五年级奥数数阵图(三)学生版
五年级下册数学奥数有趣的数阵图人教版
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
假设重叠数是a、b、c 5+6+7+8+9+10+a+b+c=24×3
45+a+b+c=72 a+b+c=27
8+9+10=27
8 76 9 5 10
2 9 561 3 8 45～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
中间的三个数只加一次， 三个角上的数都加了两次， 有三个数要设字母吗？
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
1
3
2
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
5
36+a+b=42 a+b=6
4
8
7
1+5=6或2+4=6
将1、3、5、7、9、11、13、15这八个数，分别填入图中的 八个○内，使得每个大圆上五个○内数的和都是39。
1+3+5+……+15=64
3
5
1
39×2-64=14
7
9
中间的两个圆圈数重叠一次， 15 13 11
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
数阵问题(课件)-数学五年级上册(共20张PPT)人教版
4 5
解析: 求和：1+2+3+4+5+6+7=28
10×3=30 作差：30-28=2 中间圆圈里的数字被重复用了 两次，所以中间的数字是： 2÷2=1 配对：一大配一小。
8
练习2
1、用1、2、3、4、5、6、7填入下面圆内，使每条直 线上三数之和等于12（或=14）。
9
9
练习2
16
例4 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下图
中的○内，使每一个圆周上的五个数之和都等于21。
解析： 求和： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36。
21×2=42。 作差：42－36=6。 拆数：6=2+4， 所以中间两个数为4,2。
17
练习4
1.将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填 入下图中的○内，使每一个圆圈上的五个数的 和都等于22。
数阵问题
引入
数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有 时简称数阵
大王，求求你放了 我们吧！
例1 用1、2、3、4、5填入下面方框，使每三个数之和等于8 。
5 314
2
解析: 求和：1+2+3+4+5=15。
8+8=16。 作差：16-15=1 （中间方格里的数字被重复使用一次，这个 重复使用的数字是16－15=1,所以中间的方格 应填数字1）。 配对（2和5、3和4）
4
练习1
1、用1、2、3、4、5填入下面方块，使每三个数之和等 于9（或=10）.
5
练习1
2、用1、3、5、7、9填入下面方块，使每三个数之和等 于17。
五年级奥数第4讲：数阵-课件
练习五（选做）
如下图的五个连环，他们相交后分成九个区域，现在两个区域 里已分别填进数字10和6，请在另外七个区域里分别填上2、3、4、 5、6、7、9这七个数，使每个圆内数字的和都是15。
10 5
6 72
96
3
4
排除法
从两头做为突破口
两数之和等于 15-9=6
6=2+4
总结
运用数的总和与每行和的总和关系，利用数和倍数的 特点，先确定几个数，然后用排除法找出正确答案。
8
9
b2 4 8 c3
2573
小结
1. 理解幻方里总和、幻和、阶数的概念，总和=幻和×阶数， 奇数阶幻方中心数=幻和÷阶数。 2. 解决封闭数阵的时候，学会用总和的思想求顶点数，同时 利用自然数、倍数等数的特性辅助求解，并对得出的组合逐一 排除，最后得到正确答案。
2、3、5倍数的特征 什么是偶数？
还有其它填法吗？
（61，2，89）（67，2，83）（71，2，79） 两两组合共有3种
例题五（选讲）
将1～9这九个数分别填入下图的○里，使外三角形边上○内数 之和等于里面三角形边上○内数之和。
1
两个三角形2共同的点
637 45
三个数的和等于 三个数的和
618
想想符合这样的组合？
37
2
8
94
9
5
你们还能想到更多的答案吗？
所2是有质的偶数数都2不8是是质偶数数吗？ 3个质数相加是偶数 奇数+偶数+奇数=不同的质数，其中的四个数都在60～90之间， 要使横行、竖行的三个数的和都是152，可以怎么填？
61 67 2 83
89
3个质数相加是偶数 奇数+偶数+奇数=152 又是偶数又是质数的是2
五年级奥数数阵图(三)学生版
1.五年级奥数数阵图（三）学生版2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点[或方格]和关键点[或方格]； 第二步：在数阵图的少数关键点[一般是交叉点]上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,而且这个等差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【例 2】 将1~9填入下图的○中,使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l,2,3,4,5,6,7,8[1已填出]．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈,这个圆圈中若填n[n≤8]。
则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈．依此下去,走7次恰好不重复地进入每个圆圈,最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。
现在请你调整一部分数的位置,但保留1、10、5、6不动,使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。
【例 5】图中是一个边长为1的正六边形,它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形,把每个菱形的四个顶点上的数相加,填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：a b g f A+++=）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除,那么a g d⨯⨯=___________．【例 6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数,使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。
第四讲-有趣的数阵图学生版-奥数教程-讲义
第四讲有趣的数阵图经典精讲:数阵图: 将一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。
数阵图是一种趣味性很强的填数游戏, 它的形式多样, 绚丽奇妙。
这里给同学们介绍三种形式的数阵图, 即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
（一）辐射型数阵图（像雪花）从一个中心出发, 向外作若干条射线, 在每条射线上安放同样多个数, 使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中间数, 多算的次数, 公共的和线数x公共的和=数和+中心数x重复次数【例1】把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中, 使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
【例2】把1—7这七个数分别填入图1中的各○内, 使每条线段上三个○内数的和相等。
【课堂练习】将1～11这11个数分别填入图11中的方格内, 每个数只许用一次, 使相邻两个或三个方格内数的和都相等。
（二）封闭型数阵图（像围墙）多边形的每条边放同样多的数, 使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字, 公共的和边数x公和=数和+重叠数和【例3】把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内, 使每条边上三个○内数的和相等。
