等腰三角形的性质(2)

的辅助线；
角 形 的
等角对等边 2、熟练求解等腰三角形 的顶角、底角的度数；
性
质
等边三角形 3、掌握等腰三角形三线合
各角都为60º一的应用。
习题14.3 1、4、7 练习册P49
作底边中线
证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边中线AD. 在△BAD和△CAD中，
B DC
AB=AC ( 已知 ),
BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
B
C
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为__4_0_°__.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
_7_0_°__,4_0_°__或__5_5_°__,_5_5_°.
பைடு நூலகம்
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 3_5_°__，__35_.°
结论:在等腰三角形中,
作底边的高线 证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边高线AD. 在Rt△BAD和△RtCAD中，
B DC
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分 底边并且垂直于底边.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合.
“三线合一”
在△ ABC中，AB=AC=BC，利用已有的知识，如何推导出 ∠A、 ∠B 、∠C 的度数.
A
推论2 等于60 º.
等腰三角形的两个底角相等
A
已知： Δ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
B
C
作顶角的平分线
证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC.
12
求证： ∠B= ∠C.
B DC 证明： 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ), ∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
4. 根据等腰三角形性质定理的推论,在 △ABC中， AB=AC时， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A_D__ = ∠C__A_D__，B_D___= _C_D__.
A
E
F
B
D
C
已知：如图， △ ABC中， ∠ABC=50 º, ∠ACB=80 º,延长 CB至D,使BD=BA,延长BC至E,使CE=CA .连结AD、AE. 求∠D、∠E、∠DAE的度数 .
A
D
B
C
E
1、研究有关等腰三角形
等腰三角形 的问题，顶角平分线、底
等
三线合一 边中线，底边的高是常用
腰 三
∠CAD的度数.
A
解：在△ABC中
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）
B
D
C
∴∠B=∠C= (180°－∠A)
=40°(三角形内角和定理) 又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底 边上的高互相重合）.
∴∠BAD=∠CAD=50°
例2:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上, 且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解: ∵AB=AC,BD=BC=AD
∴∠ABC= ∠ C= ∠ BDC,
A
∠ A= ∠ ABD
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x
从而∠ABC= ∠C=BDC=2x
D
在△ABC中,有
B
C
∠A+ ∠ABC+ ∠C=x+2x+2x=1800
解得x=360
在△ABC中, ∠A=360, ∠ABC= ∠C=720
(2) ∵AD是中线，∴_A__D_⊥_B_C__ ，∠_B_A__D_ =∠_C_A_D__.
(3) ∵AD是角平分线，∴_A_D__ ⊥_B__C_ ，_B_D___ =__C_D__.
A
B
DC
例1 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º, 过屋顶A的立柱
AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、
探究一
请动手画一个等腰三角形，并画出底边中点到两腰的距离， 猜猜这两条距离有什么关系？你能用所学的知识解释吗？
可将等腰三 角形△ABC 沿对称轴AD 折叠
DE=DF
等腰三角形底边中点到两腰的距离。
探究二
①如果DE、DF分别是AB、AC上的 中线，此时还有DE=DF吗？
A
E
F
B
D
C
②如果DE、DF分别是∠ADB、 ∠ADC的角平分线，此时还有 DE=DF吗？