2020-2021学年浙江省嘉兴市高一上学期期末检测数学试题

浙江省嘉兴市2020-2021学年高一上学期期末检测数学试题
一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则A B ⋃=（ ） A ．{3}
B ．{1,2,3}
C ．{1,2,3,3,4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
2．计算：sin150︒=（ ）
A ．
2
B ．2
-
C ．
12
D ．12
-
3．下列函数中是奇函数且在区间(1,0)-上是增函数的是（ ） A ．2x
y -= B ．1y x x
=+
C ．2y x -=
D ．sin y x =
4．已知π02α<<
，π
02
β<<，则“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．设lg3a =，lg5b =，则2log 12的值为（ ） A ．
221b a b -+-
B ．
22
1b a b -+-
C ．22
1a b b
-+-
D ．
22
1a b b
-++
6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=且在区间[0,)+∞单调递减，()f x 的部分图像如图所示，则不等式()21x f x ≥-的解集为（ ）
A ．[2,2]-
B ．[2,1]-
C ．[1,1]-
D ．
[1,2]- 7．已知0a >，0b >，且121a b +
=，则2
b a
+的最小值为（ ）
A ．
B ．3
C ．8
D ．9
8．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π
||2
ϕ≤
），满足π06f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
且对于任意的x ∈R 都有2π()3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()f x 在5π2π,369⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，则ω的最大值为（ ） A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
二、选择题Ⅱ：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列命题是真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，12x x
+
≥ B ．0x ∃>，ln x x =
C ．x ∀∈R ，2
1x x +≥- D ．0x ∃>，2
2x
x =
10．下列等式成立的是（ ）
A ．2
2
cos 15sin 15︒-︒=
B ．1sin 4040sin 702︒+
︒=︒
C ．ππsin
cos 884
= D ．tan152︒=
11．已知函数()f x 的定义域为R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 为R 上的单调递增函数，则()f x 的值域为R
B ．若对于任意的x 都有()(2)f x f x =-+，则(4)()f x f x +=
C ．若存在n 个i x （1i n ≤≤，2n ≥，*
i ∈N ），使得()()()12n f x f x f x <<⋯<成立，
则()f x 在R 上单调递增
D ．()f x 一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和
12．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，当0x <时，2
3
()22
f x x ax a =++（a ∈R ），则下列说法正确的是（ ） A ．若方程()2
a
f x ax =+
有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2
a
f x ax =+
有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2
a
f x ax =+
有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2
a
f x ax =+
有4个不同的实数根，则4a > 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
1323
8-=________． 14．若角α的终边过点(,3)P m -，且4
cos 5
α=
，则m 的值为________． 15．个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-五险一金（个人缴纳部分）-累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：
现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为________． 16．已知函数2
()22b a f x ax x =+-，当[1,1]x ∈-时，1
()2
f x ≥-恒成立，则a b +的最大值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题10分）
已知全集U =R ，集合{}
2560A x x x =-+≤∣，集合{}
2220B x x x =-->∣． （Ⅰ）求
A R
，A B ⋂；
（Ⅱ）若集合{30}C x x a =+>∣，满足A C C ⋃=，求实数a 的取值范围．
18．（本题12分）
已知sin α=
π,π2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
． （Ⅰ）求sin 2α的值； （Ⅱ）求cos3α的值．
19．（本题12分）
第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，多个国家和地区的参展企业携大批新产品、新技术、新服务首发首展．某跨国公司带来了高端压缩机模型参展，通过展会调研，嘉兴某企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款压缩机．生产此款压缩机预计全年需投入固定成本1000万元，每生产x 千台．．
压缩机，需另投入资金y 万元，且2210299,040
900945010000,40x x x y x x x x ⎧+<<⎪
=⎨-+≥⎪
⎩
，根据市场行情，每台压缩机售价为
0.899万元，且当年内生产的压缩机当年能全部销售完．
（Ⅰ）求2021年该企业年利润z （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式；
（Ⅱ）2021年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额-成本）
20．（本题12分）
已知函数2
π()2cos
sin 1(0)2
f x x x x ωωωω⎛⎫
=-+-> ⎪⎝
⎭
，其最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
π
3
个单位得到函数()y g x =，求函数()y g x =在区间7π0,12⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的值域．
21．（本题12分）
对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足以下条件：①()y f x =在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()y f x =在[,]a b 上的值域是[,]a b ，那么我们把函数()()y f x x D =∈叫做闭函数．
（Ⅰ）判断函数()33x
g x x =-是不是闭函数？若是，请找出区间[,]a b ；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若()
2()ln e x h x m =+为闭函数，求实数m 的取值范围（e 为自然对数的底数）．
22．（本题12分）
已知0a >，b ∈R ，函数2
()(2)f x ax a b x =+-． （Ⅰ）若函数()y f x =在[1,1]-上有两个不同的零点，求b
a
的取值范围； （Ⅱ）求证：当[1,1]x ∈-时，|()||2|f x a b a ≤-+．
——★ 参 考 答 案 ★——
一、选择题Ⅰ
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C 二、选择题Ⅱ
9．CD 10．ACD 11．BD 12．AC
12．『解析』因为()()0f x f x -+=所以()()f x f x -=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，
当0x >时，0x -<，2
3
()22
f x x ax a -=-+
， 所以2
3()()22
f x f x x ax a =--=-+-
， 综上2
232,02()0,03
2,02
x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪
==⎨⎪⎪-+->⎩，
若0x =是方程()2
a
f x ax =+
的一个根， 则0a =，此时()2
a
f x ax =+
，即()0f x =， 而22
,0()0,0,0
x x f x x x x ⎧<⎪
==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，
当0a =时，原方程有一个实根． 当0x <时，2
3222
a x ax a ax ++
=+， 所以2
0x ax a ++=，当1x =-时不满足，
所以21
(1)21(1)
x a x x x =-
=-++++-+，
当0x >时，2
3222
a x ax a ax -+-
=+， 所以2
20x ax a -+=，当2x =时不满足，
所以24
2422
x a x x x =
=-++--，如图：
若方程()2
a
f x ax =+
有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<； 若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则8a >． 三、填空题
13．π- 14．4 15．1790元 16．2 16．『解析』2
211()22222b a x f x ax x a x b ⎛
⎫=+
-=-+≥- ⎪⎝
⎭， 令2
122x x -
=，则1
2
x =-或1x =， 故112442a b f ⎛⎫-
=--≥- ⎪
⎝⎭
得2a b +≤， 当23a =
，43b =时，2221()333
f x x x =+-满足．
四、解答题
17．解：（Ⅰ）{}
2560{(2)(3)0}{23}A x x x x x x x x =-+≤=--≤=≤≤∣∣∣，
所以
{2 3}A x x x =<>R
∣或．
{
}2220{1 1B x x x x x x =-->=<>∣∣或，
因为213<+<
，所以{13}A B x
x ⋂=<≤∣. （Ⅱ）因为A C C ⋃=，所以A C ⊆，
{30}3a C x x a x x ⎧⎫=+>=>-⎨⎬⎩
⎭∣∣，
所以23
a
-
<，即6a >-． 18．解：（Ⅰ）因为π,π2α⎛⎫∈
⎪⎝⎭
， 所以cos 0α
<cos 10
α==-
， 3
sin 22sin cos 5
ααα==-．
（Ⅱ）2
24cos 2cos
sin 5
ααα=-=，
cos3cos(2)cos cos2sin sin 2ααααααα=+=-
4355⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
50=-． 19．解：（Ⅰ）()22899102991000,040
900945010000
8991000,40x x x x z x x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨-+-
-≥⎪⎩
2106001000,040
100008450,40
x x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫
-++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩． （Ⅱ）由（Ⅰ）知当040x <<时，2
10(30)8000z x =--+， 当30x =时，max 8000z =万元；
当40x ≥时，100008450z x x ⎛⎫
=-+
+ ⎪⎝⎭
， 因为10000
200x x
+
≥，当且仅当100x =时取等号， 所以当100x =时，max 82508000z =>万元万元， 综上当100x =时，max 8250z =万元，
所以2021年产量为100（千台）时，企业所获年利润最大为8250万元．
20．解：（Ⅰ）因为2
π()2cos
sin 1(0)2
f x x x x ωωωω⎛⎫
=-+-> ⎪⎝
⎭
