全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及答案解析
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(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,∴对称轴为l 1,∴E点坐标为(﹣1,0),如图,分两种情况讨论:
①当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD,此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(﹣1,4);
②当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于M点,∵∠CFE=∠PME=90°,∠CEF=∠PEM,∴△EFC∽△EMP,∴ ,∴MP=3ME.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示),其表达式是 的形式.请根据所给的数据求出a,c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.
【答案】(1)y=- x2+6;(2)5.5米;(3)一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
5.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+b(k<0,b>0),与x轴交于点A、与y轴交于点B,直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D.若直线CD的解析式为y=﹣ (x+b),则称直线CD为直线AB的”姊线”,经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”.
(1)若直线AB的解析式为:y=﹣3x+6,求AB的”姊线”CD的解析式为:(直接填空);
(Ⅲ)根据抛物线经过(-1,0)得出c=b+1,再根据(Ⅱ)中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点 的坐标,然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式,再根据点在直线AP上,此时 值最小,从而求出b的值.
【详解】
解:(Ⅰ)把点 和 代入函数 ,
有 。解得
(Ⅱ)由 ,得
∵点E在直线 上,
当 时,点A是最高点此时,
【详解】
(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO 3,∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,∴△DOC≌△AOB,∴OC=OB=3,OD=OA=1,∴A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,3),(﹣3,0),代入解析式为
,解得: ,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.
(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.
①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;
②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.
即:﹣3a=﹣3,解得:a=1,
故:“母线”函数的表达式为:y=x2﹣2x﹣3.
【点睛】
此题是二次函数综合题目,考查了“姊线”的定义,待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.
6.如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B.抛物线过A、B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
故点C、D的坐标为(﹣3,0)、(0,﹣ ),则点H(﹣ ,﹣ ),
同理可得:点G(﹣ , ),
则GH2=( + )2+( ﹣ )2=( )2,
解得:m=﹣3(正值已舍去),
则点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(0,3)、(﹣3,0),
则“母线”函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2﹣2x﹣3),
【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;(2)当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).
【解析】
【分析】
(1)根据正切函数,可得OB,根据旋转的性质,可得△DOC≌△AOB,根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)分两种情况讨论:①当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD,此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点;②当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于M点,得到△EFC∽△EMP,根据相似三角形的性质,可得PM与ME的关系,解方程,可得t的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
①∵PA⊥NA,且PA=NA,∴△PAD≌△AND,∴OA=PD,即 ,解得x= (舍去)或x= ,∴点P( ,2);
②设P(x,y),则 ,∵
= OB•OC+ AD•PD+ (PD+OC)•OD= =
= = = ,
∴当x= 时, = ,当x= 时, = ,此时P( , ).
考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.
(Ⅲ)若 ,当 满足 值最小时,求b的值。
【答案】(Ⅰ) , ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)将(-1,0),(3,0)代入抛物线的解析式求得b、c的值,确定解析式,从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标,运用配方求出顶点E的坐标即可;
(Ⅱ)先运用配方求出顶点E的坐标,再根据顶点E在直线 上得出吧b与c的关系,利用二次函数的性质得出当b=1时,点A位置最高,从而确定抛物线的解析式;
(3)设点P的横坐标为m,则点P(m,n),n=﹣ m2﹣m+4,
则直线OP的表达式为:y= x,
将直线OP和表达式联立得 ,
解得:点Q( , )
则 =﹣ m2﹣ m+4,
y= =﹣ m2﹣ m+3,
当m=﹣ ,y最大值为 ;
(4)直线CD的表达式为:y=﹣ (x+3),
令x=0,则y=﹣ ,令y=0,则x=﹣3,
【答案】(1) ;(2)(2,0)、(0,4)、(﹣4,0);(3)当m=﹣ ,y最大值为 ;(4)y=x2﹣2x﹣3.
