2020年高考文科数学最后押题卷

2020年高考文科数学最后押题卷
1.设全集{}|0U x x =>，12|log 0M x x ⎧⎫
=>⎨⎬⎩⎭
，则U M =C ( )
A.(1]-∞，
B.(1)+∞，
C.(01]，
D.[1)+∞，
2.设i 为虚数单位，若复数()1i 22i z -=+，则复数z 等于( ) A.2i -
B.2i
C.1i -+
D.0
3.已知向量()5m =，
a ，()22=-，
b ，若()-⊥a b b ，则实数m = ( ) A. 1- B. 1 C. 2 D. 2-
4.如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论：
①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；
②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； ③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； ④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5.设x R ∈，则“1>x ”是“21x >”的( ) A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6.函数x x y 2cos )23
sin(
+-π
=的最小正周期是( )
A.
2
π
B.π
C.π2
D.π4
7.如图，点C 在以AB 为直径的圆上，且满足CA CB =，圆内的弧线是以C 为圆心，CA 为半径的圆的一部分.记ABC △三边所围成的区域（灰色部分）为M ，右侧月牙形区域（黑色部分）为N .在整个图形中随机取一点，记此点取自M N ，的概率分别为1P ，2P ，则（ ）
A ．12P P =
B ．12P P >
C ．124
π1
P P +=
+ D ．211
π1
P P -=
+ 8.函数1
2sin y x x
=
+的图象大致是( ) A. B.
C. D.
9.某校举办“中华魂”《爱我中华》主题演讲比赛聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分.现评委为选手李红的评分从低到高依次为127x x x ⋯，
，，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S 分别为( )
A.5?87i >，
B.5?87i ≥，
C.5?86i >，
D.5?86i ≥，
10.已知数列{}n a 满足11320n n a a n a +=+=，
，关于数列{}n a 有下述四个结论： ①数列{}11n n a a +-+为等比数列；
②1321
2
n n n a --+=；
③1n n a a +>；
④若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则123243
4
n n n n S +---=
. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
11.已知双曲线22
22:1(00)x y C a b a b
-=>>，的左，右焦点分别为12F F ，
，直线20x y -+=经过C 的左焦点1F ，交y 轴于A 点，交双曲线C 的右支于B 点，若12F A AB =uuu r uu u r
，则该双曲线的离
心率是( ) 102 3210
+ 325
+ 32
5+12.若函数32()32f x x x =+-在区间(5)a a +，上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A.[50)-，
B.(50)-，
C.[30)-，
D.(30)-，
13.已知实数,x y 满足3020360x y x y x y +-⎧⎪
--⎨⎪-+⎩
…
„…，则4z x y =-最大值为__________.
14.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若135=60=a a a +，
，则6S ＝__________. 15.若圆22:2430C x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点()a b ，
向圆C 所作的切线长的最小值为__________.
16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.
①存在点E ，使得11//AC 平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；
④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．
17.ABC △的内角A B C ，
，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos 2c A a C a +=. （1）求
a
b
的值； （2）若1a =，7c =ABC △的面积．
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，2AB =，6PD ，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．
（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥P EAD -的体积．
19.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(单位：分，百分制，均为整数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题.
（1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和平均数；
（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.
20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭
，且离心率e =． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知斜率为
1
2
的直线l 与椭圆C 交于两个不同点,A B ，点P 的坐标为()2,1，设直线PA 与PB 的倾斜角分别为,αβ，证明：παβ+=．
21.设函数()()2
2ln f x x a x a x =---.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 有两个零点，求正整数a 的最小值
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为
π
4ρθ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点()1,0P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB
+的值．
23.[选修4—5：不等式选讲] 设函数()313f x x ax =-++. （1）若1a =，解不等式()5f x ≤；
（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意知12|log 0{|01}M x x x x ⎧⎫
=>=<<⎨⎬⎩⎭
，又{}|0{|1}U U x x M x x =>∴=≥C .
2.答案：B 解析：()()()()
22i 1i 22i 2i 1i 1i 1i z +++===--+.故选B.
3.答案：B
解析：∵()()5,,2,2a m b ==-，∴()3,2a b m -=+， ∵()a b b -⊥，则()32220m ⨯-+=，∴1m =.故选B. 4.答案：C
解析：变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，故选C ． 5.答案：A
解析：211x x ⇔厖或1x -„.