（本题有24种填法, 你能想出几种？）【例4】将2—9这八个数分别填入右图的○里, 使每条边上的三个数之和都等于18。
【课堂练习】1.1—10这十个数, 分别填在图9中五边形五条边上的十个○内, 并使五条边上的三个○内数的和相等。
2.把1—8这8个数, 填入图13中的八个○内, 使每条线段上的四个数的和, 与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。
（三）复合型数阵图既有辐射型数阵图的特点, 又有封闭型数阵图的特点。
突破点: 找出关键位置重复次数。
【例5】将1～7这七个数分别填入下图的○里, 使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
【课堂练习】1.将1.2.3.4.5.6六个数字填入图中的小圆圈内, 使每个大圆上四个数字的和是16。
2. 将1—8这八个数, 分别填入图10中两个圆圈的八个○内, 使每个圆圈上五个○内数的和分别为20、21.22。
五年级下册数学奥数课件--.9有趣的数阵图 人教版 (共25张PPT)
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例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
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将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上 五个数之和相等（至少找出两种本质上不同的填法）。
2 9 561 3 8 4 7
1 8 369 4 5 2 7
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例2：将1～10填入○中，使每条线上四个数之和相等。你 有几种填法？
假设重叠数是a 1+2+3+…+9+10+a+a =55+a+a 55+a+a是3的倍数 a= 1 或4 或7 或10
例2：将1～10填入○中，使每条线上四个数之和相等。你 有几种填法？
我发现一条直线上四个数相加时，中间的 数加了三次，其他的三个数只加一次。而 且，和前面不一样的地方是：没有告诉我 们直线上的和是多少。
趣味数阵-小学五年级奥数
分析：设中心数为a，中心数在计算 和的过程中用到了3次。 3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＋2a
k=(28＋2a)÷3
当a=2时，k=32÷3，有余数，舍去；
解答：每条边上的3数之和为k。 =28＋2a 当a=1时，k=30÷3=10； …… ……
例四，将1～11这11 个数字填入下图的 ○中，使每条线段 上的三个○内的数
因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以
答 案 ：
=21＋a＋b＋c
当a=1，b=2，c=3时，k=27÷3=9（最小 值）
因此，k的值是9、10、11、12。
3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6)＋(a＋b＋c)
k=(21＋a＋b＋c)÷3
当a=4，b=5，c=6时，k=36÷3=12（最大 值）
例六，将1～8这八个数字填 在下图的8个○内，使每条边 上的和都相等。
02
每条边上的3数之和为k。
03
3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＋ a
04
=36＋a
05
k=(36＋a)÷3
06
经实验：
07
当a=3时，k=39÷3=13;
08
当a=6时，k=42÷3=14。
例二，请你将 1～7这七个数 分别填在○内， 使每条线段上 的三个数的和 相等。
答案：
01
02
03
大 家 ！
谢 谢
这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4。每条边及每个圆周上的三 数之和等于(56＋4)÷5＝12。
中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5。于是得到 下图的填法。
分析：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上 的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数。
奥赛起跑线五年级分册-数阵问题
数学奥赛起跑线五年级分册例题及答案第20讲[数阵问题思考与练习(一)](二四为肩,六八为足;上九下一,左七右三.)1.按三个填数步骤把4~12这9个数填在下图(一)3×3的方格内,制成三阶幻方.7 12 5 12 17 10 17 27 13 14 28 66 8 10 11 13 15 15 19 23 8 16 2411 4 9 16 9 14 25 11 21 26 4 18图(一) 图(二) 图(三) 图(四)2.用”杨辉法”,将9~17这9个数制成三阶幻方.(见上图二)3.用11,13,15,……,25,27这9个数制成一个三阶幻方.(见上图三)4.用4,6,8,14,16,18,24,26,28制成一个三阶幻方.(见上图三)5.在下图(五)空格内填上适当的数,使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为27.8 14 614 24 1914 24 196 912 14 24 19 24 19 1413 4 1014 24 1919 14 24图(五) 图(六)6.将上图(六)中的数重新排列,使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等.7.在下图(七)的空格内填入不相等的数,使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.问:图中左上角的数是多少?解:如右图(七),设图中左上角的数是m,相应的方格中数为. x1，x2，x3，x4m x1x2n2n9n4由已知得:m+x1+x2=x1+x3+13(1),m+x3+x4=x2+x4+19(2), x319n7n5n3 (1)+(2)得:2m+x1+x2+x3+x4=13+19+x1+x2+x3+x4．2m=13+19,即m=16. 13x4 n6n1n8图(七) 图(八)8.将九个不同的非零自然数填入九宫图中,使得每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等.(见图八) 解:n2×n9×n4=n(2+9+4) =n15, n7×n5×n3=n(7+5+3) =n15……9.将3,4,5,6,……,18这16个数编制成四阶幻方.(见图九)10.将3,5,7,9,……,33这16个数编制成四阶幻方.(见图十)3 17 16 6 3 31 29 914 8 9 11 25 13 15 1910 12 13 7 17 21 23 1115 5 4 18 27 7 5 33图(九) 图(十)第21讲[数阵问题思考与练习(二)]1.将1~9这九个数填入”七一”的每个小方格内,使每一横行、竖列的数字和都是13.2.将1~7这七个数分别填入右图的O里,使每条线段上3个数的和等于10.3.将1~13这13个数分别填入右图的O内,使每条线段上四个O内的数之和相等.4.将10~20填入右图的O内(其中15已填好),使得每条线段上的三个数之和都相等.5.将1~6这六个数分别填入右力的O内,使每条线段上三个O内所填数的和相等.6.将1~10这十个自然数填入右图的O中,使五边形每条边上的三个数之和相等,并使和尽可能小.7.将1~9这九个自然数分别填入右图九个小三角形中,使每四个小三角形组成的大三角形内的四个数的和等于20.8.将1~9这九个自然数分别填入右图九个小三角形中,要求靠近大三角形每条边的五个数的和相等,并尽可能地大.这五个数之和最大是多少?9.将1~8这八个数填入右图的方格内,使上面四格、下面四格、左面四格、右面四格、中间四格、对角线四格和四角四格内四个数相加的和都是18.10.将1~9这九个自然数填入右图的O内,使对角线上五个O内数的和相等,每个正方形四个顶点上数的和也相等.23 1 9 5 846 7图(一)。
五年级奥数专题-有趣的树阵图
五年级奥数专题-有趣的树阵图把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图,即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法,我们举例说明.一、例题与方法指导例1. 在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数）,使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
思路导航：由上一讲例4知中间方格中的数为7。
再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数（含x）。
因为九个数都不大于12,由16－x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10。
考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10。
经验证,当x＝6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。
这两个解实际上一样,只是方向不同而已。
例2. 将九个数填入下图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明：思路导航：设中心数为d。
由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。
由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c（见下图）。
根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）,3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c,d——c＋b＝d——a＋c,2c＝a＋b,a＋bc＝2。
值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同。
例3. 在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。
思路导航：由上一讲例4知,中心数为90÷3＝30；由本讲例2知,右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。
五年级下册数学奥数课件有趣的数阵图人教版共25张
解答数阵图的关键是重叠数，所以 填数阵时，一般优先考虑重叠数。可 以把这个数用括号或字母表示，列出 等式，再根据条件解答出来。
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
4
36+a+b=42
5
7
8
a+b=6
1+5=6或2+4=6
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
不论这5个数填在哪里，从整体来 看，5个数都加了1次，其中有1 个数还多加了一次，得到了2个和， 也就是6个数相加等于2×9=18。
例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内， 使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9。
假设重叠数是a 1+2+3+4+5+a=9×2
15+a=18 a=3
将1～9分别填入下图的九个圆圈中，使每条边相加的和等于17。
1+2+…+8+9=45
17×3-45=6 三个顶点重叠一次，即三个 顶点数之和为6
6=1+2+3
1
89
6
4
2573
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
按照前面学习的方法， 先列出一个等式，再考虑三 个未知的数吧。
人教版小五数学专题(数阵图---难度5星)
--------数阵图(★★★★★)1.学习简单的数阵图；2.学习解决简单的数学问题。
知识结构我们在以前已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。
本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。
我们先从一道典型的例题开始。
(★★★★★)把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。
20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13，于是得到下图的填法。
(★★★★★)在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。
(★★★★★)将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。
分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。
2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。
其余数的填法见右上图。
(★★★★★)在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。
分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。
10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。
(★★★★★)在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。
五年级奥数专题 数字找规律(学生版)
学科培优数学数字找规律学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在今天这节课中,我们将来研究数列问题．正确认识数列,并且掌握研究数列、发现数列规律的方法,以及获得利用规律解决问题的能力.知识梳理一、日常生活中,我们经常接触到许多按一定顺序排列的数,如：自然数：1,2,3,4,5,6,7, (1)年份：1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996 （2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45,45,44,46,45 （3）像上面的这些例子,按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,其中第1个数称为这个数列的第1项,第2个数称为第2项,…,第n个数就称为第n项.如数列（3）中,第1项是45,第2项也是45,第3项是44,第4项是46,第5项45。
根据数列中项的个数分类,我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列,把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列,上面的几个例子中,（2）（3）是有穷数列,（1）是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性,以作为解决问题的依据,本讲将从简单数列出发,来找出数列的规律。
注：从日常生活中找出例子来举例说明,数列在生活中处处相关,例如日期,时间,年龄等等二、重点难点解析1、掌握一些常见的数列的规律.2、掌握一些特殊数列的规律,并熟练应用规律解决问题.3、理解掌握运用数列规律解决数阵问题.三、竞赛考点挖掘1.数列规律的发现2.综合数列的区分和解答例题精讲【试题来源】【题目】观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在括号中填上合适的数.①2,5,8,11,（）,17,20②19,17,15,13,（）,9,7③1,3,9,27,（）,243④64,32,16,8,（）,2【试题来源】【题目】（1） 1,1,2,3,5,8,（）,21,34…（2） 1,3,4,7,11,18,（）,47…（3） 1,3,6,10,（）,21,28,36,（）.（4） 1,2,6,24,120,（）,5040。
