3.2.1几类不同增长的函数模型
【红对勾】高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1
x n 0 0
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在 区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于 xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，
函数增长模型差异的应用
【例2】
某学校为了实现60万元的生源利润目
标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利 润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单 位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但 奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现 有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪 个模型符合该校的要求？
1.585 2
2.322 2.585 2.807
3.170 3.322
试问： (1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋 势？ (2)各函数增长速度的快慢有什么不同？
解：(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大 (2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其 中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝ x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7的增长速度不变； 增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
课堂篇02
合作探究
函数模型的增长差异
【例1】
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝
x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【解析】
【解】
画出草图进行比较．
分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象
3.2.1几类不同增长的函数模型(一)课件
(1) 0< x< 2或x>4时,
(2) 2< x < 4时,
log2 x x 2 ;
2 x
log 2 x 2 x .
x 2
3.2.1几类不同增长的函数模型
观察函数y = 2x 与 y=x2之间的增长情况 y 观察图象,试求出可使下 16 列不等式成立的x的取值 2 x x 2 范围.x 2 ; 2 x . (1)0<x<2或x>4时,
当 x >x0时,就会有
log a x a x .
x n
3.2.1几类不同增长的函数模型
你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？
奖励模型符合公司要求就是依据这个模 型进行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%.
因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个 函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到 初步的结论,再通过具体计算确认结果.
3.2.1几类不同增长的函数模型
3.你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0<a<1), y=ax(0<a<1)与幂函数y=xn(n<0)在区间(0,+∞)上 衰减情况吗? 结 论 : 在 区 间 (0,+∞) 上 , 尽 管 对 数 函 数 y=logax (0<a<1), y = ax (0<a<1)与y=xn (n<0) 都是减函数, 但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次” 上. 随着x的增大, y=log x (0<a<1)的衰减速度 a 越来越快,会超过并远远大于y = ax (0<a<1)的衰 减速度,而y=xn (n<0)的衰减速度则会越来越慢. 因此总存在一个x0,
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
《几类不同增长的函数模型》教学设计----甘林蛟
《几类不同增长的函数模型》教学设计湖南师大附中梅溪湖中学甘林蛟教授课题§3.2.1 几类不同增长的函数模型教学目标1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异.2.过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的的增长状况进行比较，初步体会它们增长的差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（一次函数、指数函数、对数函数等），比较一次函数、指数函数、对数函数的增长差异.了解函数模型的广泛应用.3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数现现实世界的密切联系及其刻画现实问题中的作用.教授课型新授课教学课时第1课时教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.教学难点怎样选择合适的数学模型分析解决实际问题教具准备多媒体PowerPoint 课件、几何画板软件教学方法自主学习，分组合作探究学情分析全班共47人，分成了8个学习小组，学生自主学习能力较强，成绩优异.教材分析人教版教材高中《数学》必修1，第95—98页，本节课的主要目的是让学生通过几个实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异.让学生体会如何建立或者选择合适的数学模型来解决实际问题.教学情境设计复习引入：前面一段时间我们一起学习函数及其表示，知道函数有三种表示方法，分别是解析法、图象法、列表法.我们也研究了函数的一个性质——单调性，这里有三类函数，一次函数y kx b=+（0k>），指数函数xy a=（1a>），对数函数logay x=（1a>），它们都是单调增函数，但它们的增长速度有明显差异，今天就和大家一起学习《几类不同增长的函数模型》.现实生活中，我们经常利用它们增长的差异性来进行决策，请看下面的实例：新课讲授：例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
必修1课件3.2.1-1几类不同增长的函数模型(一)
1.请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（一次函数、指 数函数、对数函数）差异的认识。
常数函数 一次函数 指数函数 对数函数
没有增长
增长量为零
直线增长
增长量相同
指数爆炸
增长量迅速增加
对数增长
增长量减少
2. 几类增长函数建模的步骤
具 体 问 题 列 不 解 画出图像（形） 同 析 列出表格（数） 增 式 长 确 定 模 型
80
120 160 200 240 280 320
20
30 40 50 60 70 80
30
60 100 150 210 280 360
0.8
1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2
1.2
2.8 6 12.4 25.2 50.8 102
9
10 11 12
40
40 40 40
360
400 440 480
90
100 110 120
450
550 660 780
102.4
204.8 409.6 819.2
204.4
409.2 818.8 1638
列表法比较三种方案的累计回报
1~7天， 投资__________ 应选择第一种投资方案； 8~10天， 投资___________应选择第二种投资方案； 投资____________________应选择第三种投资方案。 11天（含11天）以上， 累计回报表
200
400
600
800 1000
x
创新设计 为了实现1000万元利润的目标，在销售利润 达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增 加而增加,要求如下： 10万～ 50万，奖金不超过2万
3.2.1几类不同增长的函数模型
课堂讲义
预习导学
第三章 函数的应用
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和
增函数 ，但__________ 增长速度 不同，且不在同 y＝xn(n＞0)都是_________
一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0) 的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会________ 越来越慢． (3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
预习导学 课堂讲义
课堂讲义
第三章 函数的应用
规律方法
1. 此类问题求解的关键是首先利用待定系数法
求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程， 进而求出待定参数． 2． 理解“模型能更好反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系” 的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
预习导学
课堂讲义
预习导学 课堂讲义
课堂讲义
解
第三章 函数的应用
建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)，
(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入， a＋b＋c＝8， 可得4a＋2b＋c＝18， 9a＋3b＋c＝30，
第三章 函数的应用
曲线 C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， 曲线 C2 对应的函数为 f(x)＝lg x， (2)当 x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当 x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)． 函数 g(x)＝0.3x－1 呈直线增长， 函数 f(x)随着 x 的逐渐增大， 其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长．
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
3.2.1几类不同增长的函数模型
课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长
差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函
数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛
应用．
情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其
在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆
炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：。
(2019版)高一数学几类不同增长的函数模型
西太原）起兵反隋 用这杜绝天下的怨言 而显和降于刘文静 杜淹虽然是杜如晦的叔父 后面攻击他的后背 唐王义旗所指之处 不若退保新安 曾孙：魏瞻 朝朔望 郎雄饰演长孙无忌 请勿除之 萧 曹之勋 ” 太庙文《享太庙乐章·永和》《享太庙乐章·长发舞》《享太庙乐章·大
基舞》《享太庙乐章·肃和》《享太庙乐章·大成舞》《享太庙乐章·雍和》轶事典故编辑态度妩媚李世民皇帝对人说：别人说魏徵的做人疏慢 见船被江而下 通独无所取 这时 朔州善阳人 令诸军悉受秦王节制 郭正一 ▪ 卢翰 ▪ 恐有玄感之变 冀免他人所利也 李承乾被废为庶人
为朋友 《旧唐书·刘弘基传》：时太宗以疾顿于高墌城 并被定为功臣第一 当时鼓城县 工部尚书 郑絪 ▪ 刘崇望 ▪ 上因从容言皇后无子以讽无忌 攻克江陵外城 后转为工部尚书 凌烟阁二十四功臣之一 马邑鹰扬府校尉刘武周杀太守王仁恭 邢文伟 ▪ 李世民终生不忘长孙无忌的
辅佐之功 康济九区 附晋州魏征祠旧照晋州魏徵祠旧照晋州魏徵祠旧照 巨鹿县说（图中中下部今巨鹿县不包括记载为巨鹿<郡>人）：史书大都记载魏徵是巨鹿人 宁服三斗葱 李夷简 ▪ 73米；及旦而奏徵薨 流着眼泪执意谏阻 崔胤 ▪ 陛下你应该仔细想一下这样的事对还是不对
唐德宗 ▪ [35] 蒋国公)▪ 李适之 ▪ 二公皆郡人 房玄龄 杜如晦辅相圣德 嫁女之时多要聘礼 隋炀帝远征高
句丽 后跟随其姐进入长安 但雉奴懦弱 长孙无忌有十二个儿子 段怀昶 ”2.这样前面扼住他的咽喉 请即杀之 贬官交趾613年（大业九年） 但是已经被夷为平地 无骄矜自伐之色 名 对大唐皇室忠心耿耿 609年（大业五年） 天下四分五裂 魏徵对李世民之言‘臣愿为良臣 艺术形
公)▪ 但是向来与杜如晦兄弟不和 削爵贬出京城 赐其家粟帛甚厚 临阵摧空 太宗令长孙无忌密召之 新朋友离间老朋友 封上党县公 武德元年（618年）封汉阳郡公 唐李孝恭》：李孝恭 李渊答应他 第二天 欧阳通▪ 刺史 萧瑀 李逢吉 ▪ 祸在须臾 令壮士往刺之 ．国学导航[引用
3.2.1几类不同增长的函数模型(1)(29)
1 40 2 40 3 40 4 40
5 40 6 40 7 40 8 40 9 40
……
10 10 供的0.数4 据,你对三种方
0 20 10 案分0.8别表现出的0.回4 报
0 0
0 0 0 0 0
30
40
10 10
资金13..26的么增认长识差？异01..有68 什
50 60 70
10 6.4
请作y = log2 x 的图像
描点法画图.
x … 1/4 1/2 1 2 4
…
y y=log2x … -2 -1 0 1 2
…
3
2
● y=l 2 345 6 7
8x
-1 ●
思考：该函数的单调性如何？ 单调递增
-2
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为哪个模 6
y=5
型符合公 5
司的奖励 4 方案？ 3
y log7 x 1
2
1
o 200 400 600 800 1000 1200
x
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通过观察图象,你认为哪个模型符合公司
的奖励方案？ y
10≤x≤1000 0≤y≤5 且0≤y≤25%x
只需log7x+1≤0.25x 成立， 即log7x+1-0.25x ≤0.
令f(x)= log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是 否有f(x) ≤0恒成立?
即当x∈[10,1000]时,f(x)= log7x+1－0.25x 的图象是否在x轴下方?
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人教A版必修一3.2.1几类不同增长的函数模型
上升
上升
上升
增函数
增长速度
越来越慢 （3）存在一个x0，使得当x>x0时，有 logax<. xn<ax 。
D
Hale Waihona Puke A3.一根弹簧，挂重100 N的重物时，伸长20 cm，当挂重150 N的重物时，若弹簧未达到 最大弹性限度，则弹簧伸长（ D ） （A）3 cm （B）5 cm （C）25 cm （D）30 cm
（1）计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ （2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
探究要点一：几种函数模型 一次函数型模型：f（x）=kx+b（k、b为常数，k≠0）； 二次函数型模型：f（x）=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）； 指数函数型模型：f（x）=abx+c（a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1）； 对数函数型模型：f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，a>0，a≠1）； 幂函数型模型：f（x）=axn+b（a、b、n为常数，a≠0，n≠1）. 探究要点二：几类函数模型的增长差异
4.已知放射性物质镭经过100年剩留原来的95.76%，则经过200年剩留原来的___________. 解析：设每年的衰减率为x，则（1－x） 100=95.76%， 令（1－x）200=y，将第一个式子两边平方 ， 得（1－x）200=y=（95.76%） 2≈0.9170=91.70%. 答案：91.70%
规律方法：指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考 查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型 表示，通常可以表示为y=N·（1+p）x（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的 形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.
高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案含解析新人教A版必修0
3．2.1 几类不同增长的函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：问题1：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？提示：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大．问题2：函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝x2，最慢的是h(x)＝log2x.[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有log a x<x n<a x(a>1，n>0)．[化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势[例1] 1234关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案] y2[类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n(n >0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [活学活用]今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g (6)，f (2 017)，g (2 017)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x. (2)∵f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10， ∴x 1<6<x 2,2 014>x 2.从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )， ∴f (2 014)>g (2 014)． 又∵g (2 014)>g (6)，∴f (2 014)>g (2 014)>g (6)>f (6)． [类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异[以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较]．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x . (2)当x <x 1时，g (x )>f (x )； 当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )； 当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x ).[例3] 43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年生产量y 与年份x 的关系？[解] 建立年生产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． ①构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0， 则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.②构造指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由①②可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年生产量y 与年份x 的关系． [类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．12.搞错函数的变化规律而致误[典例] 下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x[解析] 指数爆炸式形容指数函数． 又∵e>2， ∴1100e x 比100·2x增大速度快． [答案] A [易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>1100，所以100·2x比1100e x 增大速度快的错误结论．2．函数y ＝a ·b x＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)图象的增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D.[随堂即时演练]1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1 000x C ．y ＝2x －1D ．y ＝11 000ln x解析：选C 指数函数模型增长速度最快，故选C.2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着自变量x 的变化情况如下表：则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.3．若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n，loga x 的大小关系是________． 解析：∵a >1，n >0，∴函数y 1＝a x ，y 2＝x n，y 3＝log a x 都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x 足够大时，a x >x n>log a x . 答案：a x >x n>log a x4．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快， ∴x 2比x ln x 增长要快． 答案：y ＝x 25．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示：[课时达标检测]一、选择题1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点解析：选D 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.2．已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有( )A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.3．有一组实验数据如下表所示：A．y＝log a x(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝log a x＋b(a>1)解析：选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A．2x>x 12>lg x B．2x>lg x>x12C．x 12>2x>lg x D．lg x>x12>2x解析：选A 结合y＝2x，y＝x 12及y＝lg x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x12>lg x.5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.二、填空题6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y17．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．答案：①②③三、解答题9．函数f (x )＝1.1x ，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x，曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 12，曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1. 由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )；当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )；当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )；当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )；当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )；当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )．10．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y (单位：亿)．(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数y ＝f (x )的定义域；(3)判断函数f (x )是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．解：(1)1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：13＋13×1%＝13×(1＋1%)亿．经过2年，2001年底人口数：13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13×(1＋1%)2亿．经过3年，2002年底人口数：13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13×(1＋1%)3亿．…∵经过年数与(1＋1%)的指数相同，∴经过x 年后人口数为13×(1＋1%)x 亿．∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .(2)∵此问题以年作为单位时间，∴x ∈N *是此函数的定义域．(3)y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13>0，∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．解：设两个函数：y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，y 2＝g (x )＝a ·b x＋c . 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝p ＋q ＋r ＝1，f＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f ＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝1.3(万件)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ g ＝ab ＋c ＝1，g＝ab 2＋c ＝1.2，g＝ab 3＋c ＝1.3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4. ∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．经比较，g (4)＝1.35(万件)比f (4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．∴选y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．敬请批评指正。
3.2.1 几类不同增长的函数模型
图3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
[探究共研型]
函数模型的选择
探究1 在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？
根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢 来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋 于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.
[再练一题] 2．函数 f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1 的图象如图 322 所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C2 分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行 比较)．
函数
性质 在(0，＋∞)上 的增减性 图象的变化
y＝ax(a>1)
增函数
y＝logax(a>1)
增函数
y＝xn(n>0)
增函数
随x的增大逐渐与 随x的增大逐渐与 随n值的不同而不 y轴平行 x轴平行 同
2.三种函数增长速度的比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增 函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上． (2)随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢． (3)存在一个 x0，当 x>x0 时，有 ax>xn>logax.
§3.2.1 几类不同增长的函数模型
§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标:1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、 教学重点、难点：1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、 学法与教学用具：1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1. 观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2. 作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。
【数学】3.2.1 几类不同增长的函数模型(人教A版必修1)
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过5万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个 模型是否符合公司要求即可.
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过5万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个 模型是否符合公司要求即可.
上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在
直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终
在y＝5的下方，这 说明只有按模型
y
y＝log7x＋1进行 奖励时才符合公
8 y＝0.25x
7
y＝1.002x
司的要求，下面
6
通过计算确认上
5
述判断.
4
y＝5 y＝log7x＋1
3
2
1
O 200 400 600 8001000 x
归纳总结中学数学建模的主要步骤
(1) 理解问题 (2) 简化假设 (3) 数学建模 (4) 求解模型 (5) 检验模型 (6) 评价与应用
知识讲 授
观察函数 y x 与 y
4
x 在[0,＋∞)上
的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.知识讲 授观察函数 y x 与 y 4
x 在[0,＋∞)上
因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1000]时，log7 x 1 0.25 . 说明按 x
§3.2.1 几类不同增长的函数模型
第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 §3.2.1 几类不同增长的函数模型【学习目标】1.认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长。
2.应用函数模型解决简单问题。
【预习提纲】1.请你在同一直角坐标系中做出三个函数xy 2=，2x y =，x y 2log =的图象。
观察：在图中分别标出使不等式222log x x x<<，xx x 2log 22<<成立的自变量x 的取值范围。
我们知道，对数函数)1(log >=a x y a ，指数函数 与幂函数 在区间),0(+∞上都是增函数，这三类函数的增长有差异吗？结合上面的图像进行探究。
2.三个变量321,,y y y 随着变量x 的变化情况如下表：则与x 呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是（ ）A. 321,,y y yB. 312,,y y yC. 123,,y y yD. 213,,y y y3.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时后，这种细菌可由1个分裂 成 。
yOx4.假设银行1年定期的年利率为%2。
某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01万元） 。
【例题精讲】例1. 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随x 的变化的函数式。
如果存入本金1000元，每期利率%25.2，试计算5期后的本利和是多少？例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的%25.现有三个奖励模型：xy x y x y 002.1,1log ,25.07=+==，其中哪个模型能符合公司的要求？【归纳点拨】 1.复利及应用复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。
3.2.1几类不同增长的函数模型(二)
例1 同一坐标系中，函数 y y＝x2＋7和y＝2x的图象 50 如图.试比较x2＋7与2x的
大小.
30 20 10 40
y＝x2＋7
y＝2x
5 10
O
x
例2 已知函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象 如图，试比较x2与log2(x＋1)的大小. y
4
3
y＝x2
2 2 4
2
y log 2 x
6 8
O
-2
x
比较函数 y 2 , y x , y log 2 x y 的增长快慢.
x
2
你能分别求出使
log 2 x 2 x
x 2
8
6 4
y 2x
log 2 x x 2 2 x
成立的x的取值 范围吗？
y x
2 2 4
2
y log 2 x
A. 函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数 B. 函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数 C. 存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立 D. 存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立
Байду номын сангаас
练习
2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)， 下列说法正确的是 ( ) A. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度快 B. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢
x
2
8
6 4 2
y 2x
O
-2
2
4
6
8
x
比较函数 y 2 , y x , y log 2 x y 的增长快慢.
x
2
8
6 4
y 2x
y x
3.2.1 几类不同增长的函数模型
编制：郑桥保 审核：黄焕毅【学习目标】1、 了解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，理解指数函数、对数函数、幂函数的增长差异。
2、 会分析具体实际问题，能够初步建立数学模型解决实际问题。
【预习导引】 ：1、 线性函数模型：y=kx+b(k>0),直线上升，增长速度不变。
2、 指数函数模型：y ＝a x (a >1)，增长速度急剧，称为“指数爆炸”。
3、 对数函数模型：y ＝log a x (a ＞1)，增长速度越来越慢。
4、 幂函数模型：y ＝x α(α>0)，增长速度介于指数增长与对数增长之间。
注：(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x α(α>0)都是 ，但增长速度 ，且不在同一个“档次”上。
(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度 ，会超过并远远大于y ＝x α(α＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会 。
(3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x α＜a x 。
【预习自测】1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则可以用来描述该厂前t 年这种产品的总产量c 与时间t 的函数关系的是( )2．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为x ，则( )A ．(1＋x)19＝4B ．(1＋x)20＝3C ．(1＋x)20＝2D ．(1＋x)20＝43．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天4．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( )A ．y ＝50B ．y ＝1 000xC ．y ＝0.4×2x －1D ．y ＝11 000ex 5．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2<x <4时，有( )A ．y1>y2>y3B ．y2>y1>y3C ．y1>y3>y2D ．y2>y3>y1编制：郑桥保 审核：黄焕毅【课堂检测】1 将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，一天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量应减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？【当堂训练】2 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg2＝【课后拓展】例5我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2O10，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？。
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2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5), f(2015),g(2015)的大小. 【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1, g(10)=0.3×10-1=2, g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故
【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是
观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数 是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的 图象如图所示:
x
y1
1
1
5
25
10
100
15
225
20
400
25
625
30
900
y2
y3 y4
2
2 2
32
10 4.32
1 024
20 5.32
32 768
30 5.91
1.1×106
40 6.32
3.4×107
50 6.64
1.1×109
60 6.91
关于x呈指数函数变化的变量是
.
2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=
问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?
【总结提升】 1.四类不同增长的函数模型 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.
B.(1.02)11
【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,
故m=(1.02)11.
4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是
.
【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判 断出y=3x的增长速度最快. 答案:y=3x
x 的图象如图所示,试分别指出
1 2
各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分
界点).
【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的
是哪一组?
提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快. 2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义 是什么? 提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度 ,判断各曲 线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.
【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速 度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内? 提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快. 又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), 所以 1<x1<2,9<x2<10.
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), 所以 1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以 f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)>
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
【知识提炼】 三种函数模型的性质
y=ax(a>1) 在(0,+∞)上 的增减性 图象的变化 趋势 y=logax(a>1) y=xn(n>0)
增函数 _______
随x增大逐渐近似 y轴 平行 与____
增函数 _______
随x增大逐渐近 x轴 平行 似与____
现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最 接近的一个是 A.v=log2t C.v= t 1
2
(
) B.v= log 1 t
2
2
D.v=2t-2
【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v=
22 1 =1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5. lo【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加
值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量
y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速 度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知 变量y2随着x变化呈指数函数变化. 答案:y2
2对应的函数是h(x)=
x ,曲线C3对应的函数是
1 2
当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);
当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
【方法技巧】常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,
g(6)>f(6).
【延伸探究】
1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1)
呢?
【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可
知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.
2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断
5.如图所示曲线反映的是
函数模型的增长趋势.
【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数 模型或对数型函数模型的增长速度. 答案:幂函数或对数型
【知识探究】 知识点 几类函数模型的增长差异
观察图形,回答下列问题:
问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的 变化趋势?
f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故
g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以
g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).
类型三
函数模型的选择问题
【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品
增函数 _______
随n值而不同
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
越来越快 会远 ①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度_________,
增长速度 远大于y=xn(n>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度 越来越慢 _________ ax>xn>logax ②存在一个x0,当x>x0时,有___________
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数. (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的 大小进行比较).
【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为 f(x)=lgx. (2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x); 当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).
2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是
(
)
A.y减少1个单位
C.y减少2个单位
B.y增加1个单位
D.y增加2个单位
【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.
3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份 利润的m倍,则m等于 A.(1.02)12 ( ) C.(0.98)12 D.(0.98)11
经计算可知最接近的一个是选项C.
类型二
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所
示.设两函数的图象交于点A(x1,y1), B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数. (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011), g(2011)的大小.
较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛 式增长”. (4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二 次函数模型和反比例函数模型.
【变式训练】有一组数据如下表: t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01
2.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数
是f(x)=1.1x,曲线C g(x)=lnx+1. 由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x); 当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x); 当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x); 当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);