【解析】
【分析】
(1)由k,b的值以及”姊线”的定义即可求解;
(2)令x=0,得y值,令y=0,得x值,即可求得点A、B、C的坐标,从而求得直线CD的表达式;
(3)设点P的横坐标为m,则点P(m,n),n=﹣ m2﹣m+4,
将B、C的坐标代入 ,得
解得 .
∴抛物线的表达式是 .
(2)可设N(5, ),
于是 .
从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.
(3)设DE是隔离带的宽,EG是三辆车的宽度和,
则G点坐标是(7,0)(7=2÷2+2×3).
过G点作GH垂直AB交抛物线于H,则 .
根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标.
(1)如图1,设抛物线顶点为M,且M的坐标是( , ),对称轴交AB于点N.
①求抛物线的解析式;
②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
(2)是否存在这样的点D,使得四边形BOAD的面积最大?若存在,求出此时点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)①y=﹣2x2+2x+4;;②不存在点P,使四边形MNPD为菱形;;(2)存在,点D的坐标是(1,4).
设点P的坐标是(m,﹣2m+4),则D(m,﹣2m2+2m+4),
∴PD=(﹣2m2+2m+4)﹣(﹣2m+4)=﹣2m2+4m.
② ,表示出来得到二次函数,求得最值即可.
试题解析:(1)∵抛物线 与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为 ,∴ ,解得: ,∴二次函数的解析式为 = ,∴顶点坐标为(﹣1,4);
(2)令 ,解得 或 ,∴点A(﹣3,0),B(1,0),作PD⊥x轴于点D,∵点P在 上,∴设点P(x, ),
(2)若直线AB的”母线”解析式为: ,求AB的”姊线”CD的解析式;
(3)如图2,在(2)的条件下,点P为第二象限”母线”上的动点,连接OP,交”姊线”CD于点Q,设点P的横坐标为m,PQ与OQ的比值为y,求y与m的函数关系式,并求y的最大值;
(4)如图3,若AB的解析式为:y=mx+3(m<0),AB的“姊线”为CD,点G为AB的中点,点H为CD的中点,连接OH,若GH= ,请直接写出AB的”母线”的函数解析式.
【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P(﹣ ﹣1,2);②P(﹣ , )
【解析】
试题分析:(1)将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为 即可得到抛物线的解析式;
(2)①首先求得抛物线与x轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA,从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标;
【解析】
【分析】
(1)①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标,设抛物线解析式为y=a ,把点B的坐标代入求得a的值即可;
②不存在点P,使四边形MNPD为菱形.设点P的坐标是(m,﹣2m+4),则D(m,﹣2m2+2m+4),根据题意知PD∥MN,所以当PD=MN时,四边形MNPD为平行四边形,根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m= ,通过解方程求得m的值,易得点N、P的坐标,然后推知PN=MN是否成立即可;
∵点P的横坐标为t,∴P(t,﹣t2﹣2t+3).
∵P在第二象限,∴PM=﹣t2﹣2t+3,ME=﹣1﹣t,t<0,∴﹣t2﹣2t+3=3(﹣1﹣t),解得:t1=﹣2,t2=3(与t<0矛盾,舍去).
当t=﹣2时,y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3,∴P(﹣2,3).
综上所述:当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).
∴设抛物线解析式为y= (a≠0).
∵直线y=﹣2x+4交y轴于点B,
∴点B的坐标是(0,4).
又∵点B在该抛物线上,
∴ =4,
解得a=﹣2.
故该抛物线的解析式为:y= =﹣2x2+2x+4;
②不存在.理由如下:
∵抛物线y= 的对称轴是直线x= ,且该直线与直线AB交于点N,
∴点N的坐标是 .
∴ .
从而求得直线OP的表达式,将直线OP和CD表达式联立并解得点Q坐标,
由此求得 ,从而求得y=﹣ m2﹣ m+3,故当m=﹣ ,y最大值为 ;
(4)由直线AB的解析式可得AB的“姊线”CD的表达式y=﹣ (x+3),令x=0,得y值,令y=0,得x值,可得点C、D的坐标,由此可得点H坐标,同理可得点G坐标,
由勾股定理得:m值,即可求得点A、B、C的坐标,从而得到“母线”函数的表达式.
