有效折射率法求矩形波导色散曲线(附Matlab程序)知识讲解

有效折射率法求矩形波导色散曲线(附
M a t l a b程序)
光波导理论与技术第二次作业
题目：条形波导设计
*名：**
学号： ************
指导老师：***
完成日期： 2014 年 03 月 19 日
一、题目
根据条形光波导折射率数据，条形波导结构如图1所示，分别针对宽高比d a :为1:1与1:2两种情形，设计：
（1）满足单模与双模传输的波导尺寸范围；（需要给出色散曲线）
（2）针对两种情况，选取你认为最佳的波导尺寸，计算对应的模折射率。

（计算时假设上、下包层均很厚）
图1 条形波导横截面示意图
二、步骤
依题意知，条形波导参数为：5370.11=TE n ，5100.12=TE n ，444.13=TE n ；
5360.11=TM n ，5095.12=TM n ，444.13=TM n 。

其中321n n n 、、分别代表芯心、
上包层、下包层相对于nm 1550=λ光波的折射率。

本设计采用有效折射率法作条形波导的归一化色散曲线，条形波导的横截面区域分割情况如图2所示：
图2 条形波导横截面分割图
对于x
mn E 模式，x E 满足如下波动方程：
[]
0),(2
2202
222=-+∂∂+∂∂eff x x n y x n k y
E x E 由于导波模式在x 与y 方向上是非相干的，采用分离变量法后再引入)(220x N k 得到如下两个独立的波动方程：
0)()](),([)
(22202
2=-+∂∂y Y x N y x n k y
y Y 0)(])([)(2
2202
2=-+∂∂x X n x N k x
x X eff 可以将条形波导等效成y 方向和x 方向受限的平板波导，先求y 方向受限平板波导的TE 模式，求得x N 后将其作为x 方向受限的平板波导的芯层折射率并求其TM 模式，得到的有效折射率eff n 就是整个条形波导的有效折射率。

y 方向受限平板波导的TE 模式的色散方程为：
2
2124
222122222
1
0arctan arctan x
x x x x
N n n N N n n N n N n d k --+--+=-π （...2,1,0=n ） 其中1n 、2n 、4n 都是TE 模式的有效折射率从而x 方向受限平板波导的TM 模式的色散方程为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-2225
22522223
22
32
2
20arctan arctan eff
x eff x
eff
x eff x
eff
x n N n n n N n N n n n N m n N a k π（...2,1,0=m ）
其中3n 、5n 都是TM 模式的有效折射率。

对于y
mn E 模式，y E 满足如下波动方程：
[]
0),(2
2202
22
2=-+∂∂+
∂∂eff y y n y x n k y
E x
E
由于导波模式在x 与y 方向上是非相干的，采用分离变量法后再引入)(220x N k 得到如下两个独立的波动方程：
0)()](),([)
(22202
2=-+∂∂y Y x N y x n k y
y Y 0)(])([)(2
2202
2=-+∂∂x X n x N k x
x X eff 可以将条形波导等效成y 方向和x 方向受限的平板波导，先求y 方向受限平板波导的TM 模式，求得x N 后将其作为x 方向受限的平板波导的芯层折射率并求其TE 模式，得到的有效折射率eff n 就是整个条形波导的有效折射率。

y 方向受限平板波导的TM 模式的色散方程为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--+=-2
212
4224
21
2
2122
22
22
1221
0arctan arctan x x x
x x
N n n N n n N n n N n n n N n d k π（...2,1,0=n ） 其中1n 、2n 、4n 都是TM 模式的有效折射率从而x 方向受限平板波导的TE 模式的色散方程为：
222
5222232220arctan
arctan
eff
x eff eff
x eff eff
x
n N n n n N n n m n
N a k --+--+=-π （...2,1,0=m ）
其中3n 、5n 都是TE 模式的有效折射率。

