哈尔滨工业大学理论力学第七版W第章动量矩定理

轴承反力
Q
A
OR
P
M
aQ
A
FA
F Oy
OR
FOx P
M
法1：取系统，
应用动量矩定理
d LO dt
M(e) O
受力分析 运动分析
LOQ gR 2JO Q gR 2P 2R g2
a M O (e) M Q sR in
R
A
2(m (2 QQ P Rs)iRn2)g
Q
FT
FT
F Ox
A
FA
F Oy
dg PAP B
dt r PAP BP/2
* 各为8 kg的均质细杆固连成T 字型 当OA处于水平位置时, =4rad/s 。 求该瞬时轴承O 的反力。
取T 字型杆
J O
M(e) O
F Oy
F Ox
J m 0 .2 g m 50 .5 g
O
J1m2 l1m2 lm2 l1m 72 l
O 3 12
* 投影式：
M z ( m v ) M O ( m v ) z M O ( m v x ) y
2，质点系
LO
rn
m nvn
m1v1
r1
O
ri
mivi
r L O M O ( m i v i ) i m i v i
投影式 L zM z ( m iv i) L O z
F F F F cos Ox T
P sin
Oy
T
PAPB; P、 r、均质圆盘
求角加速度
F Oy
F Ox
* 取整个系统 v =r
M O (e)P A rP B r (P AP B)r
LOPgAvrPgBvrJO
将
JO
1 2
Pr2 g
代入得
LOgr2(PAPBP 2)
d d[tg r2(P AP BP 2) ](P AP B)r
2 8 9 . 8 8 ( 2 . 7 0 0 . 2 5 2 . 7 5 0 0 . 5 ) 5
3.2 3N
§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
L C M C m iv ir i m iv i
在C处加平移坐标系Cx’y’z’
由于 vi vCvir 得 L C r i m iv C r i m iv ir
* 刚体的动量矩
1．平动刚体
L O r i m i v i m i r i v C r C m v C
L zM z(m vC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩， == 刚体质心的动量(具有刚体的质量）对 该点（轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体
z
L zM z ( m iv i)m ir i2
或
m
d 2rC dt 2
F e
JC
d 2
dt 2
M C (F e)
应用时一般用投影式：
ma Cx Fxe ma Cy Fye
JC
M C (F
e
)
ma
t C
Ft e
ma
n C
Fne
JC
M C (F
e
)
以上各组均称为刚体平面运动微分方程。
b
至杆端时 1 ？ ，
0 B
a
a
取小球
Tmax m2b
Tmax 2rad/s
mb
取系统
MAB0
LAB常量
40cm
J m b 2 J 1 m 1 a 2
1 1rad/s
A b
0 B
40cm
已M 知 常 .： 及 R 量 、 P 、 Q 、 ， 鼓轮为均质圆盘，
不计摩擦
求：重物的加速度； 绳子的拉力；
rCd dtmvCrC Fie
r C F ie r C F ie
得dLC
dt
r'i Fie
或dLC dt
MC(Fie)
质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于
质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系
的外力对质心的主矩。
§11-6 刚体的平面运动微分方程
maC
JC
Fe
MC(Fe)
第十一章 动量矩定理
动力学普遍定理之二
动量矩定理
* 为何要引入动量矩定理？
1.若 v C0， P 0， 无法描述系
2 .当力， 偶 F R ' 作 F 0用 对系统 时
的运动无法描述
§11-1 质点和质点系的动量矩
1，质点 M O (m v ) r m v
ij k
=x y
z
mvx mvy mvz
12
20r.a 72 d 5/s
由：质心运动定理
mC 1a xmC 2 a xF Ox
F Oy
F Ox
m C 1 ya m C 2y a F O ym m g g
F O x m (a C 1 x a C 2 x)
8 ( 4 2 0 .2 4 5 2 0 .5 ) 9 N 6
F O y2m gmC 1ya mC 2y a
* 分析：
1 ， 若 M Z ( F ： ) 常 ， 量 常
2 ， 若 M Z ( F ) ： 0 ,α 0
§11-4 刚体对轴的转动惯量
1，概念 刚体平动
F m a
m — 惯性的度量
刚体转动
M J (e)
z
z
Jzmiri2
—— 转动时惯性的度量