【详解】
(1)由题意得:k=﹣3,b=6,
则答案为:y= (x+6);
(2)令x=0,则y=4,令y=0,则x=2或﹣4,
点A、B、C的坐标分别为(2,0)、(0,4)、(﹣4,0),
则直线CD的表达式为:y= (x+4)= x+2;
【解析】
试题分析:(1)根据题目可知A.B,C的坐标,设出抛物线的解析式代入可求解.
(2)设N点的坐标为(5,yN)可求出支柱MN的长度.
(3)设DN是隔离带的宽,NG是三辆车的宽度和.做GH垂直AB交抛物线于H则可求解.
试题解析:(1)根据题目条件,A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
(Ⅲ):抛物线经过点 ,有
∴E关于x轴的对称点 为
设过点A,P的直线为 .把 代入 ,得
把点 代入 .
得 ,即
解得, 。
舍去.
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离,数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键,属于中考压轴题.
3.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
【点睛】
本题是二次函数综合题.解(1)的关键是利用旋转的性质得出OC,OD的长,又利用了待定系数法;解(2)的关键是利用相似三角形的性质得出MP=3ME.
2.抛物线 (b,c为常数)与x轴交于点 和 ,与y轴交于点A,点E为抛物线顶点。
(Ⅰ)当 时,求点A,点E的坐标;
(Ⅱ)若顶点E在直线 上,当点A位置最高时,求抛物线的解析式;
(2)设点D的坐标是(n,﹣2n2+2n+4),P(n,﹣2n+4).根据S四边形BOAD=S△BOA+S△ABD=4+S△ABD,则当S△ABD取最大值时,S四边形BOAD最大.根据三角形的面积公式得到函数S△ABD=﹣2(n﹣1)2+2.由二次函数的性质求得最值.
【详解】
解:①如图1,
∵顶点M的坐标是 ,
①当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD,此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(﹣1,4);
②当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于M点,∵∠CFE=∠PME=90°,∠CEF=∠PEM,∴△EFC∽△EMP,∴ ,∴MP=3ME.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示),其表达式是 的形式.请根据所给的数据求出a,c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.
【答案】(1)y=- x2+6;(2)5.5米;(3)一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
5.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+b(k<0,b>0),与x轴交于点A、与y轴交于点B,直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D.若直线CD的解析式为y=﹣ (x+b),则称直线CD为直线AB的”姊线”,经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”.
(1)若直线AB的解析式为:y=﹣3x+6,求AB的”姊线”CD的解析式为:(直接填空);
(Ⅲ)根据抛物线经过(-1,0)得出c=b+1,再根据(Ⅱ)中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点 的坐标,然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式,再根据点在直线AP上,此时 值最小,从而求出b的值.
【详解】
解:(Ⅰ)把点 和 代入函数 ,
有 。解得
(Ⅱ)由 ,得
∵点E在直线 上,
当 时,点A是最高点此时,
【详解】
(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO 3,∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,∴△DOC≌△AOB,∴OC=OB=3,OD=OA=1,∴A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,3),(﹣3,0),代入解析式为
,解得: ,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.
(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.
①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;
②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.
即:﹣3a=﹣3,解得:a=1,
故:“母线”函数的表达式为:y=x2﹣2x﹣3.
【点睛】
此题是二次函数综合题目,考查了“姊线”的定义,待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.
6.如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B.抛物线过A、B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
故点C、D的坐标为(﹣3,0)、(0,﹣ ),则点H(﹣ ,﹣ ),
同理可得:点G(﹣ , ),
则GH2=( + )2+( ﹣ )2=( )2,
解得:m=﹣3(正值已舍去),
则点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(0,3)、(﹣3,0),
则“母线”函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2﹣2x﹣3),
【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;(2)当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).
