第2课 数列的概念及其通项公式
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
数列概念及其通项公式课件
工具
第五章
数列
栏目导引
【变式训练】 公式：
1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项
(1)－1,7，－13,19，„ (2)0.8,0.88,0.888，„ 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，„ 2 4 8 16 32 64 (4)0,1,0,1，„
解析： (1)符号问题可通过(－1)n 表示，其各项的绝对值的排列规 律为： 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6， 故通项公式为 an＝(－ 1)n(6n－5)． 8 8 8 (2)将数列变形为9(1－0.1)，9(1－0.01)，9(1－0.001)，„， 1 8 ∴an＝ 1－10n. 9
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数列
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第五章
数
列
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数列
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第五章
数列
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1．数列的概念
按照一定次序 排列着的一列数叫做数列，一般用 {an} 表示．
2．数列的分类 分类原则 按项数分类 有穷数列 无穷数列 类型 满足条件 项数 有限 项数 无限
递增数列
按项与项 间的大小 关系分类 递减数列 常数列 摆动数列
工具
第五章
数列
栏目导引
写出下列各数列的一个通项公式： 1 3 7 15 31 (1)4,6,8,10，„；(2)2，4，8，16，32，„； 2 10 17 26 37 (3)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，„； (4)3,33,333,3 333，„.
解析： (1)各项是从 4 开始的偶数， 所以 an＝2n＋2. (2)每一项分子比分母少 1，而分母可依次写为 21,22,23,24,25，„，故 2n－1 所求数列的一个通项公式可写为 an＝ 2n . (3)带有正负号，故每项中必须含有(－1)n＋1 这个因式，而后去掉负 号，观察可得．
数列初步数列的定义通项公式与性质
数列初步数列的定义通项公式与性质数列是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍数列的定义、通项公式以及数列的一些性质。
1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数，这组数按照一定的次序排列并形成一个序列。
数列可以用形如{a₁,a₂,a₃,...,aₙ}的符号表示，其中a₁、a₂、a₃...分别表示数列的前n项。
2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个公式来表示数列中第n项与其序号n 之间的关系。
通常用aₙ表示数列的第n项，则数列的通项公式常用一般项公式表示。
对于等差数列来说，其通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中a₁为第一项，d为公差。
同样的，等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中a₁为第一项，r为公比。
3. 数列的性质数列有许多重要的性质，下面列举几个常见的性质：- 等差数列的前n项和公式：Sₙ = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2其中Sₙ表示数列的前n项和。
- 等差数列的性质：（1）若数列是等差数列，则其相邻两项之差是相等的。
（2）若数列是等差数列，则数列的前n项和等于数列的后n项和。
- 等比数列的求和公式：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中Sₙ表示数列的前n项和。
- 等比数列的性质：若数列是等比数列且公比不为0，则其相邻两项之比是相等的。
4. 数列在实际问题中的应用数列作为一种数学工具，在实际问题中有广泛的应用。
例如，利用数列的通项公式和性质，我们可以解决各种问题，如等差数列在算术问题和几何问题中的应用，等比数列在利滚利、递增递减等问题中的应用。
综上所述，数列的定义、通项公式和性质是数学中重要的概念。
熟练掌握数列的基本概念和相关公式，对于解决各种实际问题具有重要的意义。
希望本文对读者理解数列有所帮助。
第2课时 数列的通项公式与递推公式
1）可得
n
an+1-an=ln（1+ n1），利用累加法求通项.
【解析】因为a1=2，an+1=an+lnn1（1+ ）， 所以a2=a1+ln（1+1）=2+ln2, a3=a2+ln（1+12 ）=2+ln2+32ln =2+ln3, a4=a3+ln（1+13 ）=2+ln3+43ln =2+ln4. 可猜想an=2+lnn（n∈N*）.
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4.数列{an}满足
an+1=
1
1 an
,a8=2,则
a1=
1 2
.
【解析】由
an+1=
1
1 an
,可得
an=1-
1 an +1
,又
a8=2, 故
a7= 1 ,……依次下去得 a1= 1 .
2
2
5.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）3,5,7,9,11，….
=
1+
3 5
=
8 5
【即时练习】
在数列{an}中，已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n≥1） 写出此数列的前六项.
【解题关键】通过观察，此题的递推公式是数列中相
邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项.
【解析】a1=2，a2=3， a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5， a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9， a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.
