勾股定理中四种重要的数学思想_勾股定理思维导图

勾股定理中四种重要的数学思想

1 方程思想

1 求距离长度问题

例１有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇

的长度分别是多少？分析在Rt △ABC 中，只有BC 边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度. 因此可以通过设立未知量，建立方程求解.

解:

设水的深度为AB 为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺. 依题意可以得到如图1所示的图形

∵在Rt △ABC 中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程

（x+1）2=x2+52

解得x=12 ∴x+1=13

则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图1

2 折纸问题

例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D 落边BC 上，交BC 与点F. 已知AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.

A D 分析Rt △AEF, 是Rt △AED 沿边AE 边折叠的，所以就可以通

过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形. 要求EC 边长，构造直角三角形，找出EC 边所

E 在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之

间的关系. 在已知量与为质量之间建立方程关系.

解由题意，得AF=AD,DE=EF.

C 在Rt △ABF 中，AB=8cm，AF=AD=10cm，

B

∴

=6(cm).

图2

F

∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).

设CE=xcm，则DE=(8－x)cm ，

∴EF=DE=(8－x)cm ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得方程42+x2=（8－x ）2

解得x=3，故EC 的长为3cm 2 数形结合思想

1 方位问题方位问题是勾股定理实际运用的重要体现. 也是数形结合的典型列子.

例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏性. 如图所示，据气象部门观测，距沿海某城市A 的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变. 若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.

分析根据图形找出距离A 点最近的台风中心的位置, 求出距离就可以判断是否收到影响, 影响的风力. 根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围, 构造直角三角形, 根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.

(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；

(2)若会受到台风影响，则台风影响该城市持续时间有多长. (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级. 解（1）作AD ⊥BC 于D,AD 为城市A 距台风中心的最短距离，在Rt △ABD 中，∠B=30°，AB=220km.

- 1 -

∴AD=

1

AB=110km. 2

由题意知，当点A 距离台风（12－4）×20=160（km ）时，将会受到台风的影响，故该城市会受到台风的影响.

（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，将会受到台风的影响，则以A 点为圆心，以160km 长为半径画弧，交BC 于E 、F 两点，此时AE=AF=160km，当台风中心从E 移到F 处时，该城市都会受到台风影响，由勾股定理得

==

EF=2DE=

=h ）. （3）当台风中心位于D 时A 市受这次台风影响的风力最大，最大风力为12－

110

=5（级）.