【解析】
【分析】
(1)根据正切函数,可得OB,根据旋转的性质,可得△DOC≌△AOB,根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)分两种情况讨论:①当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD,此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点;②当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于M点,得到△EFC∽△EMP,根据相似三角形的性质,可得PM与ME的关系,解方程,可得t的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
①∵PA⊥NA,且PA=NA,∴△PAD≌△AND,∴OA=PD,即 ,解得x= (舍去)或x= ,∴点P( ,2);
②设P(x,y),则 ,∵
= OB•OC+ AD•PD+ (PD+OC)•OD= =
= = = ,
∴当x= 时, = ,当x= 时, = ,此时P( , ).
考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.
(Ⅲ)若 ,当 满足 值最小时,求b的值。
【答案】(Ⅰ) , ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)将(-1,0),(3,0)代入抛物线的解析式求得b、c的值,确定解析式,从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标,运用配方求出顶点E的坐标即可;
(Ⅱ)先运用配方求出顶点E的坐标,再根据顶点E在直线 上得出吧b与c的关系,利用二次函数的性质得出当b=1时,点A位置最高,从而确定抛物线的解析式;
(3)设点P的横坐标为m,则点P(m,n),n=﹣ m2﹣m+4,
则直线OP的表达式为:y= x,
将直线OP和表达式联立得 ,
解得:点Q( , )
则 =﹣ m2﹣ m+4,
y= =﹣ m2﹣ m+3,
当m=﹣ ,y最大值为 ;
(4)直线CD的表达式为:y=﹣ (x+3),
令x=0,则y=﹣ ,令y=0,则x=﹣3,
【答案】(1) ;(2)(2,0)、(0,4)、(﹣4,0);(3)当m=﹣ ,y最大值为 ;(4)y=x2﹣2x﹣3.
【解析】
【分析】
(1)由k,b的值以及”姊线”的定义即可求解;
(2)令x=0,得y值,令y=0,得x值,即可求得点A、B、C的坐标,从而求得直线CD的表达式;
(3)设点P的横坐标为m,则点P(m,n),n=﹣ m2﹣m+4,
将B、C的坐标代入 ,得
解得 .
∴抛物线的表达式是 .
(2)可设N(5, ),
于是 .
从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.
(3)设DE是隔离带的宽,EG是三辆车的宽度和,
则G点坐标是(7,0)(7=2÷2+2×3).
过G点作GH垂直AB交抛物线于H,则 .
根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标.
(1)如图1,设抛物线顶点为M,且M的坐标是( , ),对称轴交AB于点N.
①求抛物线的解析式;
②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
(2)是否存在这样的点D,使得四边形BOAD的面积最大?若存在,求出此时点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)①y=﹣2x2+2x+4;;②不存在点P,使四边形MNPD为菱形;;(2)存在,点D的坐标是(1,4).
设点P的坐标是(m,﹣2m+4),则D(m,﹣2m2+2m+4),
∴PD=(﹣2m2+2m+4)﹣(﹣2m+4)=﹣2m2+4m.
② ,表示出来得到二次函数,求得最值即可.
试题解析:(1)∵抛物线 与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为 ,∴ ,解得: ,∴二次函数的解析式为 = ,∴顶点坐标为(﹣1,4);
(2)令 ,解得 或 ,∴点A(﹣3,0),B(1,0),作PD⊥x轴于点D,∵点P在 上,∴设点P(x, ),
(2)若直线AB的”母线”解析式为: ,求AB的”姊线”CD的解析式;
(3)如图2,在(2)的条件下,点P为第二象限”母线”上的动点,连接OP,交”姊线”CD于点Q,设点P的横坐标为m,PQ与OQ的比值为y,求y与m的函数关系式,并求y的最大值;
(4)如图3,若AB的解析式为:y=mx+3(m<0),AB的“姊线”为CD,点G为AB的中点,点H为CD的中点,连接OH,若GH= ,请直接写出AB的”母线”的函数解析式.
