
0.06412z1z2
11.1683z10.4241z2
A
5
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 c3rads
解：由幅度平方函数： Hj211c4
令 2 s2，则有
HasHas1s1c4
各极点满足下式
s ej22k41
k
c
k1， 2， 3， 4
A
6
则 k 1,2时，所得的 s k 即为H a s 的极点
s1cej3 4322j322 s2cej5 4322j322
由以上两个极点构成的系统函数为
H asss1k0ss2s2 3 k0 2 s 9
代入 s 0时 Has1，可得K0 9，所以
Hass2A392s9
7
17．图P6-17表示一个数字滤波器的频率响应。 1）用冲激响应不变法，求原型模拟滤波器频率响应。 2）用双线性变换法，求原型模拟滤波器频率响应。
解：由图可得
2
5 3
2
3
3
H
e j
2
5 3
2
3
3
0
A , 的其他
8
（1）冲激响应不变法
因为 大于折叠频率 时 H ej 为零，
故用此法无失真。
H ejH aj
又由 ，则有 T
2T53,
HajH ej T 2T53,
A0
2
3T
3T
2
3T
3T
其他 9
2T53,
HajH ej T 2T53,
0
2
3T
3T
2
3T
3T
其他
A
10
（2）双线性变换法
根据双线性变换公式：
HajHajctan 2
得：
c
tan
2
2arctan
c
A
11
2
5 3
2
3
3
H
2arctan
c
e j
2
5 3
0
2
3
3
, 的其他
c
tan
2
4
arctan
c
5 3
3c 3c 3
Ha
j
4
arctan
c
5 3
3c 3c 3
0
A
其他
12
4
arctan
c
5 3
Ha
j
4
arctan
c
5 3
0
3c 3c 3
3c 3c 3
其他
A
13
6、给定模拟滤波器的幅度平方函数为
2+1
H j2 4+6824+256，又有Ha(0) 1.
(1)试求稳定的模拟滤波器的系统函数Ha(s); (2)用冲激响应不变法，将Ha(s)映射成数字滤波器H(z); (3)用双线性变换法，将Ha(s)映射成数字滤波器H(z)。
A
14
2+ 1
解 ： （1）H
j 2
4
+
68
4 2+
25
6
，
H
a
(
s
)
H
a
(
s
)
H
2
j 2s2
s2+ 1 4
s4 -68s2 +256
(1 s)(1 22 (s2 4)(s2
s) ，极点s
64)
2, s
8;零 点 s
1 2
H
a (s)的 极 点 为 s
2, s
8;零 点 选 s
1 2
K (s 1)
H a(s)=
(s
2 2)(s
8) , H a(0)
1, 代 入 上 式 得 K
32
32(s 1)
即
H
a
(
s
)=
(
s
2)(
s
2 8)
A
15
（ 2） 冲 激 响 应 不 变 法 求 H(z)
3 2 (s 1 )
40
-1 3 6
H
a (s)=
(s
2 )(s
2 8)
3 s 2
3 s 8
40 T
-136 T
H
(z)
1
3 e 2T z 1
1
3 e 8T z 1
（ 3） 双 线 性 变 换 法 求 H(z)
s=
2 T
g1 1
z z
1 1
,
H
a (s)=
3
2
(
2 T
g1 1
z 1 z 1
2 (T
g1 1
z 1 z 1
2
)(
2 T
g1 1
1) 2 z 1
z 1
8)
A
16
2+ 1
解 ： （1）H
j 2
4
+
68
4 2+
25
6
，
H
a
(
s
)
H
a
(
s
)
H
2
j 2s2
s2+ 1 4
s4 -68s2 +256
(1 s)(1 22 (s2 4)(s2
s) ，极点s
64)
2, s
8;零 点 s
1 2
H
a
( s )的
极
点
为
s
2,
s
8;零
点
选
s
-
1 2
K (s+ 1)
H a(s)=
(s
2 2)(s
8) , H a(0)
1, 代 入 上 式 得 K
32
32(s+ 1)
即
H
a
(
s
)=
(
s
2)(
s
2
8)
A
17
（ 2） 冲 激 响 应 不 变 法 求 H(z)
H
a (s )=
32(s+ 1 ) 2
(s 2 )(s 8 )
-8 s 2
40 s8
H
(z)
1
-8 T e 2T z 1
40T 1 e 8T z 1
抽样周期为T。
（1） H as s a s a 2 b 2
解：冲激响应不变法：
Ha
(s)
N k1
s
Ak sk
将H a s 部分分式分解： H(z)kN11TeAskTkz1
Hasssa2ab2
1 1
1
2saAjbsajb
1
H as1 2 sa 1jbsa 1jb
经冲激响应不变法变换后得：
H (z)1 2 1 e a T jb Tz 1 1 e a T jb Tz 1
1eaTz 1cosbT T12eaTz 1cosbTe 2aTz 2
A
2
3．设有一模拟滤波器 H as 1s2s 1
抽样周期 T 2，试用双线性变换法将它转变
为数字系统函数 H z
解：由变换公式
s
c
1 1
z1 z1
及c
2 T
，T
2，可得
s
1 1
z 1 z 1
Hz
Hs a
s1z1
1z1
1 z1 1 z1
2
1
A 11
z1 z1
1
1 z 1 2 3 z 2
3
4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换 导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为 100Hz，系统抽样频率为1kHz。