五年级奥数-数阵图与数字谜(含解析)
数阵图与数字谜教学目标1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。
精讲讲练数阵图数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。
【例1】 （2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。
【分析】 由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的三个数的和都加起来，总和应为12336⨯=，在其中，A 、B 、C 各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29-÷=。
【例2】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将112:这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。
【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S ，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S ；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。
所以，6(12312)2S =++++⨯L ，得到26S =，即所求的相等的和为26。
【例3】 （2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 表示110:这10个各不相同的数字。
表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“14G C +=”。
请将表中其它的数全部填好。
C BA【分析】 由于5A F +=，14B F +=，所以1459B A -=-=，所以A 和B 只能是0和9。
因此可以推出：0A =，9B =，6C =，3D =，2E =，5F =，8G =，1H =，4I =，7J =。
可得右下图。
【例4】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入33⨯的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
五年级奥数第09讲-数阵(学)
学科教师辅导讲义知识梳理一、数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。
数阵是一种由幻方演变而来的数字图。
二、数阵图的分类封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
三、数阵图的解法（1）辐射型数阵图方法一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数；方法二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1（2）封闭型数阵图公式：线和×线数=数字和+重叠数之和（3）复合型数阵图综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。
典例分析考点一：辐射型数阵图例1、把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
例2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
考点二：封闭型数阵图例1、将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.例2、将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上。
应如何填？例3、把1~9 这9 个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4 个圆内数之和都是23。
考点三：复合型数阵例1：将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
例2：将1～10这十个数填入图中的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23，应怎样填？实战演练➢课堂狙击1、将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)2、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
3、在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。
小学奥数举一反三五年级数阵问题PPT课件
• 一、知识介绍
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正 方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正 方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、 十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。这 里，和同学们讨论一些数阵的填法。
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• 一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
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• 例4 将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。 第16页/共19页
• 解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若 都是12，数字总和便是12×4＝48，可是1～8八个数字 总和只有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复 使用，才能解决。因此，必须把四个公用顶角的数字和填 成12。把1～8八个数四个一组，和为12的有： 6＋3＋2＋1 5＋4＋2＋1 上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的 数字。
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• 例3 将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。 第8页/共19页
• 解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数， 每条线上的数字和才能相等。
1～11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4， 可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复使用4次， 填1恰符合条件。
三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9， 才能符合条件。
确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！ 这题还可有许多解法，上图只是其中一种。
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• 例2下图是四个互相联系的三角形。把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数 字的和都是15。
a小学数学奥赛5-1-3-3 数阵图(三).教师版
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
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1.