【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P(﹣ ﹣1,2);②P(﹣ , )
【解析】
试题分析:(1)将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为 即可得到抛物线的解析式;
(2)①首先求得抛物线与x轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA,从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标;
【解析】
【分析】
(1)①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标,设抛物线解析式为y=a ,把点B的坐标代入求得a的值即可;
②不存在点P,使四边形MNPD为菱形.设点P的坐标是(m,﹣2m+4),则D(m,﹣2m2+2m+4),根据题意知PD∥MN,所以当PD=MN时,四边形MNPD为平行四边形,根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m= ,通过解方程求得m的值,易得点N、P的坐标,然后推知PN=MN是否成立即可;
∵点P的横坐标为t,∴P(t,﹣t2﹣2t+3).
∵P在第二象限,∴PM=﹣t2﹣2t+3,ME=﹣1﹣t,t<0,∴﹣t2﹣2t+3=3(﹣1﹣t),解得:t1=﹣2,t2=3(与t<0矛盾,舍去).
当t=﹣2时,y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3,∴P(﹣2,3).
综上所述:当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).
∴设抛物线解析式为y= (a≠0).
∵直线y=﹣2x+4交y轴于点B,
∴点B的坐标是(0,4).
又∵点B在该抛物线上,
∴ =4,
解得a=﹣2.
故该抛物线的解析式为:y= =﹣2x2+2x+4;
②不存在.理由如下:
∵抛物线y= 的对称轴是直线x= ,且该直线与直线AB交于点N,
∴点N的坐标是 .
∴ .
从而求得直线OP的表达式,将直线OP和CD表达式联立并解得点Q坐标,
由此求得 ,从而求得y=﹣ m2﹣ m+3,故当m=﹣ ,y最大值为 ;
(4)由直线AB的解析式可得AB的“姊线”CD的表达式y=﹣ (x+3),令x=0,得y值,令y=0,得x值,可得点C、D的坐标,由此可得点H坐标,同理可得点G坐标,
由勾股定理得:m值,即可求得点A、B、C的坐标,从而得到“母线”函数的表达式.
【详解】
(1)由题意得:k=﹣3,b=6,
则答案为:y= (x+6);
(2)令x=0,则y=4,令y=0,则x=2或﹣4,
点A、B、C的坐标分别为(2,0)、(0,4)、(﹣4,0),
则直线CD的表达式为:y= (x+4)= x+2;
【解析】
试题分析:(1)根据题目可知A.B,C的坐标,设出抛物线的解析式代入可求解.
(2)设N点的坐标为(5,yN)可求出支柱MN的长度.
(3)设DN是隔离带的宽,NG是三辆车的宽度和.做GH垂直AB交抛物线于H则可求解.
试题解析:(1)根据题目条件,A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
(Ⅲ):抛物线经过点 ,有
∴E关于x轴的对称点 为
设过点A,P的直线为 .把 代入 ,得
把点 代入 .
得 ,即
解得, 。
舍去.
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离,数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键,属于中考压轴题.
3.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
【点睛】
本题是二次函数综合题.解(1)的关键是利用旋转的性质得出OC,OD的长,又利用了待定系数法;解(2)的关键是利用相似三角形的性质得出MP=3ME.
2.抛物线 (b,c为常数)与x轴交于点 和 ,与y轴交于点A,点E为抛物线顶点。
(Ⅰ)当 时,求点A,点E的坐标;
(Ⅱ)若顶点E在直线 上,当点A位置最高时,求抛物线的解析式;
(2)设点D的坐标是(n,﹣2n2+2n+4),P(n,﹣2n+4).根据S四边形BOAD=S△BOA+S△ABD=4+S△ABD,则当S△ABD取最大值时,S四边形BOAD最大.根据三角形的面积公式得到函数S△ABD=﹣2(n﹣1)2+2.由二次函数的性质求得最值.
【详解】
解:①如图1,
∵顶点M的坐标是 ,