线性代数_同济大学(第五版)正式课件1

x 2
x2

12 1
解： 因为 D 3 2 3 (4) 7 0
21
12 2
D1 1
12 (2) 14
1
3 D2 2
12 3 24 21
1
Hale Waihona Puke Baidu所以
x1

D1 D
14
7
2,
x2
D2 D
21 3.
7
二、三阶行列式
线性代数（第五版）
线性代数介绍
线性代数是代数的一个分支，它以研究向量空 间与线性映射为对象；由于费马和笛卡儿的工作， 线性代数基本上出现于十七世纪。
由于它的简便，所以就代数在数学和物理的各 种不同分支的应用来说，线性代数具有特殊的地位 。此外它特别适用于电子计算机的计算，所以它在 数值分析与运筹学中占有重要地位。
线性代数地位
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石则早在两千年前 出现（见于数学名著《九章算术》）。
①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重 要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；
②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助 设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算 法基础的一部分；
a11 a12 记号 a21 a22
表达式 a11a22 a12a21 称为由该
数表所确定的二阶行列式，即
D a11 a21
a12 a22
a11a22－a12a21 .
其中， aij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素。
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列。
在以往的学习中，我们接触过二元、 三元等简单的线性方程组。
但是，从许多实践或理论问题里导出 的线性方程组常常含有相当多的未知量， 并且未知量的个数与方程的个数也不一定 相等。
我们先讨论未知量的个数与方程的 个数相等的特殊情形。
在讨论这一类线性方程组时，我们 引入行列式这个计算工具。
第一章 行列式
类似地，讨论三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
当 a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解
x1

b1 a 22 a11a22
a12b2 a12a21
x2

a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
求解公式为
教学目的与要求
通过学习本章，要求学生知道n阶行列式定义， 熟悉行列式的性质，掌握行列式的计算方法及其求 解线性方程组的克拉默法则。
教学重点、难点
教学重点：行列式的概念、性质及其计算 教学难点：行列式的性质及其计算
课外思考题
P25 习题一、 1(2)(3),2(2)(4),4(2)(3),5(2),6(3)(5),8(2),9,10(2),12
§1 二阶与三阶行列式
从最简单的二元线性方程组出发，探求 其求解公式，并设法化简此公式。
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2

b1 b2
由消元法，得
(a11a22 a12a21 )x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 )x2 a11b2 b1a21
D1

b1 b2
a12 a22
D2

a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1

b1a22 a11a22
a12b2 a12a21

D1 D
x2

a11b2 a11a22
b1a21 a12a21

D2 D
例1
求解二元线性方程组

3x 2 1 2 x1
内容提要
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值。
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 行列式的概念.
§3 n 阶行列式的定义
§4 对换 （选学内容）
§5 行列式的性质
行列式的性质及计算
§6 行列式按行(列)展开
§7 克拉默法则 —— 线性方程组的求解
③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具 体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归 纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有 用的。
教学安排
教学内容 第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换与线性
方程组 第四章 向量组的线性相关性
第五章 相似矩阵及二次型 第六章 线性空间与线性变换
时间安排 8学时 8学时 8学时
8学时 6学时 6学时
参考资料
[1] 《线性代数辅导》 胡金德等编 北京：清华大学出 版社出版 [2]《线性代数及其应用》，同济大学应用数学系编， 北京：高等教育出版社
课程教学网站、教学参考网站
[1]http://222.66.109.20/jpkc/xxds/7/1.htm [2]http://202.194.14.194/xxds/old/math.htm
请观察，此公式有何特点？

x1


x2

b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
分母相同，由方程组的四个系数确定。 分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得。
二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2

b1 b2
其求解公式为

x1


x2

b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
原则：横行竖列
引进新的符号来表示“四
个数分成两对相乘再相
减”。
a11 a12 数表 a21 a22
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22

a11a22

a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D a11 a21
a12 a22
(方程组的系数行列式)