第二十二章常用统计预测方法(3)—ARIMA讲述

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▪ 差分平稳化处理 (I) 对均值为零的非平稳时间序列进行差分，
使之成为平稳时间序列。一般情况下，非 平稳序列经过一阶差分或二阶差分都可以 平稳化。如：有线性增长趋势的时间序列 可用一阶差分；若为二次增长可用二阶差 分。
Xt X t X t1(t 1) 2 X t X t X t1(t 2)
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▪ 对非零均值的非平稳的时间序列，若用 ARIMA预测方法，需先对时间序列进行零 均值化和差分平稳化处理.
▪ 零均值化：对均数不为零的序列每一项都 减去该序列的平均数，构成一个均值为零 的新的时间序列 X t Yt Y 。 如例22－2：可取
Y 2200
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式中的 1 代表阻尼系数。 t 表示第t个摆
动周期中单摆还受到外加的力所额外加的 摆幅。
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滑动平均(MA)模型
Yt t 1 t1 2 t2 q tq
式中 Yt 是时间序列在 t时刻的观察值；q是滑 动平均的阶数； t 是时间序列模型在t时刻的 误差或偏差。
在滑动平均的过程中，每一个值是由当前干扰 以及前一个或多个干扰的均值决定的。滑动 平均的阶确定了有多少个前干扰被用于平均。
这组随机变量所具有的依存关系或自
相关性表征了预测对象发展的延续性，而
这种自相关性一旦被相应的数学模型描述
出来，就可以从时间序列的过去及现在的
值预测未来值。
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运用ARIMA方法的前提条件：
作为预测对象的时间序列是一零均值的平稳 时间序列。
平稳随机序列的统计特性不随时间的推移而 变化。直观的看，平稳随机序列的折线图无 明显的上升或下降趋势。（如图22－10）
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此模型和经典统计回归模型的本质区别： ✓ 在经典统计回归模型中 ( X t1, X t2 ,, X tr )是已
知的可变化因素。自变量间的关系是相互独立的。
✓ 在自回归模型中 Yt和Yt1,Yt2 ,,Yt p
同属于一个序列，它们彼此之间不是独立的，而
是有一定的相互依赖关系。
DIF F (p 门诊人数
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具体计算：
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自回归模型(AR)
经典统计中的回归模型：
Yt 1 X t1 2 X t2 r X tr t
表示因变量对于自变量依赖（相关）关系。等式右侧 将随机变量 Yt 分解成两部分，一部分是自变量
它们代表某些已知的可变化因素；另一部分是残差 量 t ，它是由一些不可捉摸的因素及测量误差产生。 通常假定 为正t 态零均值独立序列。
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例22-3 某医院从1990年1月－2001年12月的门 诊量数据 （P336）
700
600
500
400
门诊人数（千）
300
200
100
0 17 17171 71717171717171717
月份
门诊情况的序列图
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12
800
600
400
200
0
门诊人数（千） -200
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一阶自回归模型
上面 的模型称为p阶自回归模型。当p＝ 1时是一阶自回归模型。
Yt 1Yt1 t
意义：
Yt变量受Yt-1的影响。
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例如：考虑一个阻尼单摆。以Yt表示 t时刻 的最大摆幅，由于阻尼的作用，Yt与Yt-1 之间具有关系式：
Yt 1Yt1 t
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1970 年, Box 和Jenkins 提出了以随机理 论为基础的时间序列分析方法, 使时间序列 分析理论上升到一个新的高度, 预测的精确 度大大提高。 其基本模型有三种: 自回归(AR) 模型; 滑动平均(MA) 模型 自回归滑动平均(AR IMA) 模型。
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第三节 ARIMA预测方法
陈炳为
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MEAN_Y 2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2.0
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
TIME
group
1
2
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传统的时间序列分析的应用, 主要是确 定性的时间序列分析方法, 包括指数平滑法、 滑动平均法、时间序列的分解等等, 这些方 法的应用有一个前提条件: 时间序列的随机 性部分相对来说并不显著。事实上, 这一条 件在大多数情况下都是不成立的。因为, 随 着社会的发展, 许多不确定性因素的影响越 来越大, 必须引起人们的重视。
均零法
-400 19519519 51951 951 95
一阶差分
月份
门诊、均零、一阶差分法的序列图
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7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1
600
400
200
0
-2 0 0
月份
门诊、一阶差分法、二阶差分的序列图
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两个问题： （1）分析时间序列的随机性、平稳性和季节
性；
（2）在对时间序列分析的基础上，选择适当 的模型进行预测
(AR(p),MA(q),ARIMA(p, d,q))。
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1 ARIMA预测数学模型
▪ 自回归滑动平均混合模型（autoregressive integrated moving average) ARIMA(p,d,q) 其中：p为自回归的阶数；d为差分阶数； q为滑动平均阶数。
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ARIMA模型可分为：
(1)自回归模型(AR),即ARIMA(p,0,0); (2)滑动平均模型(MA),即ARIMA(0,0,q); (3)自回归滑动平均混合模型(ARIMA(p,d,q))。
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▪ ARIMA方法依据的基本思想：
将预测对象随时间推移而形成的时间序 列视为一个随机序列，即除去个别偶然原 因引起的观测值外，时间序列是一组依赖 于时间t的随机变量。
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将经典统计回归模型推广，得到一类新的线性 模型称为自回归模型。可用来描述某些时间 序列。特别是当时间序列难于和其它因素建 立联系时，用自回归模型建模更显重要。
Yt 1Yt1 2Yt2 pYt p t
Yt代表在t时的观察值，et代表误差或偏差，表 示不能用模型说明的随机因素。