方差分析与回归分析

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9 方差分析与回归分析

9.1 基本要求

方差分析与回归分析是数理统计中极具应用价值的统计分析方法，前者定性研究当试验条件变化时，对试验结果影响的显著性；后者则定量地建立一个随机变量与一个或多个非随机变量的相关关系。

1．了解单因素试验的方差分析，了解离差平方和的分解及其意义，掌握检验用统计量及假设检验的一般步骤。

2．了解双因素无重复试验的方差分析及双因素等重复试验的方差分析，了解检验用统计量及假设检验的一般步骤。

3．理解回归分析的基本概念，掌握一元线性回归方程，掌握线性相关显著性检验，会利用线性回归方程进行预测。了解一些可线性化的非线性回归问题的解决方法。

*4．了解简单的多元线性回归及显著性检验。

9.2 内容提要

9.2.1方差分析

方差分析是考察多总体均值差异的显著性，是二总体均值检验的推广。

1．单因素试验的方差分析 (1)单因素方差分析原理

单因素方差分析是指在影响指标的众多因素中仅就某个因素A 加以考察，并设A 有r 个水平：A 1、A 2、…、A r ，每个水平A i 对应的总体i X (i =1，2，…，r )均服从同方差的正态分布，即i X ~),(2σμi N 。记(i in i i X X X ,,,21 )是来自第i 个总体i X (r i ,,2,1 =)的容量

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· 为n i 的样本，∑==r

i i i n n 11μμ称为理论总平均(其中∑==r i i n n 1

)。

如果因素A 对试验没有显著影响，则试验的全部结果X ij 应来自同一正态总体N (2

,σμ)。因此，从假设检验的角度看，单因素方差分析的任务就是检验r 个总体N (2

,σμi )(i =1，2，…，r )的均值是否相等，即检验假设：

0H ：r μμμ=== 21，1H ：r μμμ,,,21 不全相等。 显然，当r =2时就是二总体的均值检验。

(2)单因素方差分析的检验统计量

离差平方和∑∑==-=r

i n j ij T i

X X S 112)(的分解：

A e T S S S +=

其中 ∑∑==-=r

i n j i ij e i

X X S 112

)(，称为误差平方和。

2

2

1

1

2

11

2

)()(X n X n X X n X X S i r

i i r

i i i r i n j i A i

-=-=-=∑∑∑∑====称为因素A 的效应平方和。且

2

σe

S ～)(2

r n -χ，r

n S e -=2ˆσ

是2

σ的无偏估计量。

当H 0为真时，有检验统计量

)

/()

1/(r n S r S F e A --=

～),1(r n r F --

因此，在检验水平为α时，若由样本观察值算得统计量)

/()1/(r n S r S F e A --=之值f 有f ≥),1(r n r F --α成立，则应当拒绝

H 0，否则就接受H 0。

(3)单因素方差分析的计算

方差分析的计算是复杂而繁琐的，一般为方便起见，通常把计算和检验的主要过程列成表9-1的形式，称为单因素试验方差分析表。

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9-1 单因素试验方差分析表

S T ，S A 和S e 。记∑===

i

n j ij i r i X T 1

,,2,1, ，∑∑===r i n j ij i

X T 11

，则有

∑∑∑∑====-=-=r

i n j ij

r

i n j ij T i

i

n

T X X n X S 11

22

11

2

2

∑∑==-=-=r

i i

i r

i i

i A n T n T X n X n S 122

1

2

2

A T e S S S -=

2．双因素无重复试验的方差分析

当影响某指标的因素不只一个而是多个时，要分析多个因素的作用，就要进行多因素的方差分析。

进行双因素方差分析的目的，是要检验两个因素A 、B 对试验结果有无显著影响。因素A 取r 个水平A 1，A 2，…，A r ，因素B 取s 个水平B 1，B 2，…，B s ，在(A i ，B j )水平组合下的试验结果独立地服从同方差的正态分布N (2

,σμij )，s j r i ,,2,1,,,2,1 ==。 若每一因素组合仅做一次试验，则称双因素无重复试验，记试验

结果为X ij ，则ij X ～),(2σμij N ，s j r i ,,2,1,,,2,1 ==。

且各ij X 独立。

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· 为判断因素A 对指标影响是否显著，就要检验下列假设

A H 0：j rj j j ∙====μμμμ 21

A H 1：rj j j μμμ,,,21 不全相等，s j ,,2,1 =

为判断因素B 的影响是否显著，就要检验下列假设

B H 0：∙====i is i i μμμμ 21

B H 1：,,,,,21is i i μμμ 不全相等，r i ,,2,1 =

类似单因素方差分析的检验方法一样，记

∑∑==-=r i s

j ij T X X S 11

2)( ，离差平方总和。

∑∑==∙∙+--=r i s

j j i ij e X X X X S 112

)(，称为误差平方和。

∑=∙-=r

i i A X X s S 12)(，称为因素A 的效应平方和。 ∑=∙-=s

j j B X X r S 1

2)(，称为因素B 的效应平方和。

则

B A e T S S S S ++=

在A H 0、B H 0均成立时，有检验统计量：

)]1)(1/[()

1/(---=

s r S r S F e A A ～)]1)(1(),1[(---s r r F 和

)]

1)(1/[()

1/(---=s r S s S F e B B ～)]1)(1(),1[(---s r s F 。

类似于单因素的方差分析，对给定的检验水平α。由样本值算得

)]

1)(1/[()

1/(---=

s r S r S F e A A 之值A f ，若A f ≥)]1)(1(),1[(---s r r F α，

则应拒绝A H 0，接受A H 1；否则就应当接受A H 0。