∴“1x >”是“21x …”的充分不必要条件.故选A. 6.答案：B 解析：
π
()sin 2cos 23f x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭Q 12sin 2cos 22x x x -+11cos 2sin 22x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭
)x θ+，2π
π2
T ∴=
=. 7.答案：A
解析：设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为11
2112
S =⨯⨯=；区域Ⅱ的面积
2221111[21]242S =π⨯-π⨯-⨯⨯=1．圆的面积为2π1π=⨯．所以12
1P P ==π
．故选A ． 8.答案：C
解析：定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，因为
112sin()2sin x x x x ⎛⎫
+-=-+ ⎪-⎝⎭
，所以函数1
2sin y x x
=-+是奇函数，图象关于原点对称，故排除D.当15x =时，
112sin 52sin 05x x +=+>，故排除A.当2x =时，11
2sin 2sin 202
x x +=+>，故排除B ，故选C 9.答案：A
解析：根据题意，程序框图求的是236
5
x x x S +++=
L ，所以图中判断框空白处应填“5i >？”
. 由茎叶图知2345678, 85, 86, 92, 94x x x x x =====，所以236
875
x x x S +++==L .
故选A. 10.答案：C
解析：因为1132,0n n a a n a +=+=，所以2212,32(1)n n a a a n ++==++，所以
()21132n n n n a a a a +++-=-+，所以()211131n n n n a a a a +++-+=-+，所以数列{}11n n a a +-+为等
比数列，所以①正确；又因为2113a a -+=，所以113n n n a a +-+=，所以1310n n n a a +-=->，
所以1n n a a +>，故③正确；由累加法得3212
n n n a --=，所以②错误；由分组求和得
1232434
n n n n S +---=，所以④正确.
11.答案：B
解析：连接2AF ，由直线20x y -+=经过双曲线C 的左焦点1F ，可知()12,0F -，结合已
知条件可得122290F A F A AB BAF ===∠=︒uuu r uuu r uu u r ，则2F B =uuu r
122a F B F B =-=uuu r uuu r
24c =，所以该双曲线的离心率
c e a =
==，故选B. 12.答案：C
解析：由'2()2(2)f x x x x x =+=+，故()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上是增函数， 在(2,0)-上是减函数，所以在0x =处取得极小值23
-，
又因为2
(3)3f -=-.所以a 的范围满足3050a a -≤<⎧⎨+>⎩
；解得，[)3,0a ∈-.
13.答案：20
解析：作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线4z x y =-过点C 时，z 有最大值.联立20360x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得6
4x y =⎧⎨=⎩
，故4z x y =-的最大值为20.
14.答案：6
解析：在等差数列{}n a 中，设公差为d ，∵350a a ＋＝，∴11240a d a d +++=即130a d +=， ∴16a =，∴630d +=，解得2d =-，∴()61615661526S a d =+=⨯+⨯-=. 15.答案：4
解析：将圆2
2
:2430C x y x y ++-+=整理可得2
2
(1)(2)2x y ++-=，由已知圆心
()1,2-在直线260ax by ++=上，得3b a =-由点(),a b 向圆所作的切线长
2222((1)(2))2d a b =+--，又3b a =-则222
28242(2)16d a a a =-+=-+故当
2a =时，切线长d 有最小值为4.
16.答案：①②④
解析：①当E 为棱1CC 上的中点时，此时F 也为 棱1AA 上的中点，此时11//AC EF ，满足11//AC 平面1BED F ，故①正确.②连接1BD (图略)，则1B D ⊥平面11A C D .因为1BD ⊂平面
1BED F ，所以平面11AC D ⊥平面1BED
F ，故②正确.③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误.④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1.∵无论,E F 在何点，三角形1BB E 的面积为11
1122⨯⨯=为定值，三棱锥
11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为11
1122⨯⨯=为定值，三棱锥
11D BB F -的高为111D A =，保持不变，∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确.故答
案为①②④.
17.答案：（1）由正弦定理，cos cos 2c A a C a +=可化为
sin cos cos sin 2sin C A C A A +=，也就是sin()2sin A C A +=．
由ABC △中πA B C ++=可得 sin()sin(π)sin A C B B +=-=．
即sin 2sin B A =. 由正弦定理可得2b a =，故12
a b =．
（2）由1a =可知2b =．而c =2221cos 22
a b c C ab +-==-． 又0πC <<于是2π3
C =．
112πsin 12sin 223ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△ 18.答案：（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC PD ⊥．
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．
又∵PD BD D =I ，∴AC ⊥平面PBD ，
而AC ⊂平面EAC ，
∴平面EAC ⊥平面PBD ．
（2）连接OE ，
∵//PD 平面EAC ，平面EAC I 平面PBD OE =，∴//PD OE ． ∵O 是BD 的中点，∴E 是PB 的中点，
取AD 的中点H ，连接BH ，
∵四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，∴BH AD ⊥，又,BH PD AD PD D ⊥=I ，
∴BH ⊥平面PAD ，且BH AB ==
故11111222362P EAD E PAD B PAD PAD V V V S BH ---∆===⨯⨯⨯=⨯⨯=． 19.答案：（1）设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图， 则有()0.010.01520.0250.005101x +⨯++⨯+=，可得0.3x =，
所以频率分布直方图为：
（2）中位数：75；平均数：70.
（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件M ，
第1组学生数：600.16⨯=人（设为1，2，3，4，5，6）
第6组学生数：600.053⨯=人（设为,,A B C ）
所有基本事件有：12，13，14，15，16，1,1,1A B C ，23，24，25，26，2A ，2B ，2C ，34，35，36，3,3,3A B C ，45，46，4,4,4A B C ，56，5,5,5A B C ，6,6,6A B C ，AB ，AC ，BC 共有36种，
事件M 包括的基本事件有：1,1,1A B C ，2A ，2B ，2C ，3,3,3A B C ，4,4,4A B C ，5,5,5A B C ，6,6,6A B C ，共有18种
所以()181362
P M ==. 20.答案：（1）由题意得2222714131a b b e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪=-=⎪⎩
，解得2282a b ==，， 所以椭圆的方程为22
182
x y C +=：． （2）设直线12
l y x m =+：， 由221218
2y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得222240x mx m ++-=，2248160m m ∆=-+>， 解得22m -<<．
设()()1122A x y B x y ，，，，
则21212224x m x m +=-⋅=-x ，x ，.
由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以π2
αβ≠
，． 设直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ，，
则1tan k α=，2tan k β=， 要证παβ+=，即证()tan tan tan B απβ=-=-，
只需证120k k +=， ∵11112y k x -=-，21212
y k x -=-， 故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=
---+， 又1112y x m =+，2212
y x m =+， 所以()()()()()()12211221111212121222y x y x x m x x m x ⎛⎫⎛⎫--+--=+--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()()()()212122412422410x x m x x m m m m m =⋅+-+--=-+----=， ∴120k k +=， ∴παβ+=．
21.答案：（1）22(2)(2)(1)()2(2)==(0)a x a x a x a x f x x a x x x x
----+'=---> 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增， 所以，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间；
当0a >时，由()0f x '>，得2a x >；由()0f x '<，得02
a x <<. 所以，函数()f x 的单调增区间为(,)2
a +?，单调减区间为(0)2a ，. （2）由1知：如果函数()f x 有两个零点，则0a >，且()02
a f <， 即244ln 02a a a a -+-<，即：4ln 402
a a +->， 令()4ln 42
a h a a =+- 可知()h a 在区间()0,+∞内为增函数，且(2)20,h =-<
381(3)4ln 1ln 10,216
h =-=-> 所以存在00(2,3),()0,a h a ?
当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.
所以，满足条件的最小正整数3a =
解析：
22.答案：（1）将曲线C 的极坐标方程，化为直角坐标方程为：22880x y x y +--=；
（2）直线l
的参数方程为：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
将其带入上述方程中得：270t --=，
则1212
7t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩
1212121111t t PA PB t t t t -+=+==. 23.答案：(1) 1a =时，()|31|3f x x x =+++
111311;.33342331353135
x x x x x x x x ⎧⎧≥〈⎪⎪⇒≤≤⇒-≤〈⎨⎨⎪⎪-++≤-+++≤⎩⎩或 综上，得1324
x -≤≤ 综上，原不等式的解集为13[,]24
- (2) 1(3)2,()3()|31|31(3)4,()3a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+〈⎪⎩
函数()f x 有最小值，则303330a a a +≥⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩。