环境水力学概述

1、一维扩散时间连续源ຫໍສະໝຸດ Baidu
设源断面为空间坐标的原点，开始投放时刻为 时间起点。
c0
O
x
建立坐标系。扩散方程为：
?c ?t
?
D
? 2c ?x2
,t
?
0,??
? x ? ??
初始条件：c(x, t) ? 0, x ? 0, t ? 0
? c0 ,x? 0,t ? 0 边界条件：c(x, t) ? ?
?0, x? ?? ,t ? 0
设想用一张平面在 x=0点把它们截开分为两半， 显然不影响浓度分布。这种情况可用来表示一端是 固壁的有限分布源的扩散。
b)t ?0, |x|≤h, c=c0；|x|>h, c=0；满足初始条件。
静水中一维初始有限源扩散演示
二、时间连续源
? 若污染物质的投放不是一次瞬间完成的，而 是持续一定时间，这样的污染源称为时间连 续源。
?
D
?2c ?x2
,t
?
0
c ? c0,? h ? x ? h,t ? 0
c ? 0, x ? ? h,t ? 0
x ? h,t ? 0
解法（1） ——源分解，再叠加
dc
?
d?
?S ?c0
? ( x? ? )2
e 4Dt
S 4?Dt
h
? c(x, t) ? ?h
c0
? (x?? )2
e 4Dt d?
在t =0时，突然开启隔离红色染液和清水的闸板。 管左端的红色染液立即向右端扩散。在 x 正方向， 初始浓度具有 瞬时源的特征。
由于左边的红色染液是无限延伸的，所以染 液只会沿x 方向扩散。
建立坐标系,一维扩散方程为：
?c ?t
?
D
? 2c ?x2
,t
?
0,??
? x ? ??
定解条件：
x O
c( x,0)
C01=10 mg/L O
t=0
C02=8 mg/L
x
例3答案
c ( x, t ) ? c 02 ( x, t ) ? c 01 ? 02 ( x, t )
其中： c 02 ( x, t ) ? 8 mg / L
c01 ? 02 ( x, t ) ?
c 01 ? c 02 2
erfc (
x) 4 Dt
环境水力学
Environmental Hydraulics 随流扩散方程的若干解析解
环境工程教研室 郑天柱
回顾
一、瞬时源
注意点：公式中的 x应理解为计算点P距排放点 的距离；t 应理解为距某一指定时刻的时段长。
1、集中源 2、分布源
一维分子扩散
c( x, t ) ?
M
? x2
e 4 Dt
S 4? Dt
? 10 ? 8 erfc (
x
)( mg / L)
2
4 ? 2 ? 10 ? 5 t
2) 一维初始有限分布源
如果初始分布不是一端无限，而是局限在一定范围中间， 如图，染料向两端扩散。
z dξ
c0
O
x
h
h
一维初始有限分布源浓度分布
c
dz
ξ
cO
X
0
hh
设坐标原点在源的中间，则定解问题为：
?c ?t
4?Dt
类似地，可通过变量代换求解， 请同学们课后练习。
解法（2）
两个延伸分布源相减：
c( x, t ) ? c1 ( x, t ) ? c2 ( x, t )
[ 其中：
c1 ( x, t ) ?
c0 2
1 ? erf
(
x? h 4 Dt
)]
[ c 2 ( x, t ) ?
c0 2
1 ? erf
(
?
??c0 ,x? 0 ?
?? 0,x? 0
误差函数
erf ( z) ?
2
?
?0ze ? t 2 dt
性质：a)奇函数 erf (? z) ? ? erf (z)
b)
erf (0) ? 0, erf (? ) ? 1
余误差函数定义为
? erfc(z) ? 2 ? e?t2 dt ? 1? erf (z)
一维分子扩散 延伸分布源
有限分布源
第三节 若干定解条件下一维扩散方程的解
1、集中源 2、起始分布源
1) 一维延伸分布源 2) 一维有限分布源
二、时间连续源
1）、一维延伸分布源
物理模型： 在一条长管中，左端（ x≤0）充满了浓 度均匀的红色染液，染液浓度为 c0,管子的右端（ x ＞0）装满清水。
?z
利用瞬时集中源一维分子扩散的结论求解。
dξ
-∞
c0 O
Ｐ
x
在右端x＞0的浓度场，可看成是各个 dξ微元引 导的分浓度场的叠加。
源分解，再叠加
x
P
dξ
-∞
c0 O O
x
c
对于Ｐ点而言，该点的实际浓度
值是所有各个dξ扩散至这一点的浓
度之和。
O
x
单个dξ微元引导的浓度为：
dξ -ξ x
P
dc
?
d?
?t
2t ??
? ? C 0 ? df 2t d?
? 由于：
?C ?x
?
C0
?f
??
??
?x
? 因为 ?故
?? ? 1
? x Dt
? 2C ?x2
?
? (?C ) ? ?x ?x
C0
?
(
?f
??
??
) ?x
??
??
?x
?
C0
1 Dt
?2 f
?? 2
? C0
1 Dt
d2 f
d? 2
? 将上述结果代入一维扩散方程中
?S ?c0
? ( x?? )2
e 4 Dt
S 4? Dt
-∞
c0 OO
积分求解：
0
c(x, t) ? ? dc ? ???
c0
? (x?? )2
e 4Dt d?
4?Dt
变量代换
取 u? x??
4 Dt
则
? c ( x, t ) ? c 0
?
? x 4 Dt
e ? u 2 du
? c 0 [ 1 ? erf ( x )]
x? h 4 Dt
)]
[ 所以： c ( x, t ) ? c0 erf ( x ? h ) ? erf ( x ? h )]
2
4 Dt
4 Dt
讨论：
c ( x, t ) ? c 0 [ erf ( x ? h ) ? erf ( x ? h )]
2
4 Dt
4 Dt
a)分布曲线关于 x=0 对称，且随着 t 的增大，浓度分 布渐趋平坦；
2
4 Dt
? c 0 erfc ( x )
2
4 Dt
浓度分布
初始浓度
c ( x, t ) ? c 0 erfc ( x )
2
4 Dt
c c0 c0/2
o
扩散至t 时刻浓度 x
一维延伸源扩散演示
例题3：
如图，某足够长的河道，在某时刻的浓度分 布为C01=10 mg/L ，C02=8 mg/L ，求C(x,t)=? (已知 D＝2×10-5cm2/s)
求解方法之一：
? 量纲分析法
? 设解为
C (x, t) ? C 0 f (
x Dt
)
?
C0
f (? )
其中，无量纲变量 ? ? x
Dt
C0为恒定时间连续源的投放浓度。
? 于是：
?C ?t
?
C0
?f
??
??
?t
?而
?? ? x ? ( 1 ) ? ? 1 ?
?t
D ?t t
2t
?故
?C ? ? C0 ? ?f