第一章 线性空间与线性变换

是 n 维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12 a a22 21 1 , 2 ,, n 1 , 2 , n an1 an 2
a11 a12 a a22 21 P a n1 a n 2 a1n a2 n ann
1 2 A 3 4
在这两组基下的
是其两组基，求向量 坐标。
解：设向量A在第一组基下的坐标为 于是可得
( x1 , x2 , x3 , x4 )
T
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1 同一向量在不同的基下坐标不同 , 那它们 有什么关系呢 1 1 ? 1 1 x3 x4 0 1 1 0 7 4 1 2 解得 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3
与 y1 , y2 , , yn ，那么我们有
T
y1 x1 y1 y x y 2 [1 , 2 ,, n ] 2 [ 1 , 2 ,, n ] 2 [1 , 2 ,, n ]P yn xn yn
子集合构成 R上的线性空间。 Hilbert条件是：级数
a
n 1

2 n
收敛
线性空间的基本概念及其性质

基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关； 向量组的极大线性无关组；向量组的秩。 基本性质： (1) 含有零向量的向量组一定线性相关； (2) 整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； (3) 如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线 性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关； (4) 向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一； (5) 如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向 量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；
第一章
线性空间和线性变换
§1.1 线性空间
集合
集合:
作为整体看的一堆东西 元素 a S
子集
S1 S 2
S1 S2 S1 S2且S2 S1
集合相等
运算
Hale Waihona Puke 交并 和S1 S2
S1 S2
S1 S2 {x y | x S1 , y S2 }
例4 在4维线性空间 R
2 2
中，向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
1
x1 1 x 1 2 x3 1 x4 4
都是 R
2 2
的基。R 22 是4维线性空间。
基底的例子（续）
例 3 实数域 R上的不超过n次多项式的全体Pn中的向 量组 1, x, x 2 , , x n
与向量组 1, x 2,( x 2) , ,( x 2)
2
n
都是 Pn 的基底，Pn的维数为 n+1。 注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
于是有：
x1 y1 x y 2 P 2 xn yn
该式被称为坐标变换公式。
例1 在4维线性空间
R
2 2
中，向量组
0 1 1 1 3 0
1 1 ,2 1 1 1 1 ,4 1 1
0 , 1 1 , 0
1 1 0 与向量组 1 3 1
0 1 , 2 0 0 1 1 , 4 0 1
1 , 0 1 , 1
为其两组基，求从基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩 1 2 阵，并求向量 A 在这两组基下的坐标。 3 4 解：容易计算出下面的矩阵表达式
映射的乘积

映射的乘积(复合)：若 f : S1 → S2 和 g: S 2→ S3，则
映射的乘积 g f 定义为： g f(a)=g(f(a))。
○ ○

在不至混淆的情况下，简记g f为gf
○
映射的乘积满足结合律,即(fg)h=f(gh)

映射的乘积不满足交换律,一般而言fg≠gf
线性空间的定义
线性空间的定义（续）
（5）数1：对α∈V，有：
1∙α=α
（6）结合律: 对k,l∈K, α∈V 有： (kl) ∙α= k ∙ (l ∙α) （7）分配律: 对k,l∈K, α∈V 有： (k+l) ∙α= k ∙ α+l ∙α
（8）数因子分配律: 对k∈K, α, β∈V 有：
k ∙(α+β)= k ∙ α+k ∙β 称这样的集合 V 为数域 K 上的线性空间。
加法运算：a b ab 数乘运算：k a a k
线性空间的例子（续）
例5：R∞表示实数域 R 上的全体无限序列组成的集 合。即
R {[ a1 , a2 , a3 ,] | ai R, i 1,2,3,}
在R∞中定义加法与数乘：

[a1 , a2 , a3 , ] [b1 , b2 , b3 , ] [a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , ] k [a1 , a2 , a3 , ] [ka1 , ka2 , ka3 , ]
2 3 1 3 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 1 3 1 3
1 1 2 2
3 3
0 0 0 1
3 3
1 3 1 3 1 3 1 3
向量A在第一组基下的坐标为
7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3