初中数学知识归纳数列的概念与常见数列的计算
初中数学知识归纳数列的概念与常见数列的计算数列是数学中非常重要的概念之一，它在初中数学中占有重要地位。
本文将对数列的概念进行归纳，并介绍一些常见数列的计算方法。
一、数列的概念数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的。
数列中的每一个数称为该数列的项，项的位置称为项号。
常用的表示数列的方法有两种：1. 通项公式：一般形式为an，表示第n项的值。
例如：an = 2n表示一个等差数列，首项为2，公差为2；2. 递推公式：一般形式为an+1 = an + d，表示第n项与第n+1项之间的关系。
例如：an+1 = an + 2表示一个等差数列，公差为2。
二、等差数列等差数列是最常见的数列之一，其中相邻两项之差都相等。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
例如，考虑等差数列1, 3, 5, 7, 9，其中a1 = 1，d = 2。
根据通项公式可以计算出该数列的第n项的值。
三、等比数列等比数列是相邻两项之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
例如，考虑等比数列1, 2, 4, 8, 16，其中a1 = 1，r = 2。
根据通项公式可以计算出该数列的第n项的值。
四、斐波那契数列斐波那契数列是数列中的一种特殊形式，每一项都是前两项的和。
即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = F(2) = 1。
斐波那契数列的前几项为1，1，2，3，5，8，13，21...五、算术数列与等差数列的计算算术数列的计算主要涉及到等差数列的各种性质，如首项、公差、项数等。
可以利用下列公式进行计算：1. 首项a1 = an - (n-1)d；2. 项数n = (an - a1)/d + 1；3. 求和Sn = (a1 + an) * n / 2。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，可以计算出该数列的首项a1 = 1，公差d = 2，项数n = 5，和Sn = 25。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
【课件】等差数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二下人教A(2019)选择性必修第二册
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列an 的首项为 a1 ，公差为 d ，则由定义可得：
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故
必修五2-1第2课时数列的性质与通项公式
a2 an an－1 可以有 an＝ · · „· · a 累乘． a1 1 an－1 an－2 ③ an 为周期数列，则周期为 T(T 为正整数)时，an＝an＋T，可 将 an 转化为 a1，a2，„，aT 处理．
课前探究学习
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题型一
判断数列的单调性
解这个不等式组，得 2≤n≤3， ∴n＝2,3.∴a2＝a3 且最小． ∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列
an 的第 1 项或前几项；②递推关系——数列 an 的任一项 an
与它的前一项 an－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可 以用一个公式来表示．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
(3)给出了递推公式求通项公式，常用叠加、累乘等方法，即 ①累加法：an－an－1＝f(n)满足一定规律时，可以有 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1叠加． an ②累乘法： ＝g(n)满足一定条件时， an－1
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题型二
求数列的最大(小)项
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． [思路探索] (1)令an＜0即可；(2)利用求函数最值的方法求 解；或利用an≤an＋1及an≤an－1求最小项． 解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N*，∴n＝2,3. ∴数列中有两项是负数． 52 9 2 (2)法一 ∵an＝n －5n＋4＝n－ － ， 2 4
数列的概念(数列的概念与通项公式)课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
项,用 a2 表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中
第1项也叫做首项.
(3)数列的一般形式是a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.因为数列{an}中的每
一项an与它的序号n有下面的对应关系:
所以数列{an}是从正整数集 N* (或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R
【变式训练1】 下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由.
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列;
(2)所有自然数能构成数列;
(3)-3,-1,1,-3,5,7,1,11是一个项数为6的数列;
(4)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
解:(1)错误.{0,1,2,3,4}是集合,不是数列.
与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示.
二、数列的分类
1.如果组成两个数列的数相同但排列顺序不同,那么它们是否为同一数
列?
提示:不是同一数列.
2.有没有各项都为同一个数的数列?
提示:有.
3.数列的分类
(1)按项的个数分类
类别
含义
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
(2)按项的变化趋势分类
∵n∈N*,
∴2n+3>0,∴an+1>an.
∴数列{an}是递增数列.
【变式训练3】 已知数列{an}的通项公式为an=
大项与最小项.
2-5
,求数列{an}中的最
2-7
2-7+2
1
解:an=
=1+ 7.
2-7
2
画出 y=1+
1
7
2
的图象,如图所示.
《等差数列的概念及其通项公式(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
各级的宽度构成的数列是特殊的数列吗？
是等差数列
如何计算？
根据等差数列的定义计算即可.
一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度.
所以=33+7=40(cm)，=40+7=47(cm)，=47+7=54(cm)，=54+7=61(cm)，=61+7=68(cm).因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm.
已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；(3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项．
(3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列．令2n3>0，得n>，即n≥2.所以数列{an}的最小正数项为a2＝1.