五年级奥数数阵图（三）学生版
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵
图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
数阵图与数论
【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,
而且这个等差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．
【例 2】 将1~9填入下图的○中,使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数．
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-1-3-3.数阵图
【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l,2,3,4,5,6,7,8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈,这个圆圈中若填n(n≤8)。
则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另
一个圆圈．依此下去,走7次恰好不重复地进入每个圆圈,最后进入的一个圆圈
中写8．请给出两种填法．
【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。
现在请你调整一部分数的位置,但保留1、10、5、6不动,使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数
之和（画在另一个圆上）。
【例 5】图中是一个边长为1的正六边形,它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、
14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形,把
每个菱形的四个顶点上的数相加,填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例
如：a b g f A
+++=）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除,那么a g d
⨯⨯=___________．
【例 6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数,使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。
请问这样的填法存在吗?如存在,请给出一种填法；如不存在,请说明理由。
【例 7】如图ABC
被分成四个小三角形,请在每个小三角形里各填入一个数,满足下面两
个要求：(1)任何两个有公共边的三角形里的数都互为倒数(如：2
3
和
3
2
是互为倒
数)；(2)四个小三角形里的数字的乘积等于225。
则中问小三角形里的数是
A
C
B
【例 8】（2010年第8届走美杯3年级初赛第8题）2010年是虎年,请把1~11这11个数不重复的填入虎额上的“王”字中,使三行,一列的和都等于18
【例 9】将1～9这9个数字填入下图的9个圆圈内,使得每条线段两端上的两个数字之和各不相同（即可得到12个不同的和）。
【例 10】在棋盘中,如果两个方格有公共点,就称为相邻的。
右图中A有3个相邻的方格,而B有8个相邻的方格。
图中每一个奇数表示与它相邻的方格中,偶数的个数（如3
表示相邻的方格中有3个偶数）,每个偶数表示与它相邻的方格中,奇数的个数（如
4表示相邻的方格中有4个奇数）。
请在下面的4×4的棋盘中填数（至少有一个奇
数）,满足上面的要求。
3
4
B A
【例 11】 在右图所示的5 5方格表的空白处填入适当的自然数,使得每行、每列、每条对
角线上的数的和都是30。
要求：填入的数只有两种不同的大小,且一种是另一种的2倍。
61
75
1
6
14
135
【例 12】 请在右图所示4×4的正方形的每个格子中填入l 或2或3,使得每个2×2的正方形
中所填4个数的和各不相同。
【例 13】 请在8×8表格的每个格子中填人1或2或3,使得每行、每列所填数的和各不
相同。
【例 14】 在8×8表格的每格中各填入一个数,使得任何一个5×5正方形中25个数的平均数
都大于3,而整个8×8表格中64个数的平均数都小于2．
【例 15】 将最小的10个合数填到图中所示表格的10个空格中,要求满足以下条件：
（1）填入的数能被它所在列的第一个数整除
（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。
那么,最后一行中5个数的和
最小是
【例 16】老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1,2,……,31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数,则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同
学中至少需要选出人,才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学
是“好朋友”．。