正弦函数余弦函数的性质PPT课件
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5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件(人教版)
由此可知，2π,4π,……,－2π,－4π， ……2kπ (k∈Z且k≠0)都是正弦函数和余弦函数 的周期,最小正周期是2π.
学习新知
注意： (1) 周期函数中，x定义域M，则必有 x+TM, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定 义域无下界； (2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就 不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；
(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？
在数学当中，有没有周期现象？
学习新知 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔 2k，kZ重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说 明.
解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
(2)设函数y=sin2x, x∈R的周期为T，则 sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x ∵正弦函数的最小正周期为2π ，
所以，2T 2得T 2
2 ∴ y=sin2x ,x∈R的周期为π
课堂小结
函数 性质
y=sinx
y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
最大值
仅当x 2k , k Z
2
时取得最大值1
最小值
仅当
x
2k , k Z
时取2得最小值-1
奇偶性
奇函数
仅当
x 2k , k Z
时取得最大值1
仅当
x (2k 1) , k Z
学习新知
注意： (1) 周期函数中，x定义域M，则必有 x+TM, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定 义域无下界； (2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就 不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；
(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？
在数学当中，有没有周期现象？
学习新知 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔 2k，kZ重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说 明.
解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
(2)设函数y=sin2x, x∈R的周期为T，则 sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x ∵正弦函数的最小正周期为2π ，
所以，2T 2得T 2
2 ∴ y=sin2x ,x∈R的周期为π
课堂小结
函数 性质
y=sinx
y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
最大值
仅当x 2k , k Z
2
时取得最大值1
最小值
仅当
x
2k , k Z
时取2得最小值-1
奇偶性
奇函数
仅当
x 2k , k Z
时取得最大值1
仅当
x (2k 1) , k Z
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
《正弦余弦函数》PPT课件全文
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数.一般地，y=Asinωx是奇函数， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，正 ， 正切函数的值域是什么?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，正 ， 正切函数的值域是什么?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
正弦函数、余弦函数的图象和性质PPT课件.ppt
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
2 0
2
5
●
11
6 32 3 6
●
●
x
●
5
6
-1
●
●
●
3
sin(2k +x)= sinx (k Z)
y y=sinx (xR)
1
2 0
-1
2 3 4 5
6 x
二、正弦函数的“五点画图法”
(2)y= - cosx， x [0, 2 ]
解：(1)按五个关键点列表
x
0
2
3
2
2
sinx 0 1 0 -1 0
1+sinx 1 2
1
0
1
y
2
●
y=1+sinx x [0, 2 ]
1●
●
●
●
o
3
2
x
2
2
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3
2
2
cosx 1 0 -1 0 1
y
y=sinx的图象
1
2 0 3 2 3
2 -1 2
2
4 5
y=cosx的图象
6 x
余弦函数的“五点画图法”
(0,1)、(
2
,0)、( ,-1)、( 3 2
,0)、(2, 1)
y
1●
●
o
●
●
3
2
5.4.2正弦函数余弦函数性质课件(人教版)(1)
2p 4p
x 6p
周
期
性
阅读课本p201回答下列问题
一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数
x D, 都有
，且
f(x+T)=
.
则f(x)就叫做周期函数 ，非零常数T就叫做这个函数的周期。
，使得对每一个
周
期
性
思考：由诱导公式一，正弦余弦函数的周期是？
答：正弦余弦函数的周期可以是
2p , 4p ,6p…以及-2p ,-4p ,-6p
最小正周期
例1（课本p201） 求下列函数的周期：
(1)y 3sin x, x R;
(2)y cos 2x, x R;
(3) y 2sin(1 x - p ), x R.
26
总结正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)和余弦型函数y＝ Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝ 2p
A．2π
B．π
C．π2
D．π4
2．已知函数 f(x)的周期为 1.5，且 f(1)＝20，则 f(10)的值是________.