由以上分析建立脚本m 文件BarWaveguide.m 与四个函数m 文件yTE_DispersionFun.m 、yTM_DispersionFun.m 、xTE_DispersionFun.m 、xTM_DispersionFun.m 如下： BarWaveguide.m 脚本文件：
close all;
clear all;
clc;
global V b;
% a:d = 1:1
figure(1);
% x方向偏振
NTEx = linspace(1.5100, 1.5370, 2000);
for n = 0:1
dTE = yTE_DispersionFun(NTEx, n);
for m = 0:1
k = 1;
for i = 1:2000
if(NTEx(i) <= 1.5360)
NTMe = linspace(1.5100, NTEx(i), 4000);
aTM = xTM_DispersionFun(NTMe, NTEx(i), m);
for j = 1:4000
if(abs(aTM(j) - dTE(i)) < 2e-2) V(k) = 2*dTE(i)*sqrt(1.5360^2 -1.5100^2);
b(k) = (NTMe(j)^2 - 1.5100^2)/(1.5360^2 -1.5100^2);
k = k+1;
end;
end;
end;
end;
plot(V, b,'r');
hold on;
pause;
clear V b;
end;
end;
% y方向偏振
NTMx = linspace(1.5095, 1.5360, 2000);
for n = 0:1
dTM = yTM_DispersionFun(NTMx, n);
for m = 0:1
k=1;
for i = 1:2000
NTEe = linspace(1.5100, NTMx(i), 4000);
aTE = xTE_DispersionFun(NTEe, NTMx(i), m);
for j = 1:4000
if(abs(aTE(j) - dTM(i)) < 2e-3)
V(k) = 2*dTM(i)*sqrt(1.5360^2 - 1.5100^2);
b(k) = (NTEe(j)^2 - 1.5100^2)/(1.5360^2 - 1.5100^2);
k = k+1;
end;
end;
end;
plot(V,b,'b');
hold on;
pause;
clear V b;
end;
end;
axis([0, 5, 0, 1]);
xlabel('V');
ylabel('b');
title('归一化色散曲线 a:d = 1:1');
gtext('E11');gtext('E12');gtext('E21');gtext('E22');
zoom on;
% a:d = 2:1
figure(2);
% x方向偏振
NTEx = linspace(1.5100, 1.5370, 2000);
for n = 0:1
dTE = yTE_DispersionFun(NTEx, n);
for m = 0:1
k = 1;
for i = 1:2000
if( NTEx(i) <= 1.5360)
NTMe = linspace(1.5100, NTEx(i), 4000);
aTM = xTM_DispersionFun(NTMe, NTEx(i), m);
for j = 1:4000
if(abs(aTM(j) - 2*dTE(i)) < 1e-2) V(k) = 2*dTE(i)*sqrt(1.5360^2 -
1.5100^2);
b(k) = (NTMe(j)^2 - 1.5100^2)/(1.5360^2 -1.5100^2);
k = k+1;
end;
end;
end;
end;
plot(V, b,'r');
hold on;
pause;
clear V b;
end;
end;
% y方向偏振
NTMx = linspace(1.5095, 1.5360, 2000);
for n = 0:1
dTM = yTM_DispersionFun(NTMx, n);
for m = 0:1
k=1;
for i = 1:2000
NTEe = linspace(1.5100, NTMx(i), 4000);
aTE = xTE_DispersionFun(NTEe, NTMx(i), m);
for j = 1:4000
if(abs(aTE(j) - 2*dTM(i)) < 1e-2)
V(k) = 2*dTM(i)*sqrt(1.5360^2 - 1.5100^2);
b(k) = (NTEe(j)^2 - 1.5100^2)/(1.5360^2 - 1.5100^2);
k = k+1;
end;
end;
end;
plot(V,b,'b');
hold on;
pause;
clear V b;
end;
end;
axis([0, 5, 0, 1]);
xlabel('V');
ylabel('b');
gtext('E11');gtext('E12');gtext('E21');gtext('E22');
title('归一化色散曲线 a:d = 2:1');
zoom on;
yTE_DispesionFun.m函数文件：
function dTE = yTE_DispersionFun(NTEx, n)
lambda = 1.550e-6;
k0 = 2*pi/lambda;
[n1TE, n2TE, n4TE] = deal(1.5370, 1.5100, 1.4440);
dTE = 1e6*(n*pi + atan(sqrt((NTEx.^2 - n2TE^2)./(n1TE^2 - NTEx.^2))) + ...
atan(sqrt((NTEx.^2 - n4TE^2)./(n1TE^2 - NTEx.^2)))) ...
./(k0*sqrt(n1TE^2 - NTEx.^2));
yTM_DispesionFun.m函数文件：
function bTM= yTM_DispersionFun(NTMx, n)
lambda = 1.55e-6;
k0 = 2*pi/lambda;
[n1TM, n2TM, n4TM] = deal(1.5360, 1.5095, 1.4440);
bTM = 1e6*(n*pi + atan(sqrt((n1TM^2*(NTMx.^2 - n2TM^2))./(n2TM^2*(n1TM^2 - NTMx.^2)))) + ...
atan(sqrt((n1TM^2*(NTMx.^2 - n4TM^2))./(n4TM^2*(n1TM^2 - NTMx.^2)))))...
./(k0*sqrt(n1TM^2 - NTMx.^2));
xTE_DispesionFun.m函数文件：
function aTE= xTE_DispersionFun(NTEe,NTMx, m)
lambda = 1.55e-6;
k0 = 2*pi/lambda;
[n3TE, n5TE] = deal(1.5100);
aTE = 1e6*(m*pi + atan(sqrt((NTEe.^2 - n3TE^2)./(NTMx^2 - NTEe.^2))) + ...
atan(sqrt((NTEe.^2 - n5TE^2)./(NTMx^2 - NTEe.^2)))) ...
./(k0*sqrt(NTMx^2 - NTEe.^2));
xTM_DispesionFun.m函数文件：
function aTM= xTM_DispersionFun(NTMe, NTEx, m)
lambda = 1.55e-6;
k0 = 2*pi/lambda;
[n3TM, n5TM] = deal(1.5095);
aTM = 1e6*(m*pi + atan(sqrt((NTEx^2*(NTMe.^2 - n3TM^2))./(n3TM^2*(NTEx^2 - NTMe.^2)))) + ...
atan(sqrt((NTEx^2*(NTMe.^2 - n5TM^2))./(n5TM^2*(NTEx^2 - NTMe.^2)))))...
./(k0*sqrt(NTEx^2 - NTMe.^2));
三、运行结果及分析
实验分别在d a :为1:1与1:2两种情形下画出了x E 11、x E 12、x E 21、x E 22、y
E 11、y E 12、y E 21、y E 22的归一化色散曲线。

