二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义

2

ax bx c 与y 轴有且只有一个交点(o ，c )：

①c 0，抛物线经过原点：②c 0,与y 轴交于正半轴；③ c 0,与y 轴交于负半轴

b

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立

•如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 一 0 .

a

11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1 )一般式：

2

y ax bx c .已知图像上三点或三对 x 、y 的值，通常选择一般式.

(2 )顶点式：

y a x h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式

.

(3 )交点式： 已知图像与 x 轴的交点坐标 x 2，通常选用交点式： y ax x 1 x x 2

12.直线与抛物线的交点

2

(1) y 轴与抛物线y ax bx c 得交点为(0, c ).

3求抛物线的顶点、对称轴的方法

1 )公式法：y

ax 2 bx c

b

a x ——

2a

4ac b 2 4a

，二顶点是(

b 4a

c b 2 2a ' 4a

对称轴是直线x ——.

2a

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

2

y ax h k 的形式，得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线x h .

(3 )运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与

抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失

2

9.抛物线 y ax bx c 中，a,b, c 的作用

2

(1) a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 中的a 完全一样.

(2) 2

b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx

c 的对称轴是直线

b

x —，故：①b 0时,

2a

号)时，对称轴在 y 轴右侧.

对称轴为y 轴；②- 0 (即a 、b 同号)时，对称轴在 y 轴左侧；③- 0 (即a 、b 异

a a

(3)

2

bx c 与y 轴交点的位置.

当x 0时，y c ，「.抛物线

(2)与y 轴平行的直线x h 与抛物线y ax 2 bx c 有且只有一个交点(h ,ah 2 bh c ). (3)抛物线与X 轴的交点

2 2

二次函数y ax bx c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标 x 1、x 2，是对应一元二次方程 ax bx c 0的两个实数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

5、反比例函数中反比例系数的几何意义 考点三、二次函数的最值

b

如果自变量的取值范围是 X i X X 2，那么，首先要看

—是否在自变量取值范围

2a

X= — 时，y 最值

4ac

―—；若不在此范围内，则需要考虑函数在

x 1 x x 2范围内的

2a

4a

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)

，即当X

b

4ac 2a 时，y 最值

4a

b 2 根•抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ① 有两个交点

0 抛物线与x 轴相交；

② 有一个交点(顶点在 x 轴上)

③

没有交点 0 抛物线与x 轴相离.

(4)平行于X 轴的直线与抛物线的交点

抛物线与X 轴相切;

个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为

则横坐标是

ax 2 bx c

k 的两个实数根.

一次函数

kx n k 0的图像I 与二次函数y

ax 2 bx c a 0的图像G 的交点，

由方程组

kx n ax 2

bx

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

c

I 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时

只有一个交点；③方程组无解时

I 与G 没有交点.

(6 )抛物线与X 轴两交点之间的距离：若抛物线

2

y ax bx c 与x 轴两交点为A x 1,0， B x 2,0，由于x 1 >

x 2是方程

2

ax bx c 0的两个根, X-I x 2

b ,X

1

a

X 2

AB

X i

2

X 1 x 2

X i

x 2 2 4x^2

4c

、b 2 4ac

(1)点P(x,y)到X 轴的距离等

(2)点P(x,y)到y 轴的距离等于 (3)点P(x,y)到原点的距离等于

x 2

如下图，过反比例函数 S=PM ?PN= y ?x |xy 。 k (k x k y

x

0)图像上任一点 P 作x 轴、 xy k, S k o

y 轴的垂线 PM ，PN ，则所得的矩形 PMON 的面积

X i X X 2内，若在此范围内，则当