3.若 f(x)是以 2 为周期的奇函数，且当 x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求 f92的 值．
4.求函数y 3sin(2x - π) 的周期、对称轴、对称中心
x 6p
x 6p
也可由诱导公式sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx知： 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
奇
偶
性
正弦函数y sinx
- 6p - 4p
y 1
- 2p o
-1
2p 4p
x 6p
对称轴：
x kp p , k Z.
正弦函数余弦函数的性质赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数的图象
问题：它们的图象有何对称性？
3.奇偶性
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
f ( x) sin x, x R 为奇函数
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为
(
k
,0)
,k Z
62
练习
▪ 求 y cos( 1 x ) 函数的对称轴和对称中心
正周期是 2
举例
例1、求下列函数的周 期:
(1) y 3cos x, x R; 若不加特别说明, (2) y sin 2x, x R; 都指最小正周期.
(3) y 2sin( 1 x ), x R;
26
(4) y Asin(x ), x R.( A 0, 0)
解：（1）∵ 3cos( x 2 ) 3cos x ∴自变量x只要并且最少要增加到x+2π ，函数
练习
▪ P 46 练习2
(1)2cos x 3 (2)sin2 x 0.5
× cos x 3 1 2
√ sin x 0.5 [1,1]
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数的图象
问题：它们的图象有何对称性？
3.奇偶性
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
f ( x) sin x, x R 为奇函数
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为
(
k
,0)
,k Z
62
练习
▪ 求 y cos( 1 x ) 函数的对称轴和对称中心
正周期是 2
举例
例1、求下列函数的周 期:
(1) y 3cos x, x R; 若不加特别说明, (2) y sin 2x, x R; 都指最小正周期.
(3) y 2sin( 1 x ), x R;
26
(4) y Asin(x ), x R.( A 0, 0)
解：（1）∵ 3cos( x 2 ) 3cos x ∴自变量x只要并且最少要增加到x+2π ，函数
练习
▪ P 46 练习2
(1)2cos x 3 (2)sin2 x 0.5
× cos x 3 1 2
√ sin x 0.5 [1,1]
5．4.1正弦函数、余弦函数的图象(共36张PPT)
作直线 y＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与 y＝sin x，x∈[0，2π] 图象的交点横坐标为π6和56π；作直线 y＝ 23，该直线与 y＝sin x，x∈[0，2π] 图象的交点横坐标为π3和23π，则不等式的解集为π6，π3∪23π，56π.
1．函数 y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是
第五章 三角函数
5．4 三角函数的图象与性质 5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点
学习目标
了解利用正弦线作正弦函数图象
正弦函数、余弦函 的方法，
数的图象 会用“五点法”画正弦函数、余
弦函数的图象
正、余弦函数图象 会用正弦函数、余弦函数的图象
解析：选 A.由“五点法”知五个关键点分别为(0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1， (2π，0)，故选 A.
3．函数 y＝cos x，x∈R 图象的一条对称轴是
A．x 轴
B．y 轴
C．直线 x＝π2 答案：B
D．直线 x＝32π
()
4．请补充完整下面用“五点法”作出函数 y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的 列表．
的简单应用 解简单问题
核心素养 数学抽象、
直观想象
直观想象
问题导学 预习教材 P196－P200，并思考以下问题： 1．如何把 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象变换为 y＝sin x，x∈R 的图象？ 2．正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？
正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
图象
1．函数 y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是
第五章 三角函数
5．4 三角函数的图象与性质 5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点
学习目标
了解利用正弦线作正弦函数图象
正弦函数、余弦函 的方法，
数的图象 会用“五点法”画正弦函数、余
弦函数的图象
正、余弦函数图象 会用正弦函数、余弦函数的图象
解析：选 A.由“五点法”知五个关键点分别为(0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1， (2π，0)，故选 A.
3．函数 y＝cos x，x∈R 图象的一条对称轴是
A．x 轴
B．y 轴
C．直线 x＝π2 答案：B
D．直线 x＝32π
()
4．请补充完整下面用“五点法”作出函数 y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的 列表．
的简单应用 解简单问题
核心素养 数学抽象、
直观想象
直观想象
问题导学 预习教材 P196－P200，并思考以下问题： 1．如何把 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象变换为 y＝sin x，x∈R 的图象？ 2．正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？
正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
图象
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)教学课件(人教版)
（小）值求解.