1:1:=d a 时条形波导的归一化色散曲线如图3所示：
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
00.10.20.30.40.5
0.60.70.80.91V
b
归一化色散曲线 a:d = 1:1
图3 1:1:=d a 情况下条形波导归一化色散曲线
其中b 为归一化传播常数，22
2122
222
2021202
2
202n
n n n n
k n k n k b eff --=
--=
β，但条形波导正常工作
时，eff n 的有效范围为5360.15100.1≤≤eff n ，所以上式中的5360.11=n 、
5100.12=n ；2
2212n n d
V -=
λ
与归一化折射率2
2212n n d
V -=
λ
π等效。

1:2:=d a 时条形波导的归一化色散曲线如图4所示：
0.5
1
1.5
2
2.53
3.5
4
4.5
5
00.10.20.30.4
0.50.60.70.80.9
1V
b
归一化色散曲线 a:d = 2:1
图4 1:2:=d a 情况下条形波导归一化色散曲线
其中b 与V 的意义及取值范围与1:1:=d a 时一样。

由条形波导的归一化色散曲线，通过放大坐标系可以得到：
（1）1:1:=d a 时，单模传输的归一化频率范围为：9170.17735.0＜＜V ，由
22
2
1
2n
n V
d -=
λ得到波导尺寸范围为：2792.51302.2＜＜d m μ，且单模模式为：
x E 11、y E 11；双模传输时的归一化频率范围为：8679.21855.2＜＜V ，对应的波导尺寸范围为：8979.70187.6＜＜d m μ，且双模模式为：x E 12、x E 21、y E 12、y E 21。

（2）1:2:=d a 时，单模传输的归一化频率范围为：2114.16763.0＜＜V ，由
22
2
1
2n
n V
d -=
λ得到波导尺寸范围为：3361.38625.1＜＜d m μ，且单模模式为：
x E 11、y E 11；双模传输时的归一化频率范围为：1118.22587.1＜＜V ，对应的波导尺寸范围为：8157.54663.3＜＜d m μ，且双模模式为：x E 12、y E 12。

（3）由实践经验可知，通过有效折射率法得到的模式截止频率比真实的模式截止频率低，所以波导厚度应选为可选范围中点以上、靠近最大值范围内的值。

条形波导1:1:=d a 时，选取单模传输参数分别为：5500.1=V ，对应的b 值
为：)(3200.011
x E 、)(2930.011y E ，对应的波导厚度与有效折射率为：2686.4=d m μ、)(5184.111x eff E n =、)(5177.111y
eff E n =；选取双模传输参数为：600.2=V ，对应的b 值为：)(1920.012
x E 、)(1745.012y E 、)(1300.021x
E 、)(1031.021y
E ，对应的波导厚度与有效折射率为：1602.7=d m μ、
)(5150.112x eff E n =、)(5146.112y eff E n =、)(5134.121x eff E n =、)(5127.121y eff E n =。

条形波导1:2:=d a 时，选取单模传输参数分别为：0000.1=V ，对应的b 值
为：)(1675.011
x E 、)(1405.011y
E ，对应的波导厚度与有效折射率为：7539.2=d m μ、)(5144.111x eff E n =、)(5137.111y
eff E n =；选取双模传输参数为：800.1=V ，对应的b 值为：)(2835.012
x E 、)(2545.012y
E ，对应的波导厚度与有效折射率为：9570.4=d m μ、)(5174.112x eff E n =、)(5167.112y
eff E n =。

总结所有结果以图表形式表示，如表一、表二、表三所示：。