平面问题中一点的应力状态

斜面应力
(1)求（ p x, p y） 由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
px lσ x mτ yx , p y mσ y lτ xy ,
其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。
平面问题中一点的应力状态 x
yx yx
y xx
y y
A
斜面上应力分解为：
1 x 1 10 tg1 3 xy 3 xy 3 1 tg 2 2 y 11 2 3
1 71.57
2 18.43
试证明：在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的
数值都等于两个主应力的平均值。
例题
已知X=q， y=0， xy = -2q， 求： 1 ， 2 ，α1 1=2.562q 2=-1.562q tgα1=-0.781 α1=-37.99o=-37o59`
(d)
说明
应力边界条件的说明：
⑴ 它是边界上微分体的静力平衡条件；
⑵ 它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件； ⑶ 式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界 s上成立；
说明
⑷ 式（d）中，
σ x , σ y , xy －－按应力符号规定，
f x ， f y －－按面力符号规定；
⑸ 位移,应力边界条件均为每个边界两
个，分别表示 x ， y 向的条件；
⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边） f x f y 0, 也必须满足。
坐标面
当边界面为坐标面时， 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
(σx )xa f x , ( xy ) xa f y .
位移边界条件的说明： ⑴ 它是函数方程，要求在 su 上每一点s， 位移与对应的约束位移相等。
u v 0, 则有 ⑵ 若为简单的固定边，
(u) s 0, (v) s 0, （在 su 上）。（b）
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量 f x (s), f y (s).
已知P点应力σxσyτxy 可求出过P点任意斜面上的
•正应力和剪应力（σNτN） 利用（2-4）（2-5） •应力在x，y轴上的投影（px，py） 利用（2-3）
px lσ x mτ yx , p y mσ y lτ xy ,
N l x m y 2lm xy
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 方向的正应力n为 （b）已知 那么
1 2
n 为
，那么任一
;
x a, y b
1 2 ?
§2-6 边界条件
1. 弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx X 0 x y （2-2） xy y Y 0 x y
τmax、 τmin 的方向与σ1
（ σ2 ）成45°。
1 与 2 的符号规定（主应力方向逆时针转到x轴为正） 注意：
例：已知平面一点的应力状态为 x 10MPa, y 2MPa,
xy 3MPa 。求该点的主应力和主平面方向。
解： x y 2 2 10 2 1 x y 10 2 2 2 ( ) ( ) 3 xy 2 2 2 2 2 1 MPa 11
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
px lσ x m yx , p y mσ y l xy ,
（在A中）。（c）
将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面
重合，则得应力边界条件:
(lσ x m yx ) s f x ( s), . （在sσ 上） (mσ y l xy ) s f y ( s),
N l 2 1 m2 2 l 2 ( 1 2 ) 2
N lm( 2 1 )
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
（2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
作用面上正应力一般不为零。而是：

2

xy

x y
2
最大，最小应力
求最大，最小应力 将x，y放在 σ1 , σ 2 方向，列出任一斜面上 应力公式，可以得出（设 σ1 σ 2 ）
max min
σn
σ1 σ2
,
max min
σ1 σ 2 n , 发生在与主 2 应力成45 的斜面上 .
求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
y 面， n 面），
边长 AB ds, PB lds , PA mds.
平面问题中一点的应力状态 x
yx yx
y
y y
A
几何参数：
xx
xy xy
P P
cos(n, x) l ,cos(n, y) m,
τN
B py
⑵ 在同一边界面上，应力分量应等于对
应的面力分量（数值相等，方向一
致）。即在同一边界面上,应力数值应
等于面力数值(给定),应力方向应同面 力方向(给定)。
两种表达式
例如： 在斜面上，
( px )s f x , ( py ) s f y .
在±坐标面上，由于应力与面力的
符号规定不同，故式（e），（f ）有区
1 1 2 N l ( 2 1 ) 4 2
2
y
N
B
N
s
N
显然，当 1 l 2 0(l 1 ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
(d)
说明：以上均应用弹力符号规定导出。
最大、最小剪应力 由
N lm( 2 1 )
l 2 m 2 1 m (1 l 2 )
O
P
2
1
dx dy ds A
x
N l 1 l ( 2 1 )
2
N l 2 l 4 ( 2 1 )
1 x y x y 2 xy 2 2 2
2
（2-7）
1 x tan 1 xy xy tan 2 2 y
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
max 1 2 min 2
问题
§2 －5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出： 已知任一点P处坐标面上应力σ x , σ y , xy ， 求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p x , p y ), p (σ n , n ).
px l
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1
2
x y
2

x y 2
2
2 xy
yx
y
A
x
xy
y x
P
1
px
2
x y
2
x y 2
2 xy
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
1 x ( x y ) E 1 y ( y x ) （2-15） E 2(1 ) xy xy E
未知量数： x , y , xy , x , y, xy , u , v
2
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B
py
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在 n 两个主应力。二者方向互相垂直。 ②
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
max
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
别。
例
列出边界条件：
σy
q
yx
o
h/2 h/2
σ y yx
σx
x
xy
q1
y
l
如图所示，试写出其边界条件。 v u s 0 u 0 , 0 (1) x 0, x v 0 y
(2)
q
h h x
s x a, l 1, m 0 X 0, Y 0 l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
（ σ2 ）成45°。
小结： （1）斜面上的应力
px l x m yx p y m y l xy
（2-3） （2-4）
N l 2 x m2 y 2lm xy （2-5） N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy（2-6）
方程数： 8个 8个
（2-9）
结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
边界条件 －－表示在边界上位移与约 束，或应力与面力之间的关系。 位移边界条件 －－设在su部分边界 上给定位移分量 u ( s) 和 v ( s) ,则有
(u) s u(s), (v) s v(s),（在 su上)。（a）
b a x
(e)
fx fy
xy
σx
y
σx
fx fy
xy
若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为
(σx )xb f x , ( xy ) xb f y .
b a x
(f)
fx fy
xy
σx
σx
fx fy
xy
y
两种表达式
应力边界条件的两种表达式： ⑴ 在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e），（f ）；
2 2
yx yx
y xx
y y
A
x
xy
P P
τN
B py
px
p
xy
n
σN x
N lm( y x ) (l m ) xy
2 2
y
yx
（1）运用了剪应力互等定理： xy yx 说明： （2） N 的正负号规定： 将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， 则该 为正；反之为负。 N （3）若AB面为物体的边界S，则 px X py Y
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
（2-18） —— 平面问题的应力边界条件
主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力。
P xy
yx
y
A
x
y x
B py
p y m m x l x l m px lx m l xl xy m xyxy l xy py y m xyl m y l m xy m xy px m y m xyl l y xy x n xy y
px
xy
P P
xy
n
τN
B
py
σN x
p N N
yx ( 23) 2 2 N lpx y mpy N l x m y 2lm xy
p
（2-4）
( 23) lm( ) (l 2 m2 ) N lpy mpx N y x xy（2-5）
xy 设AB面面积=ds， PB面积=lds， p σN x PA面积=mds。
x
p
n
y 斜面上应力分解为：
yx
x
p px py
xy
X p ds lds
x
mds f xldsmds/ 2 0
由∑Y=0得：
px xl xym
py y m xyl