B
若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是( ) A．26 B．29 C．39 D．52
解：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y，∴y＝13，∴x＋z＝2y＝26∴x＋y＋z＝39.
（1）2，，6；（2）；（3）.
4
数列（3）中，中间这个数与前后两个数之间有什么关系？
设中间这个数是，则，整理得．
如果在与之间插入一个数，使，，成等差数列，那么叫作与的等差中项.如果是与的等差中项，那么，所以．
条件：如果，，成等差数列.结论：那么叫做与的等差中项.满足的关系式：2.
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等差中项.
数列的概念与通项公式
数列的概念与通项公式数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所构成。
数列可以有无限项，也可以有有限项。
在数列中，每一项都有一个对应的位置，称为项号。
数列中的每一项按照次序排列，通常用字母表示。
数列的一般形式是：a1, a2, a3, ..., an，其中a1表示第一项，an表示第n项。
为了便于描述数列的规律，我们引入了通项公式的概念。
通项公式是指描述数列中第n项与项号n之间的关系式。
它可以帮助我们轻松地计算数列中的各项数值。
根据数列的规律和特点，可以找出适合该数列的通项公式。
一、等差数列的概念与通项公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
差值通常被称为公差，用字母d表示。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
例如，考虑等差数列1, 4, 7, 10, 13...，首项a1为1，公差d为3。
根据通项公式，可以得到第n项的值：an = 1 + (n-1)3通过计算，可以得到等差数列的通项公式为：an = 3n - 2二、等比数列的概念与通项公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
比值通常被称为公比，用字母q表示。
等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，q表示公比。
例如，考虑等比数列1, 2, 4, 8, 16...，首项a1为1，公比q为2。
根据通项公式，可以得到第n项的值：an = 1 * 2^(n-1)通过计算，可以得到等比数列的通项公式为：an = 2^(n-1)三、斐波那契数列的概念与通项公式斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式可以表示为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，an表示斐波那契数列中的第n项。
例如，考虑斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5...，可以根据通项公式计算出后续项的值。
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第二课时 数列的通项公式与递推公式》课件
题型二 由前 n 项和 Sn 求通项公式 an [学透用活]
[典例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3n＋3,求{an}的通项 公式．
[解] 因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3. 当 n≥2 时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减得 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即 an＝3n－1，所以 an＝33n，－1n，＝n1≥，2.
题型三 数列中的最大项、最小项 [学透用活]
[典例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4.
∵n∈N *，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝n2－n，则 an＝2n－2. ( ) (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝3n－2，则 an＝2×3n－1.
答案：(1)√ (2)×
()
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 可知对称轴方程为 n＝52＝2.5.
又∵n∈N *，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值， 且 a2＝a3，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
法二：设第 n 项最小，由aann≤ ≤aann＋ －11， ， 得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解不等式组，得 2≤n≤3， ∴n＝2 或 3 时 an 有最小值且 a2＝a3， ∴最小值为 22－5×2＋4＝－2.
数列的概念与通项公式
数列的概念与通项公式数列的概念与通项公式【基本概念】1．数列、数列的项按照一定顺序排列着的一列数叫做数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．2．数列的通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列与函数的关系数列可以看作是一个定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．4．数列可用图象来表示在直角坐标系中，以序号为横坐标来表示一个数列．图象是一些相应的项为纵坐标来描点画图孤立的点，它们位于第一象限、第四象限或x轴的正半轴.5．数列的递推公式如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且（4）1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…； （5）1,0，－1，…，sin nπ2，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是______，递增数列是_______，递减数列是________，摆动数列是_______，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)2.观察法求数列的通项公式例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）11×2，－12×3，13×4，－14×5； （2） 22－12，32－13，42－14，52－15； （3）112，223，334，445； （4）9，99，999，9999.3.数列通项公式的应用例3 （1）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断0.7是不是数列{a n }中的一项？若是，是第几项？（2）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2cos nπ2.求证：a m ＋4＝a m . 4.根据数列的递推公式写出数列的前几项，并归纳通项公式例4 根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．（1）a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1 (n ∈N *)（2）a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1. （3）a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)【总结提升】1．数列的通项公式如果数列的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．注意：数列的通项与通项公式是有区别的，前者是函数值，后者是一个函数的解析式．2．数列与函数的关系对任一数列{a n}，每一项的序号n与这一项a n的对应关系，可以看成序号集合到另一个数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点看，数列可以(或它的有限子看成是一个定义域为正整数集N＋集{1,2,3，…，n})的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的函数值(右图)，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i ＝1,2,3，…，n，…)有意义，那么可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….3．数列的表示法从函数观点看，数列除了可以用通项公式表示外，还有如下表示方法：(1)列表法(又称列举法)，即通过列举数列的前n项来表示数列的方法．(2)图象法，由于数列是定义在正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，因此，数列的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．4．通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.5．如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列{a n}的第1项或前几项；②递推关系——数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n(或前几项)之间的关系，并且这个－1关系可以用一个公式来表示．。
数列的数项公式和通项公式
数列的数项公式和通项公式一、数列的定义及相关概念1.数列：按照一定的顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数称为项。
3.数列的表示方法：用大括号表示数列，例如{a1, a2, a3, …, an}。
4.数列的项数：数列中项的个数，用n表示。
5.数列的通项：数列中第n项的值，用an表示。
二、数列的数项公式1.等差数列的数项公式：an = a1 + (n-1)d–a1：首项2.等比数列的数项公式：an = a1 * q^(n-1)–a1：首项3.斐波那契数列的数项公式：an = (1/√5) * [(φ^n - (1-φ)^n) / √5]–φ：黄金分割比（(1+√5)/2）三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：–公式一：an = (φ^n - (1-φ)^n) / √5–公式二：an = (φ^n - (-φ)^n) / √5–φ：黄金分割比（(1+√5)/2）四、数列的性质与运算1.数列的求和公式：–等差数列求和公式：S = n/2 * (a1 + an)–等比数列求和公式：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2.数列的差：两个数列对应项的差形成一个新的数列。
3.数列的积：两个数列对应项的积形成一个新的数列。
4.数列的商：两个数列对应项的商形成一个新的数列。
五、数列的应用1.数列在数学分析中的应用：数列极限、级数等。
2.数列在数论中的应用：质数分布、整数分解等。
3.数列在物理学中的应用：振动、波动等。
4.数列在工程学中的应用：信号处理、数据分析等。
数列是数学中的一个基本概念，具有广泛的应用。
掌握数列的数项公式和通项公式，有助于解决实际问题中的数列问题。
通过学习数列的性质与运算，可以更深入地理解数列的本质，为后续学习数学分析、数论等学科打下基础。
数学人教A版选择性必修第二册4.1.1数列的概念与通项公式课件
{}：表示数列
：仅表示数列中的第项这一个数值
数列{}中的每一项与它的序号(下标)有下列的对应关系：
序号
1
项 a1
2
3
a2
a3
…
n
… an …
…
问题4：数列中各项 与各项序号 之间的对应关系是什么关系？
序号
1
2
3
…
思考：观察三个例题中的数列的项数有什么区别？
项数有限的数列称为有穷数列，如数列1、2；
项数无限的数列称为无穷数列，如数列3．
概念辨析
（1）：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两
个数列是不是同一个数列？
（2）：1，1，1，1，1…是不是一个数列？
思考： 数列中的每一个数和集合中的元素有什么区别？
可否用一个公式表示?
如果数列{ }的第项 与之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
思考： 你能写出例3中
−
= −
、
、− 、 ...，数列的通项公式吗？
追问：数列的通项公式有什么作用？
追问：例1、例2中的两个数列也能写成通项公式的形式吗？
系列的形数.
他们发现,当小石子的数目是1,3,6,10等数时,小石子都能摆成正三角
形,如图(a),他们把这些数叫做三角形数;
当小石子的数目是1,4,9,16等数时,小石子都能摆成正方形,如图(b),
他们把这些数叫做正方形数;等等.
