2021版新高考数学一轮复习讲义：第三章第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (含解析)
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第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1. (2)商数关系：
sin x
cos x
＝tan x . 知识点二 三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
重要结论
1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x ·cos x ，tan 2x ＋1＝1
cos 2x
，(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x 等．
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π
2＋α(k ∈Z )中的整数k
是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α(k ∈Z )中，将α看成锐角时k ·
π
2＋α(k ∈Z )所在的象限．
双基自测
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论不正确的是( ABCD ) A ．若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1 B ．若α∈R ，则tan α＝sin α
cos α
恒成立
C ．sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角
D ．若sin (k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1
3
[解析] 对于A ，根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．对于B ，cos α≠0时才成立．对于C ，根据诱导公式知α为任意角．对于D ，当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．故选A 、B 、C 、D ．
题组二 走进教材
2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝1
2，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )
A ．－1
7
B ．17
C ．－7
D ．7
[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2
＝－1
7.故选A ．
3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α
1＋sin α
＋sin α
1－cos α1＋cos α
(π<α<3π
2)得( A )
A ．sin α＋cos α－2
B ．2－sin α－cos α
C ．sin α－cos α
D ．cos α－sin α
[解析] 原式＝cos α
(1－sin α)2
cos 2α
＋sin α
(1－cos α)2
sin 2α
，
∵π<α<3
2
π，∴cos α<0，sin α<0.
∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.
4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin (π＋α)＝－12，则sin (7π－α)＝12，cos (α＋3π2)＝1
2.
[解析] 由sin (π＋α)＝－12，得sin α＝1
2，
则sin (7π－α)＝sin (π－α)＝sin α＝1
2，
cos (α＋3π2)＝cos (α＋3π2－2π)＝cos (α－π
2)
＝cos (π2－α)＝sin α＝1
2.
题组三 考题再现
5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D ) A ．－2－3
B ．－2＋ 3
C ．2－ 3
D ．2＋ 3
[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan (180°＋75°
)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝33
＋11－
33
＝2＋3，故选D ． 6．(2015·福建)若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )
A ．125
B ．－125
C ．512
D ．－512
[解析] 因为sin α＝－5
13，且α为第四象限角，
所以cos α＝1213，所以tan α＝－5
12
，故选D ．
7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝4
3，则sin 2α＝( A )
A ．－79
B ．－29
C ．29
D ．79
[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝16
9，即sin 2α
＝－7
9
，故选A ．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究
考点一 同角三角函数的基本关系式——师生共研
例1 (1)(2020·厦门质检)若α∈(π2，π)，sin (π－α)＝3
5，则tan α＝( C )
A ．－4
3
B ．43
C ．－34
D ．34
(2)(2020·河南平顶山、许昌两市联考)已知
sin α＋3cos α3cos α－sin α
＝5，则cos 2α＋1
2sin 2α的值是