（3）余弦函数类似.
例4
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小
(1)sin( )与sin( )
（1）因为 0，
正弦函数
y
sin
x在区间
,
0 上单调递增，
所以sin( ) sin( ).
分析：可利用三角函数的单调 性比较两个同名三角函数值的 大小.为此，先用诱导公式将已 知角化为同一单调区间内的角， 然后再比较大小.
,
x
[2,
2]
的单调区间吗？
解：令 z 1 x.由于 z 是 x的减函数，因此函数 y sin z 的减区间就是原函数的增区间. 2
函数
y
sin
z
的单调递减区间是
2
2k，3 2
2k
(k
Z)
由于 2k 1 x 3 2kk Z
2
2 2
得 7 k x kk Z
对于余弦函数 y cos x, x R,有 当且仅当 x 2k, k Z时，取得最大值 1； 当且仅当 x (2k 1), k Z时，取得最小值-1.
例3
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、 最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值. (1) y cos x 1, x R; （1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R 取得最大值的 x 的集合{x | x 2k, k Z}； 使函数 y cos x 1, x R取得最小值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R取得 最小值的 x 的集合{x | x 2(k 1), k Z}. 函数 y cos x 1, x R的最大值是11 2；最小值是11 0.
（3）余弦函数类似.
例4
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小
(1)sin( )与sin( )
（1）因为 0，
正弦函数
y
sin
x在区间
,
0 上单调递增，
所以sin( ) sin( ).
分析：可利用三角函数的单调 性比较两个同名三角函数值的 大小.为此，先用诱导公式将已 知角化为同一单调区间内的角， 然后再比较大小.
,
x
[2,
2]
的单调区间吗？
解：令 z 1 x.由于 z 是 x的减函数，因此函数 y sin z 的减区间就是原函数的增区间. 2
函数
y
sin
z
的单调递减区间是
2
2k，3 2
2k
(k
Z)
由于 2k 1 x 3 2kk Z
2
2 2
得 7 k x kk Z
对于余弦函数 y cos x, x R,有 当且仅当 x 2k, k Z时，取得最大值 1； 当且仅当 x (2k 1), k Z时，取得最小值-1.
例3
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、 最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值. (1) y cos x 1, x R; （1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R 取得最大值的 x 的集合{x | x 2k, k Z}； 使函数 y cos x 1, x R取得最小值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R取得 最小值的 x 的集合{x | x 2(k 1), k Z}. 函数 y cos x 1, x R的最大值是11 2；最小值是11 0.
5.4.2正弦函数、余弦函数性质第2课时课件(人教版)
总结升华
1.正余弦函数的图象和性质
2．体会整体，熟知将复合函数转化初等函数问 题 3．注意易错问题
课后作业
教材P207练习T1-5 P213习题5.4T4,T5，T16
9
5
9
5
例3.求函数y
解：令u 2x
3
,
sin(2 x
则y
3
)
探究应用3：单调性
单调递增区间.
sin u u 2 x 在R上是增函数， 3
由复合函数“同增异减”原则知，y sin u 是增函数.
2k
u
2k , (k Z )，
2
2
即 2k 2x 2k ,(k Z)，
解析 由π2<x<π，ω>0 得ω2π＋π4<ωx＋π4<ωπ＋π4，
又 y＝sin x 的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋32π，k∈Z， 所以ωω2ππ＋ ＋ππ44≥ ≤π322π＋＋2k2πkπ，，k∈Z，
解得 4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z. 又由 4k＋12－2k＋54≤0，k∈Z 且 2k＋45>0，k∈Z， 得 k＝0，所以 ω∈12，54.
(2) 当 sin 2 x 1，即 2x 2k x k (k Z )时，
2
4
y 取得最大值 ymax 1 .
