第三章第三节 一维非稳态导热的分析解

x δ
)
=
f
x (Fo, Bi, )
δ
三个变量，因此，需要分开来画
（1）先画
θm θ0
=
f ( Fo , Bi )
第三节一维非稳态导热的分析解
(2) 再根据公式(3-23)
绘制其线算图
θ ( x,τ ) = cos(
θ m (τ )
μ1
x δ
)
=
x f ( Bi , δ )
(3) 于是，平板中任一点的温度为 θ = θ ⋅ θ m
若令Q为 [ 0 ,τ ] 内所传递热量
Q = ρc ∫V [t0 − t ( x,τ )]dV = 1 − θ
Q0
ρcV (t0 − t∞ )
θ0
θ --时刻z的平均过余温度
∫ e θ
=1 v
θdv
v
=
θ0
2 sin μ1 μ1 + sin μ1 cos μ1
−(
−
μ
2 1
F0
) sin μ1 μ1
)
e−(βnδ
)
2
a δ
τ
2
因此 θ ( x ,τ ) 是F0, Bi 和 x 函数，即
θ0
δ
θ ( x ,τ θ0
)=
x f ( F0 , Bi , δ
)
注意：特征值 βn ←⎯区⎯别→ 特征数（准则数）
第三节一维非稳态导热的分析解
2. 非稳态导热的正规状况 对无限大平板 F0 = aτ δ 2 当 F0 ≥0.2 取级数的首项，板中心温度， 误差小于1%
式中常数a ,b ,c ,d 见P75表3-3 a`,b`,c`,d`见P75表3-4
第三节一维非稳态导热的分析解
3 正规热状况的实用计算方法－线算图法
诺谟图
以无限大平板为例，F0>0.2 时，取其级数首项即可
θ (x,τ ) =θ0
μ1
+
2sin μ1 sin μ1 cos
μ1
e−μ12
F0
cos(μ1
)
e−
β
2 n
a
τ
此处Bn为离散面(特征值)
若令 则上式可改写为：
μn = βnδ
∑ e * θ( x,τ θ0
)
=
∞ n=1
μn
+
2 sin μn sin μn cos
μn
cos(
μn
x δ
)
−
μ
2 n
aτ δ2
1
第三节一维非稳态导热的分析解
μn为下面超越方程的根
ctg μ n
=
μn hδ λ
hδ 为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
θ0 θm θ0
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可 以利用（3－24）和（3－25）绘制出。
解的应用范围
书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第 三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过 程，并且F0>0.2
3
第三节一维非稳态导热的分析解
上式化为：
∂θ = a ∂ 2θ
∂τ
∂x 2
θ =θ0
∂θ = 0 ∂x
0 < x < δ ,τ > 0 τ =0 x=0
− λ ∂θ = hθ x = δ ∂x
第三节一维非稳态导热的分析解
用分离变量法可得其分析解为：
θ
( x,τ θ0
)
=
∞
∑
n =1
2 sin( β nδ ) cos( β n x) β nδ + sin( β nδ ) cos( β nδ
F0 = az δ 2 F0 = az R 2
2
第三节一维非稳态导热的分析解
3 正规热状况的实用计算方法－拟合公式法
对上述公式中的A，B，μ1，J0 可用下式拟合
μ
2 1
=(a
+
b Bi
)−1
A = a + b ( 1 − e − cBi )
B = a + cB i 1 + bB i
J 0 ( x ) = a` + b` x + c` x 2 + d ` x 3
h=const
第三节一维非稳态导热的分析解
此半块平板的数学描写：
导热微分方程 初始条件
边界条件
∂t = a ∂2t ∂τ ∂ x2
( 0 < x < δ ,τ > 0 )
t = t0 τ = 0
∂t = 0 x = 0 ∂x
(对称性)
−
λ
∂t ∂x
=
h(
t
−
t∞
)
x=δ
引入变量－－过余温度 令：θ ( x,τ ) = t( x,τ ) − t∞
第三节一维非稳态导热的分析解
对无限大平板，长圆柱体及球：
θ θ0
及θ
可用一通式表达
θ θ0
=
A exp(
−
μ
2 1
F0
) f ( μ1y )
θ
= θ 0 A exp(
−
μ
2 1
F0
)Bi
此处
无限大平板
y
=
x δ
Bi = hδ λ
长圆柱体及球
y
=
x R
B i = hR λ
f( y ) 此处的A，B及函数 μ 1 见P74表3-2
λ
书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值
第三节一维非稳态导热的分析解
θ
( x,τ θ0
)
=
∞
∑
n=1
2 sin( βnδ ) cos( βn x) βnδ + sin( βnδ ) cos( βnδ
)
e− β n2 aτ
θ
( x,τ θ0
)
=
∞
∑
n =1
2 sin( β nδ ) cos( β n x ) β nδ + sin( β nδ ) cos( β nδ
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0 δ
θ
(0,τ θ0
)
=
θ m (τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
e − μ12 F0
θ (x,τ ) θ m (τ )
=
cos(
μ1
x δ
)
与时间无关
第三节一维非稳态导热的分析解
考察热量的传递 Q 0 = ρ cV ( t 0 − t ∞ ) Q0 ——非稳态导热所能传递的最大热量
传热学
（Heat Transfer）
材料成型教研室
第三章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 集总参数法的简化分析 §3-3 一维非稳态导热的分析解 §3-4 二维及三维问题的求解
第三节一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ=const
a=const
因两边对称，只研究半块平壁
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos源自文库
μ1
cos(
μ1
e x ) − μ12F0 δ
θ
(0,τ θ0
)
=
θ m (τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ 1 sin μ1 cos
μ1
e − μ12 F0
第三节一维非稳态导热的分析解
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos