机械优化设计习题参考答案 第五版

结构优化设计

structural optimal design (optimum structural design)

参考书：1. 孙靖民：机械优化设计，机械工业出版社，2003

2. 孙德敏：工程最优化方法和应用，中国科大出版社，1997

3. 施光燕：最优化方法，高教出版社，1999

绪论

1. 内容

基本概念：

结构(structure) 广义—系统组成；

窄义—承受载荷、维持系统几何形状不变的部分，如梁杆板壳及其组合。结构是用来支承有效载荷的。

设计(design) 完成一项新产品、新工程前的方案构思（如大小、尺寸、形状、材料、工艺过

程等）。数据—数字化--CAE

优化(optimization) 从几种方案中选出最好的—优选；从设计空间中的无数种方案中用计算

机选出最好的—优化。 2. 工程中的优化问题

1） 桥梁

2） 等强度梁，铁塔 3） 飞机、航天器

4） 其他领域（控制、化工）

3. 发展史: 牛顿，计算机， 钱令希；MATLAB —优化工具箱；遗传算法

MATLAB —面向工程的高级语言 Optimization Toolbox 主要功能：

1） 线性规划 x c T

b

Ax ⋅≤min —— ()

b A

c lp x ,,*

=

2） 二次规划 ⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤x c x H x T T b Ax 21min —— ),,,(*b A c H qp x =

一、

概述（入门实例）

一、 举例 1. 人字架优化

已知：2B=152cm, T=0.25cm, E=2.1×105Mpa, ρ=7.8×103kg/m 3, σ=420Mpa, 2F=3×105N

求：min [m(D,h)] 满足强度和稳定要求 解：变量 D,h

载荷 ()

h

h B

F

F F 2

122

1cos /+==θ--单杆内力

应力 (

)

hTD

h B F A F πσ2

1

22

1+==

临界应力 )

(8)

(2

2222h B D T E A F e e ++==πσ 强度条件 y σσ≤

(

)

hTD

h

B F π2

122

+y σ≤

稳定条件 e σσ≤

(

)

hTD

h

B F π2

122

+)

(8)

(2

2222h B D T E ++≤

π

目标函数：2

12

2)(22),(min h B TD AL h D m +==πρρ

● 解析法：2

12

2)(22),(min h B TD AL h D m +==πρρ

不考虑稳定条件，由强度条件建立D,h 关系

极限情况 y h D σσ=),(Th

h B F D y πσ2

/122)(+=→→

h

h B F h B TD AL h m y 2

22

1

2

2

2)(22)(+⋅=+==σρπρρ 012)(22=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=h B F dh h dm y σρcm B h 76*

==→→ cm D 43.6*

=

校核稳定条件 ),(),(*

***h D h D e σσ≤，没问题。

● 图解法 p6

2. 汽车减振

设计变量 ()T

c c c k k k x 321321,,,,,=

目标函数 ),,,(3211 k k k z

mim → 3. 管理

p94 甲 9公斤， 3工时， 4千瓦， 600元

乙 4 10 5 1200 360公斤/天，300工时/天，200千瓦/天

211200600m ax x x +→

200

5430010336049212121≤+≤+≤+x x x x x x 4. 求解非线性方程组

例 方程组： 0)(1=x f

0)(=x f n

∑==n

i i x f x F 1

2

)()(min

二．数学模型（mathematical model ）

1）设计变量(design variables) ()T

n x x x x 21,=

2） 目标函数(objective function) ()x f m in

3） 约束(constrains ) s.t. ()0=x h i ()m i ,,2,1 = 0)(

x x x 21,=

())1200600(m in 21x x x f +-= s.t. (subject to)

2005403001030

36049212121≤-+≤-+≤-+x x x x x x

作业：

二. 数学基础

矢量代数，数学规划

（一）方向导数和梯度

1. 方向导数（direction derivative ）

● 偏导数

()()

1

2010201100

1

,,lim

10

x x x f x x x f x f x x ∆-∆+=∂∂→∆

● 方向导数

()()

d

x x f x x x x f d

f d x ∆-∆+∆+=∂∂→∆20102201100

,,lim

()()d x d x x x f x x x x f d ∆∆∆∆+-∆+∆+=

→∆1

220102201100

,,lim

()()d

x x x x f x x x f d ∆∆∆-∆++

→∆2

22010220100

,,lim

22

11

cos cos 0

θθx x x f x f

∂∂+

∂∂=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡∂∂∂∂=2121

cos cos ..0

θθx x f x f

()d x f T

⋅∇=0