异面直线的距离求法

异面直线的距离求法

发表时间：2009-07-09T11:36:35.200Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2009年第9期作者：陈君兰[导读] 本文通过一道典型习题的解法探讨，介绍了几种常见的异面直线的距离求法。

异面直线的距离求法陈君兰

摘要：本文通过一道典型习题的解法探讨，介绍了几种常见的异面直线的距离求法。关键词：异面直线；距离；方法作者简介：陈君兰，任教于广西北海市第七中学。

人教版教材高二（下B）中，有这样一道习题：已知正方体的棱长为1，求直线与的距离。（习题9.8第4题）这是一道非常典型的习题，下面通过对这道解法的探讨，给出几种常见的求异面直线距离的方法：解法一：

取AD的中点P，连结，交D于M，连结BP交AC于N，连结MN。

∵△ANP∽△CNB，△DMP∽△M，∴，，

∴，

∴MN∥B

又∵⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴由三垂线定理可得⊥AC，同理可得⊥，

∴MN⊥AC MN⊥，又MN分别与、AC相交于M、N，∴MN是AC、的公垂线。

∵，

∴，

即MN=

故异面直线与的距离为。

解法二：

如图示，连结，∵平面ABCD，ACBD，∴由三垂线定理可得，同理可得，∴是与异面直线与AC均垂直的直线，设AC与BD相交于点O，取的中点G，连结OG，则OG∥，连结AG，设AG与相交于点M，过点M作MN∥OG交AC于点N，则有MN∥，∴，又MN分别与、AC相交于M、N，∴MN是异面直线与AC的公垂线，线段MN的长度就是所要求的两异面直线的距离。

在中，∵DM平分，∴，从而，又，由MN∥GO，得∽△，∴∴，即异面直线与AC的距离为。

解法三：

连结，设与相交于，则易知平面，∴直线与AC的距离可转化为直线AC与平面D的距离，进而转化为求点O到平面D的距离．连结，，∵直线平面，平面D ∴平面平面，平面平面=，过O作OH于H，则OH平面，故OH就是所要求的距离。

在中，有，可得即异面直线与AC的距离为。

解法四：

如图：∵AC∥面D，直线D与AC之间的距离，转化为点A到平面D之间的距离，设此距离为d，连则V—AD= VA—D ∴

即

解得d=。

即异面直线与AC的距离为。

解法五：

如图，建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），A（1,0,0），C（0,1,0），（1,0,1）∴=（-1,1,0），设

则

=（1,0,0）+（-y,y,0）-（x,0,x）

=（1-y-x,y,-x）

由

解得

即

∴

即异面直线与AC的距离为。

解法六：

如图示建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）A（1，0，0），C（0，1，0），

∴

设是两向量的公垂向量，则

∴有，取，代入解得

∴，设异面直线与AC的距离为，而，

∴

故异面直线与AC的距离为

解法七：

如图，设M是上任意一点，在面内作MP于P，在面ABCD内过点P作PN⊥AC于N，连结MN。

∵平面⊥平面ABCD，MP，

∴平面ABCD，NP平面ABCD，∴，

设，则，

在，

在

∴当时，MN取得最小值，∴异面直线与AC的距离为．通过以上解法分析，可得求异面直线的距离常用方法有下列四种：

1.定义法（解法一、解法二）

这种方法的基本思路是：先作（找）出这两条异面直线的公垂线，再通过解三角形求出公垂线段的长，即得这两条异面直线的距离。

2.转化法（解法三、解法四）

把异面直线距离转化为直线与平面或平面与平面的距离。

两条异面直线的距离，等于其中一条直线（）到过另一条直线（）且与这条直线（）平行的平面的距离，进而可转化为点面距离求解。

3.向量方法（解法五、解法六）

建立空间直角坐标系，设出公垂线，利用公垂线的定义及向量垂直的条件，建立方程组，求出公垂线的向量，可设d是异面直线a和b的公垂线，利用向量的数量积以及垂足在直线上，求出，进而求得||。也可以设是两条异面直线，其公垂向量为，设A、B分别是上的两点，则的距离可用公式来求。

4.函数最小值法（解法七）

由于异面直线间的距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，所以我们可以用求函数最小值的方法求出异面直线的距离。

用函数最小值法求异面直线的距离的步骤是：(1)过直线作一平面；（2）设M是直线上任意一点，作MP，垂足为P，在内作于N，连结MN；（3）设，由已知条件，求出；

（4）在中，，然后求出MN的最小值，即为异面直线的距离。作者单位：广西北海市第七中学

邮政编码：536000

Solutions to Distance between Lines in Different Planes Chen Junlan

Abstract: Based on the discussion on solutions to a typical mathematical exercise, this paper introduces some solutions to distance between lines in different planes.

Key words: lines in different planes; distance; solutions