二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义
2
ax bx c 与y 轴有且只有一个交点(o ，c )：
①c 0，抛物线经过原点：②c 0,与y 轴交于正半轴；③ c 0,与y 轴交于负半轴
b
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
•如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 一 0 .
a
11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1 )一般式：
2
y ax bx c .已知图像上三点或三对 x 、y 的值，通常选择一般式.
(2 )顶点式：
y a x h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
.
(3 )交点式： 已知图像与 x 轴的交点坐标 x 2，通常选用交点式： y ax x 1 x x 2
12.直线与抛物线的交点
2
(1) y 轴与抛物线y ax bx c 得交点为(0, c ).
3求抛物线的顶点、对称轴的方法
1 )公式法：y
ax 2 bx c
b
a x ——
2a
4ac b 2 4a
，二顶点是(
b 4a
c b 2 2a ' 4a
对称轴是直线x ——.
2a
(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
2
y ax h k 的形式，得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线x h .
(3 )运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与
抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失
2
9.抛物线 y ax bx c 中，a,b, c 的作用
2
(1) a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 中的a 完全一样.
(2) 2
b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx
c 的对称轴是直线
b
x —，故：①b 0时,
2a
号)时，对称轴在 y 轴右侧.
对称轴为y 轴；②- 0 (即a 、b 同号)时，对称轴在 y 轴左侧；③- 0 (即a 、b 异
a a
(3)
2
bx c 与y 轴交点的位置.
当x 0时，y c ，「.抛物线
(2)与y 轴平行的直线x h 与抛物线y ax 2 bx c 有且只有一个交点(h ,ah 2 bh c ). (3)抛物线与X 轴的交点
2 2
二次函数y ax bx c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标 x 1、x 2，是对应一元二次方程 ax bx c 0的两个实数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
5、反比例函数中反比例系数的几何意义 考点三、二次函数的最值
b
如果自变量的取值范围是 X i X X 2，那么，首先要看
—是否在自变量取值范围
2a
X= — 时，y 最值
4ac
―—；若不在此范围内，则需要考虑函数在
x 1 x x 2范围内的
2a
4a
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)
，即当X
b
4ac 2a 时，y 最值
4a
b 2 根•抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ① 有两个交点
0 抛物线与x 轴相交；
② 有一个交点(顶点在 x 轴上)
③
没有交点 0 抛物线与x 轴相离.
(4)平行于X 轴的直线与抛物线的交点
抛物线与X 轴相切;
个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为
则横坐标是
ax 2 bx c
k 的两个实数根.
一次函数
kx n k 0的图像I 与二次函数y
ax 2 bx c a 0的图像G 的交点，
由方程组
kx n ax 2
bx
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时
c
I 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时
只有一个交点；③方程组无解时
I 与G 没有交点.
(6 )抛物线与X 轴两交点之间的距离：若抛物线
2
y ax bx c 与x 轴两交点为A x 1,0， B x 2,0，由于x 1 >
x 2是方程
2
ax bx c 0的两个根, X-I x 2
b ,X
1
a
X 2
AB
X i
2
X 1 x 2
X i
x 2 2 4x^2
4c
、b 2 4ac
(1)点P(x,y)到X 轴的距离等
(2)点P(x,y)到y 轴的距离等于 (3)点P(x,y)到原点的距离等于
x 2
如下图，过反比例函数 S=PM ?PN= y ?x |xy 。

k (k x k y
x
0)图像上任一点 P 作x 轴、 xy k, S k o
y 轴的垂线 PM ，PN ，则所得的矩形 PMON 的面积
X i X X 2内，若在此范围内，则当
2、函数平移规律（中考试题中，只占 3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） X 2 X i
x
式方程，简称截距式： -
a
5、设两条直线分别为， h : y km
b 1 I
2: y
k 2x b 2 若
1
11 // 12，则有 l 1 //12
k 1
k 2且 b 1 b 2
若丨丨
丨 1 2
k 1 k 2
1
如图，已知二次函数 B （o ，-5 ）• （1） 求该二次函数的解析式； （2） 已知该函数图象的对称轴上存在一点
c 的图象与坐标轴交于点 （-1， O ）和点
P ,使得△ ABP 的周长最小•请求出点P 的坐标.
3、直线斜率：
k tan
y 2 y i b 为直线在y 轴上的截距
1，一般 2，两点
4、直线方程：
一般直线方程
由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式
一般两点斜截距
ax+by+c=O
点斜 y y i k （x x i ）
斜截
斜截式方程，简称斜截式：y = kx + b （k 工0）
5，截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距
对于点 点 P （x o ，y o ）到直线 y=kx+b （即: kx-y+b=O ） 的距离：d
kx o y o b 2
vk 2
（ 1）2
P （x o ，y o ）到直线滴一般式方程
ax+by+c=O 滴距离有
kx 。

