全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及答案解析
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（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l 1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴ ，∴MP＝3ME．
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是 的形式.请根据所给的数据求出a，c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
【答案】（1）y=- x2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣ （x+b），则称直线CD为直线AB的”姊线”，经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”．
（1）若直线AB的解析式为：y＝﹣3x+6，求AB的”姊线”CD的解析式为：（直接填空）；
（Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点 的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时 值最小，从而求出b的值.
【详解】
解：（Ⅰ）把点 和 代入函数 ，
有 。解得
（Ⅱ）由 ，得
∵点E在直线 上，
当 时，点A是最高点此时，
【详解】
（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO 3，∴OB＝3OA＝3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
，解得： ，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
【点睛】
此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.
6．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣ ），则点H（﹣ ，﹣ ），
同理可得：点G（﹣ ， ），
则GH2＝（ + ）2+（ ﹣ ）2＝（ ）2，
解得：m＝﹣3（正值已舍去），
则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），
则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即 ，解得x= （舍去）或x= ，∴点P（ ，2）；
②设P(x，y)，则 ，∵
= OB•OC+ AD•PD+ (PD+OC)•OD= =
= = = ，
∴当x= 时， = ，当x= 时， = ，此时P（ ， ）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
（Ⅲ）若 ，当 满足 值最小时，求b的值。
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线 上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；
（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣ m2﹣m+4，
则直线OP的表达式为：y＝ x，
将直线OP和表达式联立得 ，
解得：点Q（ ， ）
则 ＝﹣ m2﹣ m+4，
y＝ ＝﹣ m2﹣ m+3，
当m＝﹣ ，y最大值为 ；
（4）直线CD的表达式为：y＝﹣ （x+3），
令x＝0，则y＝﹣ ，令y＝0，则x＝﹣3，
【答案】（1） ；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m＝﹣ ，y最大值为 ；（4）y＝x2﹣2x﹣3．
【解析】
【分析】
（1）由k，b的值以及”姊线”的定义即可求解；
（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得点A、B、C的坐标，从而求得直线CD的表达式；
（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣ m2﹣m+4，
将B、C的坐标代入 ，得
解得 .
∴抛物线的表达式是 .
(2)可设N(5, )，
于是 .
从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.
(3)设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，
则G点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则 .
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（ ， ），对称轴交AB于点N．
①求抛物线的解析式；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．
设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．
② ，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线 与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为 ，∴ ，解得： ，∴二次函数的解析式为 = ，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令 ，解得 或 ，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在 上，∴设点P（x， ），
（2）若直线AB的”母线”解析式为： ，求AB的”姊线”CD的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P为第二象限”母线”上的动点，连接OP，交”姊线”CD于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求y的最大值；
（4）如图3，若AB的解析式为：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊线”为CD，点G为AB的中点，点H为CD的中点，连接OH，若GH＝ ，请直接写出AB的”母线”的函数解析式．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣ ﹣1，2）；②P（﹣ ， ）
【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为 即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
【解析】
【分析】
（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a ，把点B的坐标代入求得a的值即可；
②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝ ，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；
∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．
当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．
综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
∴设抛物线解析式为y＝ （a≠0）．
∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，
∴点B的坐标是（0，4）．
又∵点B在该抛物线上，
∴ ＝4，
解得a＝﹣2．
故该抛物线的解析式为：y＝ ＝﹣2x2+2x+4；
②不存在．理由如下：
∵抛物线y＝ 的对称轴是直线x＝ ，且该直线与直线AB交于点N，
∴点N的坐标是 ．
∴ ．
从而求得直线OP的表达式，将直线OP和CD表达式联立并解得点Q坐标，
由此求得 ，从而求得y＝﹣ m2﹣ m+3，故当m＝﹣ ，y最大值为 ；
（4）由直线AB的解析式可得AB的“姊线”CD的表达式y＝﹣ （x+3），令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，可得点C、D的坐标，由此可得点H坐标，同理可得点G坐标，
由勾股定理得：m值，即可求得点A、B、C的坐标，从而得到“母线”函数的表达式．
【详解】
（1）由题意得：k＝﹣3，b＝6，
则答案为：y＝ （x+6）；
（2）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2或﹣4，
点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），
则直线CD的表达式为：y＝ （x+4）＝ x+2；
【解析】
试题分析：（1）根据题目可知A．B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设N点的坐标为（5，yN）可求出支柱MN的长度．
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
试题解析：(1)根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
（Ⅲ）：抛物线经过点 ，有
∴E关于x轴的对称点 为
设过点A，P的直线为 .把 代入 ，得
把点 代入 .
得 ，即
解得， 。
舍去.
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
3．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.
