第三章晶体振动和晶体的热学性质详解

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qa sin 2
2n q q ( n为整数) ， a
2 m
12
2n a sin q 2 a 2 m
12
qa sin 2
q和q表示的是同一个状态。
b 2
f n f n1 f n1 xn x n1 x n1 x n
根据牛顿第二定律，可得第n个原子的运动方程： d 2 xn n 1, 2, 3, N m x n1 x n1 2 x n 2 dt 共有N个类似的运动方程。
换。声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持
不变。不能把能量传递给其它频率的声子。
4.如果原子间的相互作用稍强时，就必须考虑非简
谐效应——声子间发生能量的交换。
5.晶体的宏观性质，例如，比热、热膨胀和热传导
等都与晶格振动有关。
§3.1 一维原子链的振动 一、一维布喇菲晶格的振动
1.原子的运动方程 (1)振动示意图——m为原子质量；xn为位移。
波速：v p / q
3.ω和q的关系——色散关系(振动频谱)
把方程的解x n Ae
2
i qnat
代入运动方程
d xn m x n1 x n1 2 x n 可得： 2 dt
d 2 xn 2 2 i qnat 2 m mi Ae m xn 2 dt
第三章 晶体振动和晶体的热学性质
一、晶体振动
1.晶体振动 晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固 定不动，而是为绕其平衡位置作振动。 2.振动的特点 晶体中各原子的振动是相互联系的。 3.振动模式 用格波表述原子的各种振动模式
二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类) 1.晶格振动——原子在平衡位置附近的微振动。 2.空位或间隙原子——少数原子脱离其格点的振 动。 3.熔解——温度相当高，整个晶体瓦解，即长程 序解体。
d 2U dU 1 d 2U 恢复力：f 2 2 2 d 2 dr a dr a d U 2 恢复力系数。 0。 dr a
2
U
a
r
δ
δ>0 间距增大
δ<0 间距缩小
2 dU 1 d U 2 U a U a 2 2 dr a dr a
dU 由于 0，且当振动很微弱时，很小，所以， dr a 泰勒展开式中只保留到 项。
2
1 d 2U U a U a 2 2 2 dr a
O
f
f
f <0
引力(r>a)
f >0
斥力(r<a)
O
rm
r
(3)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析
n-1 n n+1
正方向
f n 1 x n 1 x n
f n 1
f n1 xn xn1
f n1
x n1 x n1 2 x n (4)运动方程
Ae x e
n
①
x n1 x n1 2 x n
i qnat iqa
e
iqa
e
iqa
2 2 x n cosqa 1
Ae
i qnat
e
iqa
2 Ae
i qnat

②
4 2 qa m x n 2 x n cosqa 1 sin m 2
2.运动方程的求解及结果分析 (1)方程的解
x n Ae
i qnat
振幅为A，角频率为ω的简谐振动。其中qna表示 第n个原子的振动的位相因子。 (2)结果分析 ①原子之间的振动存在着固定的位相关系
2s 如果qna qna 2s na na ( s为整数), 可得： q x n Ae i qnat Ae i 2s qnat Ae i qnat e i2s Ae i qnat x n
2 当第n个原子和第n个原子的距离 ( na na )为 的整倍 q 时，两个原子因振动而产生的位移相等。 即：x n x n
n
n
2 q
n
②格波——描述晶格中原子振动的、角频率为ω 平面波称为格波。 2 1 2 na na 格波的波长： q q 2 2 波矢：q q n q 相当于波矢k 。
三、晶格振动的特点
1.当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似 为相互独立的简谐振动。 2.由于晶体的周期性，振动模式所取的能量值不 是连续的，而是分立的。
3.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而 又分立的振动模式。简谐振子的能量用能量量子 ħω(称为声子， ω微振动模式的角频率。)描述。
振子之间不会发生相互作用，即不能有能量的交
2 2
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2 m
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qa sin 一维布喇菲格子色散关系。 2

2 M
2 2 O a a a a 一维布喇菲格子色散关系( 振动频谱)
q
4.q的取值范围 (1)周期性——ω是q的周期函数，周期为2π/a。
q ， 2 m
n-2 n-1 n n+1 n+2
x n 2
xn1
xn
x n 1
x n 2
x n 1 x n
第n个原子和第n+1个原子间的相对位移。
(2)两原子间的相互作用力 U(a)：平衡时两原子间的互作用势能； U(a+δ)：产生相对位移δ后的互作用势能。 把U(a+δ)在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得：