22cos 1cos x x x ωωω=--
cos 22x x ωω=-
12cos 2222x x ωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
π2cos 23x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
所以2πππ|2|T ωω=
==，即1ω=，π()2cos 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令π2ππ22π()3k x k k -≤+
≤∈Z ，得2ππ
ππ()36
k x k k -≤≤-∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为2πππ,π()36k k k ⎡
⎤
-
-∈⎢⎥⎣
⎦
Z ． （Ⅱ）π()2cos 23f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭向右平移3π个单位得到π()2cos 23g x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
当7π0,
12x ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭时，ππ5π2336x -<-<，
所以πcos 2123x ⎛
⎫-
<-≤ ⎪⎝
⎭，()2g x ≤，
所以函数()y g x =的值域为(2]．
21．解：（Ⅰ）因为()33x g x x =-，所以110(1)333
g -=+=， (1)0g =，2(2)3323g =-⨯=，
(1)(1)g g ->，(1)(2)g g <，
所以()33x g x x =-不是单调函数故不是闭函数．
（Ⅱ）()
2()ln e x h x m =+在定义域上单调递增，
当[,]x a b ∈时，[,]y a b ∈， 所以()()22()ln e ()ln e a b h a m a h b m b
⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，即22e e 0e e 0a a b b m m ⎧-+=⎨-+=⎩． 所以a 、b 是方程2e
e 0x x m -+=的两个根， 令e (0,)x t =∈+∞且在R 上单调递增，
则方程20t t m -+=在(0,)+∞上有两个不同的实根，
因为2m t t =-+，令2()h t t t =-+在10,2⎛
⎤ ⎥⎝⎦
单调递增， 在1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递减，1124
h ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以10,4m ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
． 22．解：（Ⅰ）2()(2)0f x ax a b x =+-=，
所以10x =或22b a x a -=，则21120b a a b a a
-⎧-≤≤⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩， 即132b a b a
⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，所以[1,2)(2,3]b a ∈⋃．
（Ⅱ）法①先证()|2|f x a b a ≤-+，
因为2
()(2)f x ax a b x =+-，
所以(1)3f a b =-，(1)f a b -=-+，(1)(1)42f f a b --=-， 因为0a >，所以max 3,2()max{(1),(1)}2,2a b b a f x f f a b a b a b a -≤⎧=-==-+⎨->⎩
∣， 即()|2|f x a b a ≤-+成立；
下证()|2|f x a b a ≥---，
因为2()(2)f x ax a b x =+-，对称轴为22b a x a
-=， ①212b a x a
-=≤-，即0b ≤时， ()y f x =在[1,1]-上单调递增，
所以min ()(1)f x f a b =-=-+，
min ()|2|220f x a b a a b a b a a +-+=-++-+=>； ②212b a x a
-=≥，即4b a ≥时， ()y f x =在[1,1]-上单调递减，
所以min ()(1)3f x f a b ==-，
min ()|2|3220f x a b a a b b a a a +-+=-+-+=>； ③2112b a x a
--<=<，即04b a <<时， 2min 2(2)()24b a a b f x f a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭
， 所以min ()|2|f x a b a +-+2
(2)|2|4a b a b a a
--=+-+
22
228,02488,244a b b a a a ab b a b a a ⎧-<≤⎪⎪=⎨-+-⎪<<⎪⎩
， 当02b a <≤时，min ()|2|0f x a b a +-+>，
当24a b a <<时，
令22
()88h b b ab a =-+-在(2,4)a a 单调递增，
又因为2(2)40h a a =>，所以min ()|2|0f x a b a +-+>，
综上当[1,1]x ∈-时，|()||2|f x a b a ≤-+．
法②：因为2()(2)f x ax a b x =+-，
所以(1)3f a b =-，(1)f a b -=-+，
得(1)(1)20f f a +-=>，
所以max{|(1)|,|(1)|}max{(1),(1)}f f f f -=-， 11(1)(1)22a f f =-+，31(1)(1)22
b f f =-+， 于是2(1)(1)(1)(1)|()|22f f f f f x x x -+--=
+∣ 22(1)(1)22
x x x x f f +-=+- 22(1)(1)22
x x x x f f +-≤+-∣ 22|(1)||(1)|22
x x x x f f +-=+- 22max{|(1)|,|(1)|}22x x x x f f ⎛⎫+-≤-+ ⎪⎝⎭
．
由||||max{||,||}a b a b a b +=+-得{}222max ,||122
x x x x x x +-+=≤，
所以|()|max{|(1)|,|(1)|}f x f f ≤- max{(1),(1)}f f =-
(1)(1)|(1)(1)||2|22
f f f f a b a +---=+=-+．。