y o b
、k 2 1
--最最常用，记牢
知道一点与斜率
(2)令y=0 ,得二次函数y 2
x 4x 5的图象与x轴
的另一个交点坐标C (5, 0 ) ............ 5分
由于P是对称轴X 2上一点,
连结AB，由于AB OA2OB226 ,
要使△ ABP的周长最小，只要PA PB最小.... ........................ 6分
由于点A与点C关于对称轴x 2对称，连结BC交对称轴于点P,则PA PB = BP + PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PA PB的最小值为BC.
因而BC与对称轴x 2的交点P就是所求的点..... .......................... 8分
b 5 k 1
kx b，根据题意，可得’ 解得’
0 5k b. b
所以直线BC的解析式为
所求的点P的坐标为(2，-3 ) ...... ...................
压轴题中求最值
此种题多分类讨论，求岀函数关系式，再求各种情况的最值,
典型例题：
1如图，在梯形ABCD中，AD // BC，/ B = 90 °，BC =6，AD =3，/ DCB = 30 ° .点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速
移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△ EFG •设E点移动距离为x (x > 0 ).
(□△ EFG的边长是___ (用含有x的代数式表示)，当x = 2时，点G的位置在_____________ ;
⑵若△ EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0v x<2时，y与x之间的函数关系式；
②当2 v x<6时，y与x之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值
解得
c
1,
5.
二次函数的表达式为x24x 5 .
A D
B E —F —C
设直线BC的解析式为y
5.
因此直线BC与对称轴x2的交点坐标是方程组
2 x
' 的解，解得
x 5 y
2,
3.
10
最后求出最值。

4
4
解：⑴x , D 点
⑵①当0<x <2时，△ EFG 在梯形ABCD 内部，所以y = 2^x 2; 4 ②分两种情况：
I .当2 <x < 3时，如图1，点E 、点F 在线段BC 上, △ E FG 与梯形ABCD 重叠部分为四边形 EFNM ， VZ FNC =Z FCN = 30 °
，二 FN = FC = 6- 2x. /• GN = 3x -6. 由于在 Rt △ NMG 中，/ G = 60 °， 罷2
罷
所以，此时 y = ——x 2- （3x - 6） 4 8 II .当3 <x <6时，如图2，点E 在线段 △ E FG 与梯形ABCD 重叠部分为△ ECP •/ EC = 6 - x,
BC 7i 3 2 x 8 上，点F 在射线CH 9 3x
2 9
3 2
上,
图1
-3 2 "^3 2 …y = — (6 — x )
= x
8 8
⑶当0<x <2时，丁 y =丄3 x 2在x >0时, 4 x = 2 时，y 最大一 /3 ; 7 J 3 2 当 2 < x < 3 时，丁 y — ——x 8 当 3<x <6 时，T y - "-x 8 9巧 8 . x = 3时，y 最大 综上所述：当x = 18
时, 7
y 随x 增大而增大, 如图，直线y 3 -x 4 A 出发, (1) 9.3 x 2 3、3 x 2 y 最大一 — 7 9 3* 18 ---- 在x =—时，y 2 7
9 3 —-—在x < 6时，y 随x
2 9 3
最大
=
7
6分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线y C
图2
5 一
x 与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点
D.点E 从点 为边向右作正方形 PQMN.设正方形PQMN 与厶ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为 求点C 的坐标. 以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动.过点E 4 作x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）. (2 ) (3) 0<t<5时，求S 与t 之间的函数关系式. （2 ）中S 的最大值. (4) t>o 时，直接写岀点 9 （4， ）在正方形PQMN 2 内部时t 的取值范围. 【参考公式：二次函
数
y=ax +bx+c 图象的顶点坐标为（ b 4ac b —, ).】
2a 4a
Q
p 0 E
解：（1）由题意，得
15
二 C ( 3, 一 ).
3
—x 4 5 —x. 4
6, x
解得
y
3, 15 ；v
(2 )根据题意，得AE=t , 0E=8-t.
•••点Q的纵坐标为5 (8-t)，点P的纵坐标为3 t,
4 4
5 3
• PQ= (8-t)- t=10-2t.
4 4
10
当MN 在AD 上时，10-2t=t , • t=—.
3
当0<t < 10时，S=t(10-2t)，即S=-2t 2+l0t.
3
10
当一< t<5 时，S=(10-2t)
3
2，即S=4t 2-40t+100.
105225525 (3 )当0<t < __ 时，S=-2(t-2+ ，• t=—时，S最大值=
32222而减小，
10100
--1= -----时，S最大值=
39当 < t<5 时，S=4(t-5) 2，: t<5 时，S 随t 的增大3
25 100 25 —> —，• S的最大值为一
2 9 2
(4) 4<t< 22或t>6. 5。