艺术生高考数学专题讲义：考点46 抽样方法

考点四十六抽样方法

知识梳理

1．简单随机抽样

(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．常用方法：抽签法和随机数法．

(2)简单随机抽样特点

①总体个数较少；

②简单随机抽样是逐个不放回抽样；

③每个个体被抽到的概率相等，都为n

N．

2．抽签法

一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，充分搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，这样就得到一个容量为n 的样本．

抽签法适用于总体中个体数较少的情况，一个抽样实验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

3．随机数法

随机数法也就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．

随机数法的步骤：

①将总体中的N个个体编号；

②在随机数表中选择开始数字；

③按某个方向读数获取样本号码．

随机数法适用于总体中个体数较多的情况，简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本仍不方便．

4．系统抽样

(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；

②根据样本容量n ，当N n 是整数时，取分段间隔k ＝N

n ；

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )； ④按照一定的规则抽取样本．

(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时． (3)系统抽样是等距离抽样． 5．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时． (3) 分层抽样中，每层抽取的个体的比例是相同的，即样本容量n

总体个数N .

6．三种抽样方法的比较

典例剖析

题型一 简单随机抽样

例1 (2013·高考江西卷)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．

答案 01

解析 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02，14，07，01，所以第5个个体的编号是01.

变式训练 下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有________． ①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；

②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；

③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． 答案 0个

解析 ①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．

解题要点 简单随机抽样特点：①总体个数较少；②简单随机抽样是逐个不放回抽样； ③每个个体被抽到的概率相等． 题型二 系统抽样

例2 为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是________．(填序号)

① 5，10，15，20，25；② 2，4，8，16，32；③ 1，2，3，4，5；④ 7，17，27，37，47. 答案 ④

解析 利用系统抽样，把编号分为5段，每段10袋，每段抽取一袋，号码间隔为10，故选④.

变式训练 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A 营区，从301到495在B 营区，从496到600在C 营区，三个营区被抽中的人数依次为________． 答案 25，17，8

解析 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因

此A 营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得103

4

的人数是42－25＝17.

解题要点 系统抽样是等距离抽样，假设第1段抽取的个体编号为l (l ≤k )，分段间隔为k (k ∈N *)，则将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加上k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本． 题型三 分层抽样

例3 (1)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

(2) 某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：

抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为________． 答案 (1)60 (2) 99

解析 (1)根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为4

4＋5＋5＋6

×300＝60.

(2) 由题设可知x

3 000

＝0.17，∴ x ＝510.

∴高三年级人数为y ＋z ＝3 000－(523＋487＋490＋510)＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为300

3000

×990＝99.

变式训练 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝________． 答案 90

解析 依题意得3

3＋5＋7×n ＝18，解得n ＝90，即样本容量为90.

解题要点 分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式计算： (1)样本容量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数

； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． 题型四 抽样方法选取问题

例4 某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________． 答案 分层抽样法