【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP＝3ME．
2．抛物线 （b，c为常数）与x轴交于点 和 ，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。
（Ⅰ）当 时，求点A，点E的坐标；
（Ⅱ）若顶点E在直线 上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；
（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．
【详解】
解：①如图1，
∵顶点M的坐标是 ，
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴ ，∴MP＝3ME．
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是 的形式.请根据所给的数据求出a，c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
【答案】（1）y=- x2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣ （x+b），则称直线CD为直线AB的”姊线”，经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”．
（1）若直线AB的解析式为：y＝﹣3x+6，求AB的”姊线”CD的解析式为：（直接填空）；
（Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点 的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时 值最小，从而求出b的值.
【详解】
解：（Ⅰ）把点 和 代入函数 ，
有 。解得
（Ⅱ）由 ，得
∵点E在直线 上，
当 时，点A是最高点此时，
【详解】
（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO 3，∴OB＝3OA＝3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
，解得： ，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
【点睛】
此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.
6．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣ ），则点H（﹣ ，﹣ ），
同理可得：点G（﹣ ， ），
则GH2＝（ + ）2+（ ﹣ ）2＝（ ）2，
解得：m＝﹣3（正值已舍去），
则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），
则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即 ，解得x= （舍去）或x= ，∴点P（ ，2）；
②设P(x，y)，则 ，∵
= OB•OC+ AD•PD+ (PD+OC)•OD= =
= = = ，
∴当x= 时， = ，当x= 时， = ，此时P（ ， ）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
（Ⅲ）若 ，当 满足 值最小时，求b的值。
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线 上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；
（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣ m2﹣m+4，
则直线OP的表达式为：y＝ x，
将直线OP和表达式联立得 ，
解得：点Q（ ， ）
则 ＝﹣ m2﹣ m+4，
y＝ ＝﹣ m2﹣ m+3，
当m＝﹣ ，y最大值为 ；
（4）直线CD的表达式为：y＝﹣ （x+3），
令x＝0，则y＝﹣ ，令y＝0，则x＝﹣3，
【答案】（1） ；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m＝﹣ ，y最大值为 ；（4）y＝x2﹣2x﹣3．
【解析】
【分析】
（1）由k，b的值以及”姊线”的定义即可求解；
（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得点A、B、C的坐标，从而求得直线CD的表达式；
（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣ m2﹣m+4，
将B、C的坐标代入 ，得
解得 .
∴抛物线的表达式是 .
(2)可设N(5, )，
于是 .
从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.
(3)设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，
则G点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则 .
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（ ， ），对称轴交AB于点N．
①求抛物线的解析式；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．
设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．
② ，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线 与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为 ，∴ ，解得： ，∴二次函数的解析式为 = ，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令 ，解得 或 ，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在 上，∴设点P（x， ），
（2）若直线AB的”母线”解析式为： ，求AB的”姊线”CD的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P为第二象限”母线”上的动点，连接OP，交”姊线”CD于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求y的最大值；
（4）如图3，若AB的解析式为：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊线”为CD，点G为AB的中点，点H为CD的中点，连接OH，若GH＝ ，请直接写出AB的”母线”的函数解析式．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣ ﹣1，2）；②P（﹣ ， ）
【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为 即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
【解析】
【分析】
（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a ，把点B的坐标代入求得a的值即可；
②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝ ，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；
∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．
当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．
综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
∴设抛物线解析式为y＝ （a≠0）．
∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，
∴点B的坐标是（0，4）．
又∵点B在该抛物线上，
∴ ＝4，
解得a＝﹣2．
故该抛物线的解析式为：y＝ ＝﹣2x2+2x+4；
②不存在．理由如下：
∵抛物线y＝ 的对称轴是直线x＝ ，且该直线与直线AB交于点N，
∴点N的坐标是 ．
∴ ．
从而求得直线OP的表达式，将直线OP和CD表达式联立并解得点Q坐标，
由此求得 ，从而求得y＝﹣ m2﹣ m+3，故当m＝﹣ ，y最大值为 ；
（4）由直线AB的解析式可得AB的“姊线”CD的表达式y＝﹣ （x+3），令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，可得点C、D的坐标，由此可得点H坐标，同理可得点G坐标，
由勾股定理得：m值，即可求得点A、B、C的坐标，从而得到“母线”函数的表达式．
【详解】
（1）由题意得：k＝﹣3，b＝6，
则答案为：y＝ （x+6）；
（2）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2或﹣4，
点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），
则直线CD的表达式为：y＝ （x+4）＝ x+2；
【解析】
试题分析：（1）根据题目可知A．B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设N点的坐标为（5，yN）可求出支柱MN的长度．
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
试题解析：(1)根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
（Ⅲ）：抛物线经过点 ，有
∴E关于x轴的对称点 为
设过点A，P的直线为 .把 代入 ，得
把点 代入 .
得 ，即
解得， 。
舍去.
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
3．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.
【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP＝3ME．
2．抛物线 （b，c为常数）与x轴交于点 和 ，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。
（Ⅰ）当 时，求点A，点E的坐标；
（Ⅱ）若顶点E在直线 上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；
（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．
【详解】
解：①如图1，
∵顶点M的坐标是 ，