∴函数的最大值为1，取最大值时的x集合为
x
x
k
4
，k
Z
（3）y a sin（2 x ） b .
6
解：① 若 a 0 ，则当sin（2 x ） 1时， 6
12
12
(k∈Z)为所求．
又∵y＝或sin：ｕ令在u［＝2k3π－－2x，，则2uk是π＋x的减］函(k数∈Z)上为增函数，
3.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质_课件-湘教版必修2PPT
预习测评
1．正弦曲线上最高点的纵坐标是
π A. 2
B．π
C.12
D．1
答案 D
2．y＝1＋sin x，x∈[0，2π)的图象与直线y＝
交点
( )．
3 2
有______个
( )．
A．1
B．2
C．3
D．0
答案 B
3．在[0，2π]上，f(x)＝cos x的零点有________个 ( )．
A．0
B．1
(3)找横坐标：把x轴上从0～2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． (4)找纵坐标：将正弦线对应平移，即可找出相应的12个点． (5)连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即 得y＝sin x，x∈[0，2π]的图象．
我们通过图象的平移作正弦函数y＝sin x，x∈R的图 象．因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝ sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同， 于是我们只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右 平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝ sin x，x∈R的图象，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做 正弦曲线． 下图是正弦曲线y＝sin x，(x∈R)的图象：
典例剖析
题型一 “五点法”作图 【例1】作出下列函数0，2π]；
(2)y＝－1－cos x，x∈[0，2π]．
解 (1)利用“五点法”作图
列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
描点作图，如图所示：
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)经典课件25页PPT
新知探究 ：
1、正弦函数的单调性 y
1
y
1
2
o
2
o
-1
-1
3
2
2
x x
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
新知探究：
1、正弦函数的单调性
y
-4 -3
-2
- 2
1
o
-1
2
2
3
4
5 6 x
x
2
…
0
…
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
y
正弦 函数 y=sinx的 图象
1-
-
-
-
o - 1-
2
4
6
x
对称中心：无数个
（kπ，0）,k∈Z
y
余 弦函 数 y =co sx的 图象
1-
-
-
-
o
复习回顾
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
正弦函数余弦函数的图像和性质PPT课件
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tgα的几何意义. 想一想? 1
P
T
正弦线MP 余弦线OM
o
M
1
A
正切线AT
三角问题
几何问题
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
(2) 描点
-
(3) 连线
-
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
如: 作 的正弦线 平移定点
,连线
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 图象的几何作法 作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
1-
(3) 平移 (4) 连线
-
-
-
-1 -1 -
-
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦曲线
1-
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
返回 请单击：
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
(五点作图法)
1-
图象的最高点 与x轴的交点 图象的最低点
-
-1 -1 -
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最高点 与x轴的交点
1-
-
-1
图象的最低点
（1） y
x
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
-
1
-
-1
由于
所以余弦函数
1. sinα、cosα、tgα的几何意义. 想一想? 1
P
T
正弦线MP 余弦线OM
o
M
1
A
正切线AT
三角问题
几何问题
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
(2) 描点
-
(3) 连线
-
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
如: 作 的正弦线 平移定点
,连线
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 图象的几何作法 作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
1-
(3) 平移 (4) 连线
-
-
-
-1 -1 -
-
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦曲线
1-
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
返回 请单击：
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
(五点作图法)
1-
图象的最高点 与x轴的交点 图象的最低点
-
-1 -1 -
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最高点 与x轴的交点
1-
-
-1
图象的最低点
（1） y
x
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
-
1
-
-1
由于
所以余弦函数
高三数学正弦余弦函数的性质,图像课件
例1： 求函数
3 cos x y 2 cos x
的值域
解法二： ∵ ∴
2y 3 cos x ( y 1) y 1 1 cos x 1
1 2y 3 1且y 1 y 1
∴
4 函数值域为 2 3，
反函数法
练习：
①若 2 ，则 y 2 cos 2
例3： 求方程lg x sin x的实根的个数
在同一坐标系中作出 y lg x和y sin x的图象如下：
y=sinx
数形结合思想
两图象有三个交点，即方程有三个实数根。
练习：
⒈已知 f ( x) 4m sin x cos 2 x( x R) ,
③ 函数
y 1 2 cos x lg(2 sin x 1) 的定义域为
5 2 k , 2 k , k Z 6 3
例 2： 若函数 f ( x) cos 2 x 2a cos x a 2 2a(0 x )的 最 小 值
2
, 知0 cos x 1, 可 得
1 当0 a 2时, f ( x） 最 小 值 为 a 2 2a 1 2解 得 2 a 2 2 , 此 时f ( x)的 最 大 值 为 1 当a 2时 ，f ( x)的 最 小 值 为 a 2 4a 1 2, 解 得a 3 此 时f ( x)的 最 大 值 为 2 a 0时, f ( x)的 最 小 值 a 2 2a 1 2, 解 得a 1, 显 然 不 成 立
y=sinx xR
ห้องสมุดไป่ตู้
y
1
正弦曲 线
3
-4
-3
高一数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质课件
上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
+ ( ∈ ) 时取得最大值1，
当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；
①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +
+ ，所以自变量增加 ，函数值
+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.
单调性
−
−
−
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
正弦函数_余弦函数的性质 ppt课件
(1)y cosx1, xR;
(2)y 3sin2x, xR.
解（：2）令t=2x,因为使函{t数|ty 3si2nkt,t, k RZ取}最大值的t的集合是
由 2xt2k2 得 xk
2
4
所以使函数 y3sin2x,x R 取最大值的x的集合是
{x|xk,kZ}
4 同理，使函数 y3sin2x,x R取最小值的x的集合是
3 5
2
2 3
2
P' 2
y 1P
O 3 2
2
2
1
5 3 x
2
对称轴：x L5,3,1,1,3L
2 2 222
xk,kZ
2
对称中心： L ( , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( , 0 ) , ( 2 , 0 ) L
(k,0) k Z
ppt课件
27
余弦函数的图象 y
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都p是pt课件指的最小正周期。 5
正弦函数 ys ixn(xR)
y
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： s ix n2 (k)s ixn
即 f(x2k)f(x)
☺正弦函数ys ixn(xR ppt课)是件 周期函数，周期是 2k6
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x
12
y
D.x0
1
3 5
2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当
(2)y 3sin2x, xR.
解（：2）令t=2x,因为使函{t数|ty 3si2nkt,t, k RZ取}最大值的t的集合是
由 2xt2k2 得 xk
2
4
所以使函数 y3sin2x,x R 取最大值的x的集合是
{x|xk,kZ}
4 同理，使函数 y3sin2x,x R取最小值的x的集合是
3 5
2
2 3
2
P' 2
y 1P
O 3 2
2
2
1
5 3 x
2
对称轴：x L5,3,1,1,3L
2 2 222
xk,kZ
2
对称中心： L ( , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( , 0 ) , ( 2 , 0 ) L
(k,0) k Z
ppt课件
27
余弦函数的图象 y
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都p是pt课件指的最小正周期。 5
正弦函数 ys ixn(xR)
y
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： s ix n2 (k)s ixn
即 f(x2k)f(x)
☺正弦函数ys ixn(xR ppt课)是件 周期函数，周期是 2k6
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x
12
y
D.x0
1
3 5
2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当
正弦、余弦函数的图象和性质ppt
定 义 域: 值 域:
最 值:
周 期:
奇 偶 性:
单 调 性:
例题讲解：
例1：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合， 并说出最大值是什么 （1）y cos x 1, x R;
（2）y
sin 2 x, x R.