解：归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：
H a s s 2 1 2 s 1 s 2 1 .4 1 4 1 2 1 3 6 s 1
则将 ss c代入，得出截止频率为 c1002
的模拟原型为
Has20s021.4141213620s01
s2888 3 A.9 54 87 s8 43 .1 98 4784.18
4
H ass2 8 8 8 3 .9 5 4 8 7 s8 4 3 .1 9 8 4 7 8 4 .1 8
经双线性变换得数字滤波器的系统函数：
HzHs a
sT 21 1 zz 1 1
T1/fs1/103(s)
3 9 4 7 8 4 .1 8
2 1 0 31 1 z z 1 1 28 8 8 .5 8 2 1 031 1 z z 1 1 3 9 4 7 8 4 .1 8
0.06412z1z2
11.1683z10.4241z2
A
5
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 c3rads
解：由幅度平方函数： Hj211c4
令 2 s2，则有
HasHas1s1c4
各极点满足下式
s ej22k41
k
c
k1， 2， 3， 4
A
6
则 k 1,2时，所得的 s k 即为H a s 的极点
s1cej3 4322j322 s2cej5 4322j322
由以上两个极点构成的系统函数为
H asss1k0ss2s2 3 k0 2 s 9
代入 s 0时 Has1，可得K0 9，所以
Hass2A392s9
7
17．图P6-17表示一个数字滤波器的频率响应。 1）用冲激响应不变法，求原型模拟滤波器频率响应。 2）用双线性变换法，求原型模拟滤波器频率响应。
解：由图可得
2
5 3
2
3
3
H
e j
2
5 3
2
3
3
0
A , 的其他
8
（1）冲激响应不变法
因为 大于折叠频率 时 H ej 为零，
故用此法无失真。
H ejH aj
又由 ，则有 T
2T53,
HajH ej T 2T53,
A0
2
3T
3T
2
3T
3T
其他 9
2T53,
HajH ej T 2T53,
0
2
3T
3T
2
3T
3T
其他
A
10
（2）双线性变换法
根据双线性变换公式：
HajHajctan 2
得：
c
tan
2
2arctan
c
A
11
2
5 3
2
3
3
H
2arctan
c
e j
2
5 3
0
2
3
3
, 的其他
c
tan
2
4
arctan
c
5 3
3c 3c 3
Ha
j
4
arctan
c
5 3
3c 3c 3
0
A
其他
12
4
arctan
c
5 3
Ha
j
4
arctan
c
5 3
0
3c 3c 3
3c 3c 3
其他
A
13
6、给定模拟滤波器的幅度平方函数为
2+1
H j2 4+6824+256，又有Ha(0) 1.
(1)试求稳定的模拟滤波器的系统函数Ha(s); (2)用冲激响应不变法，将Ha(s)映射成数字滤波器H(z); (3)用双线性变换法，将Ha(s)映射成数字滤波器H(z)。
A
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2+ 1
解 ： （1）H
j 2
4
+
68
4 2+
25
6
，
H
a
(
s
)
H
a
(
s
)
H
2
j 2s2
s2+ 1 4
s4 -68s2 +256
(1 s)(1 22 (s2 4)(s2
s) ，极点s
64)
2, s
8;零 点 s
1 2
H
a (s)的 极 点 为 s
2, s
8;零 点 选 s
1 2
K (s 1)
H a(s)=
(s
2 2)(s
8) , H a(0)
1, 代 入 上 式 得 K
32
32(s 1)
即
H
a
(
s
)=
(
s
2)(
s
2 8)
A
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（ 2） 冲 激 响 应 不 变 法 求 H(z)
3 2 (s 1 )
40
-1 3 6
H
a (s)=
(s
2 )(s
2 8)
3 s 2
3 s 8
40 T
-136 T
H
(z)
1
3 e 2T z 1
1
3 e 8T z 1
（ 3） 双 线 性 变 换 法 求 H(z)
s=
2 T
g1 1
z z
1 1
,
H
a (s)=
3
2
(
2 T
g1 1
z 1 z 1
2 (T
g1 1
z 1 z 1
2
)(
2 T
g1 1
1) 2 z 1
z 1
8)
A
16
2+ 1
解 ： （1）H
j 2
4
+
68
4 2+
25
6
，
H
a
(
s
)
H
a
(
s
)
H
2
j 2s2
s2+ 1 4
s4 -68s2 +256
(1 s)(1 22 (s2 4)(s2
s) ，极点s
64)
2, s
8;零 点 s
1 2
H
a
( s )的
极
点
为
s
2,
s
8;零
点
选
s
-
1 2
K (s+ 1)
H a(s)=
(s
2 2)(s
8) , H a(0)
1, 代 入 上 式 得 K
32
32(s+ 1)
即
H
a
(
s
)=
(
s
2)(
s
2
8)
A
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（ 2） 冲 激 响 应 不 变 法 求 H(z)
H
a (s )=
32(s+ 1 ) 2
(s 2 )(s 8 )
-8 s 2
40 s8
H
(z)
1
-8 T e 2T z 1
40T 1 e 8T z 1