全章热门考点整合应用

全章热门考点整合应用

名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与其他知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想．

一个定理——三角形的中位线定理

1．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，点E，F，G，H，P，Q 分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．

求证：(1)四边形EFGH是矩形；

(2)四边形EQGP是菱形．

(第1题)

一个性质——直角三角形斜边上的中线性质

2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：

(1)四边形ADEF是平行四边形；

(2)∠DHF＝∠DEF.

(第2题)

四个图形

图形1平行四边形

3．【中考·凉山州】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.

(1)求证：AC＝EF；

(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．

(第3题)

图形2矩形

4．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC 的延长线分别交于点E，F.

(1)求证：△AOE≌△COF.

(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．

(第4题)

图形3菱形

5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点

F.

(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

(第5题)

图形4正方形

6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.

(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；

(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．

(第6题)

四个判定与性质

判定与性质1平行四边形

7．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．

(第7题)

判定与性质2矩形

8．【中考·湘西州】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：

(1)△ADE≌△CBF；

(2)四边形DEBF为矩形．

(第8题)

判定与性质3菱形

9．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.

求证：四边形CDEF是菱形．

(第9题)

判定与性质4正方形

10．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点．

求证：FB⊥BH.

(第10题)

四个技巧

技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．

(第11题)

技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)

12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．

(第12题)

技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法)

13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.

(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．

(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．

(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．

(第13题)

技巧4解中点四边形的技巧

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．

(1)求证：四边形DEFG是矩形；

(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．

(第14题)

两种思想

思想1 转化思想

15．如图，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝CB ，P 是BD 上一点，PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F .求证：P A ＝EF .

(第15题)

思想2 数形结合思想

16．[阅读]

在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为

⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22

，y 1＋y 22.

[运用]

(1)如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON ，OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点M 的坐标为________；

(2)在平面直角坐标系中，有A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)三点，另有一点D 与点A ，B ，C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．

(第16题)