若S = S’，则称映射为变换。 映射的相等：设有两个映射f : S → S’和 g: S → S’，若对
任何元素a∈S都有 f(a)=g(a)则称f与g相等。
映射的例子

例子1：设集合S是数域F上所有方阵的集合，则
f(A)=det(A)
为S到F的映射。

例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运 算： δ(f(t))=f’(t) 为S到S的变换。
则 R∞ 为实数域 R上的一个线性空间。
线性空间的例子（续）
例 6 在 R 中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R上的线性空间。Cauchy条件是：
0, N 0, 使得对于 m, n N 都有 am an
例7 在 R 中满足Hilbert条件的无限序列组成的

定义：设 V 是一个非空的集合，K 是一个数域，在集合 V 中定义两种封闭的代数运算, 一种是加法运算，用 + 来表示， 另一种是数乘运算, 用 ∙ 来表示, 并且这两种运算满足下列八 条运算律：
（1）加法交换律：α+β= β+α
（2）加法结合律： (α+β)+γ= α+(β+γ) （3）零元素：在 V 中存在一个元素0，使得对于任意的α∈V 都有 α+0 =α （4）负元素: 对于V中的任意元素α都存在一个元素 β使得： α+β= 0

例1
实数域 R上的线性空间 RR 中，函数组
是一组线性无关的函数，其中 1 , 2 , , n 为一组互不相同 的实数。 例2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e , e , , e
1x
2 x
n x
x , x , , x
例3
1
2
n
是一组线性无关的函数，其中 1 , 2 , , n 为一组互不相同 的正整数。
实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1,cos x,cos 2 x
是线性相关的。
2
线性空间的基底与维数

定义：设 V 为数域 K上的一个线性空间。如果在 V 中存在 n 个线性无关的向量 1 , 2 , , n ，使得 V 中的任意一个向量 都可以由 1 ,2 , ,n 线性 表出: k11 k22 kn n
数域

数域: 如果一个数集中任意两个数的和、差、积、 商(除数不为0)仍在该数集中
常用数域有：有理数域、实数域、复数域 奇数集和偶数集不能形成数域

映射

映射：集合S到集合S’的一个映射是指一个法则(规则)f: S
→ S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a’与之对应，
记为： f(a)= a’或 a→ a’。一般称a’为a的象， a为a’的 原象。
T ( k , k , , k ) 则称 1 , 2 , , n为 V 的一个基或基底； 1 2 n 为向量 在基底 1 ,2 , ,n 下的坐标。此时我们
称 V 为一个 n 维线性空间，记为 dimV=n。
基底的例子
例1 实数域 R 上的线性空间 R3 中向量组
利用坐标变换公式可以求得A在第二组基下的坐标为
2 3 y1 1 y 2 3 y3 1 3 y4 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 1 3
a1n a2 n ann
称 n 阶方阵
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵(可逆)，那么上式可以写成
1, 2 ,, n 1,2 ,n P
T V 任取 ，设 在两组基下的坐标分别为 x1 , x2 , , xn
(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)
与向量组
(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)
都是线性空间 R3 的基底，R3是3维线性空间。
基底的例子（续）
例2 实数域 R上的线性空间 R
2 2
中的向量组
与向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
基变换与坐标变换
设
1 , 2 , , n（旧的）与 1 , 2 , , n（新的）
i a1i1 a2 i2 ani n
a1i a 2i 1 , 2 ,, n , i 1, 2,, n ani

定理：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。
线性空间的例子
例1：全体实函数集合 RR构成实数域 R上的线性空间。
例2：复数域 C上的全体 m×n 阶矩阵构成的集合Cm×n 为 C 上 的线性空间。
例3：实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项式集合 Pn 构成实数域 R上的线性空间。 例4：全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数 域上的线性空间：对任意 k∈R, a,b∈R+