例2：求下列函数的定义域： 1 （1） y 1 sin x （2）
正弦、余弦函数的图象和性质
X
正弦函数的图象
-4 -3 -2 -
y
正弦曲线
1
o
-1
234源自56x定义域：R [-1，1] 值 域： 正弦函数 y sin x, x R
2 （2）当且仅当 x 2k , k Z 时，取得最小值-1。 2
（1）当且仅当 x
周期函数：
一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就 叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
知 2 , 4 ,, 2 , 4 ,2k (k Z , k 0) 都是 这两个函数的周期。 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个 最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周 期。 根据上述定义可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数， 2k (k Z , k 0)都是它的周期，最小正周期是2
y cos x
例3：求函数y=-cosx的单调区间
解：由y=-cosx的图象可知：
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
单调增区间为 [2k ,(2k 1) ](k Z )
单调减区间为 [(2k 1) , 2k ]( k Z )
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件(人教版)(1)
4
（1） = sin , ∈
3
（3） =
1
,
2
∈
2 = 4, ∈
4 =
1
3
+
1
4
, ∈
(5) y=|sin x|,x∈R
解：| sin(x + π) |=| -sinx |=| sinx求函数最小正周期的常用方法:
| ，即
f(x + π) = f(x)，所以周期 T =(1)定义法:
即sin （z＋2π）＝ sin z，
于是sin(2x＋2π)＝ sin 2x，所以sin 2(x＋π)＝ sin 2x，x∈R．
由周期函数的定义可知，函数y＝ sin 2x的周期为π．
例1：求下列函数的周期
(1) y 3cos x, x R
(2) y sin 2 x, x R
1
π
1.对周期函数与周期定义中的“当 x 取定义域内的每一
个值时”，要特别注意其中“每一个”的要求.如果只
是对某些x有f(x+T)=f(x)，那么T就不是f(x)的周期.
说明
2. 周 期 函数 的 周 期不 唯 一 . 若T 是 函 数f ( x ) 的 最 小正
周期，则kT(k ∈ Z ， k≠0)也是函数f(x)的周期.
图像
周期
奇偶性
T=2π
T=2π
奇函数
偶函数
(1)正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
(2)规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2kπ,k∈Z重复出现）;
诱导公式一：sin(2kπ+x)=sinx(k∈Z)
若f(x)=sinx，则 f(x+2kπ)=f(x)
（1） = sin , ∈
3
（3） =
1
,
2
∈
2 = 4, ∈
4 =
1
3
+
1
4
, ∈
(5) y=|sin x|,x∈R
解：| sin(x + π) |=| -sinx |=| sinx求函数最小正周期的常用方法:
| ，即
f(x + π) = f(x)，所以周期 T =(1)定义法:
即sin （z＋2π）＝ sin z，
于是sin(2x＋2π)＝ sin 2x，所以sin 2(x＋π)＝ sin 2x，x∈R．
由周期函数的定义可知，函数y＝ sin 2x的周期为π．
例1：求下列函数的周期
(1) y 3cos x, x R
(2) y sin 2 x, x R
1
π
1.对周期函数与周期定义中的“当 x 取定义域内的每一
个值时”，要特别注意其中“每一个”的要求.如果只
是对某些x有f(x+T)=f(x)，那么T就不是f(x)的周期.
说明
2. 周 期 函数 的 周 期不 唯 一 . 若T 是 函 数f ( x ) 的 最 小正
周期，则kT(k ∈ Z ， k≠0)也是函数f(x)的周期.
图像
周期
奇偶性
T=2π
T=2π
奇函数
偶函数
(1)正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
(2)规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2kπ,k∈Z重复出现）;
诱导公式一：sin(2kπ+x)=sinx(k∈Z)
若f(x)=sinx，则 f(x+2kπ)=f(x)
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解：
f x Asin x
Asin x 2
Asin x 2
A sin
x
2
f
x
2
T
2
归纳:
课堂练习：
P36 练习1
练习2：求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
T
2
3
2
4 3
8
3
4
(2)y cos 4x, x R
(3)y 1 cos x, x R 2
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： sin(x 2k ) sin x
即 f (x 2k ) f (x) ☺正弦函数y sin x(x R)是周期函数，周期是2k
思考2：余弦函数是不是周期函数？如 果是，周期是多少？
由诱导公式可知： cos(x 2k ) cos x
非零常数T叫做这个函数的周期
最小正周期
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就 叫做f(x)的最小正周期。
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都是指的最小正周期。
知识回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 思考1：正弦曲线、余弦曲线有周期现象吗？
• 什么是奇函数？奇函数的图像有何特点？ f (x) -f(x),奇函数的图像关于原点对称
探究
一.奇偶性
y
1
3 5
2
2 3
2
2
O 3 2
2
2
1
5 3
2
x
正弦函数的图象
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数的图象
问题：它们的图象有何对称性？
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
余弦曲 线
2
3
4
5 6 x
二、三角函数的周期y 性:y=sinx(x∈R)
x
-2
0X
2 X+2π
4
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
y
o
4π
x 8π
y
x
o
6π
12π
正弦函数 y sin x(x R)
y
· · -2
f ( x) sin x, x R 为奇函数
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
f ( x) cos x, x R 为偶函数
二、对称性
y
正弦函数的图象
1
P
3 5
2
2 3
2
O
P' 2 1 2
即 f (x 2k ) f (x)
性质1：正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx 都是周期函数，且它们的周期为2k (k z, k 0) 最小正周期是 2
例：求下列函数的周期：
(1) y 3cos x, x R (2) y sin 2x, x R
(3) y 2sin(1 x ), x R
思考：
1。今天是2013年11月25日，星期一，那么7 天后是星期几？30天后呢？为什么？这是 周期现象吗？
2.我们学习的函数具有周期现象吗？如果有， 我们就说它是周期函数，具有周期性。
今天我们就来研究正弦函数和余弦函数的周 期性
一、周期函数 一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零
的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都 有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第一课时
§1.4.2正弦余弦函数的性质(1)
周期性
周期现象
1.每间隔相同的时间就会出现相同的现象称 为周期现象．
2.现实生活中有很多周期现象:
每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春 又回”是周期现象，一年是它的周期；奥运会每 隔四年就重复一次，因此开奥运会为周期现象， 4年是它的周期等等。
3 2
2
5 3
2
26
解:(1) ∵对任意实数 x有
f (x) 3sin x 3sin(x 2 ) f (x 2 )
cos x 是以2π为周期的周期函数.
(2) sin(2x) sin(2x 2 )
sin2(x ),
y sin 2x 是以π为周期的周期函数.
(3) 2sin( 1 x ) 2sin( 1 x 2 )
（3）已知函数
_6__
y
sin(x
3
),
0
的周期为
3
，则
练习题.
求下列函数的周期：
(1) y sin 3x
(2) y cos x 3
T 2
3
(3) y 3sin x 4
T 6
(4) y sin(x )
10
T 8
T 2
(5) y cos(2x ), x R T 3
课堂小结 ----本节课所学知识方法：
(1)周期函数、周期及最小正周期的概念.
(2)正（余）弦函数的周期.
(3)函数 y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ)
（其中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, ω≠0 ）的周
期是:
T 2
；( 0)
(4)求周期的方法：定义法、公式法
课外作业：
P46 习题1.A组 第3题
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2
42
T 2 2
1
T
2
1
2 3 6
3
当堂检测
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
A、y sin 1 x 2
C、y cos x
B、y cos x 2
D、y cos 2x
（2）函数 y sin x 的最小正周期为___2__。
第二课时
§1.4.2正弦余弦函数的性质(2)
奇偶性、对称性
复习回顾
• 1.周期函数的意义:
•
若f(x+T)=f(x)，则f(x)就是周期函数，T就是它
的周期。
• 2. y sin x与y cos x(x R)周期是 2
最小正周期T=2
• 3.什么是偶函数？偶函数的图像有何特点？
f ( x) f(x)，偶函数的图像关于y轴对称
26
26
2
sin
1 2
(
x
4
)
6
,
y 2sin(1 x )
26
是以４π为周期的周期函数．
函数
周期
2
y 3cos x
T 2
1
y sin 2x
T
2
2
y 2sin(1 x )
26
T 4
2
1
2
y Asin(x )
T ?
2
探求:函数y Asin(x ), x R的周期公式