2，特征 * 不但与质量有关，还与“分布”有关！
m iv i m v C , r i m iv i L C
LOrCmvCLCM Om vCLC
2 相对质心的动量矩定理
d d L tOd d trCm vCL C riF ie
即
d d rtCm vCrCd d tm vCd d L tC
r C F ie r i' F ie
由于
d d rtCvC, d d rtCm vC0
O C1
C2
细杆，质量均为M
R
求：JO
R
3R
JO M (1 4 R 2 )2 M R 2M 2 R 2 M (4 R )2
杆
轮
6，转动惯量的测试
* 复摆法
求：图示刚体J的O
JOmgsian
mga 0
JO
0sin
mJOgta
O
a
C
P
T 2 JO
mga
JO
T 2mga
4 2
已知：猴A重=猴B重，猴B 从静止开始以相对绳速度v上 爬，猴A不动，问猴B向上爬时， 猴A将如何运动？（轮重不计）
求： J
z2
C
? Jz2Jz1M (a b)2
b z2
Jz
M L2 3
z
L
J zc
M L2 3
J
z
4M 3
L2
z
zC
C
2L
* 讨论：
1，必须从质心开始移动
2，有无极值？
z3
* 结论：
C z2
z1
在所有的平行轴中，对？轴的转动 惯量最小？
5，组合形体的转动惯量
加减法则
平行移轴定理
•均质圆盘、均质
v m v dM O r d( m tvm )a M O r F M O
dM O d(m tv)M O
* 投影式
dM zd(m tv)Mz
2，质点系
(e)
(i)
Fi
d M d 任O M d ( 取m O d ( i一v m it) iv 质 i) t 点M O (F M i (e O )) ( F i M ( e ) ) O (F Fi(i) i) M O ( F m i( i i) v) i
令 Jz ： m iri2
LJ
z
z
ri
mivi
定轴转动刚体对转轴的动量矩 ＝ 刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
§11-2 动量矩定理
1，质点
L O M O (m v)r m v
m o (m v ) r (m v )
dLOd(rmv)
dd tr dt
d(m v)
m vr
dt d t
ddL O tM O(F i(e))
dLz dt
Mz(Fi(e))
31 ，.若 动则 d 量d L 矩O ： tL 守 O 恒M ： 定O 常 (F 律i(e))0—矢 动量矩守恒
行M 星O 绕(m 太v 阳)、 人r 造m 卫v 星 绕恒 地球的运矢 动v m 量
（1）质点在有心力作用下运动 的轨迹是平面曲线
OR
P
M
x
法2：取轮
M J (e)
O
O
MFT
R
PR2
2g
取重物
[Fm a]x
FTQsinQ gaA
FT QsinQ gaA
FT
F Oy
O R
P FOx
如何求：轴承反力？ 应用质心运动定理！
M
F x F O F xT co M sO 0 Xa
F y F O P y F T si n M O 0 y a
取系统： M O (F (e))0
系统对O轴的动量矩守恒
0 m A v A r m B (v v A )r
vA
Байду номын сангаас
v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样
空M 心 1K 5 管 ， g m 小 1K 0 球 ，bg20cm，
a40cm 绳容许最大拉T力 max： 8N
1. ？时，绳恰拉断？
A
2. 绳断后，球滑
h
F
（2）单位时间内质点扫过的面
O
积是常量 dA 常量 dt
—面积速度定律
L 2 .若 d： z
(e )
( ) 0
M F dt
zi
则L： z 常量
— 对轴的动量矩守恒
§11-3 刚体定轴转动微分方程
ddLztMz(F i)
LJ
z
z
J z J z M Z ( F )
—— 刚体定轴转动微分方程
其中 r i m i v C (m i r i ) v C 0
（因
rC
miri0 m
）
有 LC rim ivir
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或 以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。
对任一点O的动量矩：
L O r C r m iv i rC mivi rimivi
* 固有属性
* 恒为正
* 单位
Jz m iri2Mz 2
—回转动半径（惯性）半径 z
3，基本转动惯量
* 均质细杆
J zc
M L2 12
* 均质圆盘（柱、轮）
JC
M R2 2
Jx
Jy
MR2 4
zC
C
L
y
Cx
R
4，平行移轴定理
JzJzc M d2
z
zc
d
C
已M 知 、 a 、 b ： 、 Jz1 z1 a