《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版)

1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计

【教学目标】

1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；

3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.

【导入新课】

1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x

y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念.

3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：

① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称；

（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.

② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；

（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即

函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.

新授课阶段

一、函数的单调性

增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

减函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

解：函数)(x f y =的单调区间有[)[)[,1,1,2,2,5---其中)(x f y =在区间[)2,5-，[)3,1[)[]5,3,1,2-上是增函数.

注意：1.单调区间的书写

2．各单调区间之间的关系 以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？

例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.

证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x ，

03)(3)23()23()()(212121<∆=-=+-+=-=∆x x x x x x f x f y .

所以，23)(+=x x f 在R 上是增函数.

例3 证明函数x

x f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 证明：设21,x x 是),0(+∞上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x

2

112212111)()(x x x x x x x f x f y -=-=-=∆. 由),0(,21+∞∈x x ，得021>x x ，且012>∆-=-x x x .

于是0>∆y . 所以，x

x f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 利用定义证明函数单调性的步骤：

（1） 取值；

（2） 计算x ∆、y ∆；

（3） 对比符号；

（4） 结论.

二、奇函数、偶函数的概念：

1．偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.

（二）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

例4 （1）下面四个结论中，正确命题的个数是（ A ）

①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数的充要条件是(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【提示】①不对，如函数21()f x x

=是偶函数，但其图象与y 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕，答案为A.

（2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ）