旋转面、柱面和锥面)

M
M
而 M 与 M 到 l 的距离相等 |M0M | = |M0M| .
于是 M S
M , MM u0 = 0,
|M0M| = |M0M| .
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方程
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例
求直线
x2 0
y 1 0
z 1
绕直线
x 0
y 0
z 1
旋转一周所得旋转曲面的方程。
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
.
z
y
o
a
x
3 旋转单叶双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面 . .
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x
.
4 旋转锥面
两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
x
o
y
4 旋转锥面
两条相交直线
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
Sz
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z) 0.
x
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建立旋转曲面的方程：
如图 设 M ( x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
2 旋转双叶双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
x2 a2
y2 z2 b2
1
x
z
0
y
.
3 旋转单叶双曲面
x2 y2
上题双曲线
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
y
o
a
x
3 旋转单叶双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2
下面建立以 l 为轴, 为母线的旋转面 S 的方程.
先分析 S 上点的几何特征. 设直线 l 过点M0, 平 行于向量 u .
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旋转面
点M在S上 M 绕轴线旋转而得
的圆和 有交点.
l
上存在一点M , 使得它的
纬圆经过 M, 即
M0
S
① MM 与 l 垂直 ② M 与 M 到 l 的距离相等
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y2 z2
（1）yOz 面y 轴旋转
旋 转 椭
y2 x2 z2 a2 c2 1
球
面 绕z 轴旋转
y x
z
x2 a2
y2
z2 c2
1
x
y
2 旋转双叶双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
2 旋转双叶双曲面
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旋转面
定义与几何特征
定义 由空间的一条曲线 绕某一直线 l 旋
转而得到的曲面称为旋转面. l 称为它的轴线,
为它的母线.
由母线上的每一点旋转而得的圆称为纬圆, 它 是以 l 为轴的圆, 但如果此点是母线与轴线的交 点时, 就退化为一点.
例如, 地球的表面是一个旋转面, 连结南北极 的直线是轴线, 任何一条经线都可作为母线, 其 纬圆是地理学中的纬线或退化为北极和南极.
解
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下面特殊 的旋转曲 面
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f ( y, z) 0
z
曲线 C
x
0
绕 z轴
C
o
y
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曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕z轴
z
.
C o
y
x
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曲线 C
f ( y, z)
x
0
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
空间曲面和曲线的概念
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旋转面、柱面和锥面
旋转面 柱面 锥面
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旋转面、柱面和锥面
本节讨论几种特殊曲面的方程. 这些曲面的参 数方程容易得到, 目的是建立它们的一般方程. 建立几何图形的一般方程, 先要找出图形上点 的几何特征, 然后把它转化为坐标所要满足的 条件即可. 讨论中所采用的坐标系视是否涉及度量而定. 具体地讲, 旋转面必须在直角坐标系中讨论, 而 柱面和锥面可以在仿射坐标系中讨论.
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旋转面
又如, 以一个圆为母线, 一条与它共面且相离的 直线为轴线的旋转面是环面.
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旋转面
球面是旋转面, 每条直径所在的直线都可作为 轴线.
平面也可看作旋转面, 它是一条直线绕与它垂 直的轴线旋转的结果, 并且任何一条法线都可 作为轴线.
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旋转面
注: 除了球面和平面等特殊情形, 一般的旋转 面的轴线是唯一的, 但是母线则很多, 旋转面上 每一条和每个纬圆都相交的曲线都可作为母线. 特别地, 以轴线为界的半平面与旋转面的交线 是母线, 把它们称为旋转面的经线或子午线.
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
.
x
z
o
y
4 旋转锥面
两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
得旋转锥面
.
x2 y2 z2
0
a2
b2
.
x
z
o
y
5 旋转抛物面
抛物线
y2
x
az 0
绕
z
轴一周
z
o
y
5 旋转抛物面
抛物线
y2
x
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1 , z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
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方程
f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
P M
N(0, y1 , z1 ) .
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
Sz
z1 C
o
y1
y
.
x
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曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 ) .
ff (y11,,zz11))==00 .
az 0
绕
z
轴一周
z
.
o
y
x
5 旋转抛物面
抛物线
y2
x
az 0
绕
z
轴一周
z 得旋转抛物面
x2 y2 z
a
.
.
o
y
x
生活中见过这个曲面吗？
6环面 圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
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结论（规律）： 当坐标面上的曲线Γ绕此坐标面上的一个坐
标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将Γ在 此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是： 保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个 坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。