新知探究
实例1：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：
数列的概念及通项公式
数列的概念及通项公式数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。
它是数学中重要的基础概念之一，被广泛应用于各个领域。
数列的通项公式是指能够确定数列中第n项的公式。
通常使用字母an表示数列的第n项，使用n表示项数。
数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
这个固定的差值称为公差，通常用d表示。
例如，1，4，7，10，13就是一个等差数列，公差为3等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d其中a1为数列的首项，d为公差。
通过这个公式，我们可以根据已知条件计算出数列的任意一项。
等差数列的一些基本性质包括：1. 任意项和：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a1+an)/2 * n，其中a1为首项，an为第n项，n为项数。
2. 项与项之和：等差数列中的每一项与它的对称项之和等于首项与末项之和。
即an + an-1 = a1 + an。
3. 对称性：等差数列中，关于中间项(an/2)对称的项相等。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
这个固定的比值称为公比，通常用q表示。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)其中a1为数列的首项，q为公比。
通过这个公式，我们可以根据已知条件计算出数列的任意一项。
等比数列的一些基本性质包括：1.任意项和：等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
2. 项与项之比：等比数列中的两个相邻项之比等于公比。
即an /an-1 = q。
3. 对称性：等比数列中，关于中间项(an/2)对称的项相等。
三、其他类型的数列除了等差数列和等比数列之外，还存在其他类型的数列。
1.斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
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听课随笔 第2课时 数列的概念及其通项公式 知识网络
学习要求
分类；
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．了解地推数列的概念；
【自学评价】
1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为 {}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
4．数列的分类： 按n a 的增减分类：
（i ） 递增数列：n N *
∈任意，总有
1n n a a +>；
（ii ）递减数列：n N *
∈任意，总有
1n n a a +<；
(iii) 摆动数列 l N *
∈任意k,
， 有1k k a a +>，也有1l l a a +<， 例如1,2,4,6,8,
---；
（iv ） 常数列：n N *
∈任意，1n n a a +=； （v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；
（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存
在n a 使||n a M >．
5．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个
公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式．递推公式是给出数列的一种重要方式．
【精典范例】
【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）;5
1
5;414,313;2122222---- 5
44,433,322,211)2( （3）9，99，999，9999
【解】(1)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：
2(1)11
n n a n +-=+；
(2) 这个数列的前4项每一项都可以分
为整数部分n 与分数部分
1
n
n +的和, 所以它的一个通项公式是：1
n n
a n n =++
(3) 这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000.所以它的一个通项
公式是：101n
n a =-
【例2】已知数列｛a n ｝的递推公式是
a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛a n ｝的通项公式. 【解】由a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1－2a n 得
a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×1＝7 a 4＝3 a 3－2a 2＝3×7－2×3＝15 a 5＝3a 4－2a 3＝3×5－2×7＝31
……可推测a n ＝2n －1. 【例3】设12n n S a a a =+++，其中n S 为数列的前n 项和，已知数列{}n a 的前n 项和
251n S n =+，求该数列的通项公式。
分析：由于n a 与n S 的关系是
11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩因而已知n S 求n a 时，
常用的解题策略是先求1a 再将n a 用1n n S S --表示，但由于n a =1n n S S --只能求
出数列的第二项及以后各项，故特别要注意验证1n =的情形是否满足n a =1n n S S --，若满足，则n a 是关于n 的一个式子，否则写成分段函数的形式．
【解】6,1
105,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
【追踪训练一】
1．已知a n +1=a n +3，则数列{a n }是（ A ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 2．已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n +1=
2
1
a n ,项数
数列
数列定义 项 数列有关概念
数列与函数的关系
数列通项公式 通项
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听课随笔
则数列{a n }是 （ B ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列
3．数列1，3，6，10，15，……的递推公式是（ B ）
A.⎩⎨⎧∈+==+*`,1
11N n n a a a n n B.⎩⎨⎧≥∈+==-2*,,111n N n n a a a n n
C.⎩⎨⎧≥∈++==+2*,),1(11
1n N n n a a a n n
D.⎩⎨
⎧∈-+==-*
),1(1
11N n n a a a n n
4．设凸n 边形的对角线条数为f (n ),则f (3)=______;f (n +1)=______(用f (n )表示). 【解析】显然f (3)=0f (n +1)=f (n )+(n －1) 【答案】0 f (n )+n －1
【选修延伸】
【例4】已知数列{}n a 的通项为
254n a n n =-+,问:
(1).数列中有多少项为负数？
(2).n 为何值时,n a 有最小值？并求此最小值．
分析：数列的通项公式2
54n a n n =-+可
看成2*
()54,()f n n n n N =-+∈，利用二次函数的性质解决问题． 【解】（1）n=2或3共2项 （1）n=2或3时有最小值-2
点评:数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，用函数的有关知识解决问题时，要考虑定义域为正整数这一约束条件．
【追踪训练二】
1.已知数列{a n }的首项，a 1=1,且a n =2a n －1+1(n ≥2),则a 5为（ D ）
A.7
B.15
C.30
D.31
2.数列｛－2n 2
+29n +3｝中最大项的值是（ B ）
A.107
B.108
C.1088
1
D.109 3.若数列{a n }满足a 1=2
1
,a n =1－11-n a ,n ≥2，
n ∈N *,则a 2003等于（ B ）
A.
2
1
B.－1
C.2
D.1
4.已知数列{a n }的递推公式为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧+=1
2n a a a 的通【1
2+n
a 知
a 2=3=5,=7∴=1
2-n =1
2-n
学生质疑
教师释疑。