动荷载结构
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根据自由度的数目，结构可分为单 自由度体系，多自由度体系和无限自由度 体系。
2.实际结构自由度的简化方法
为分析计算方便，往往将具有无限自 由度体系的实际结构简化为有限自由度。 常用的简化方法有：
（1） 集中质量法 将连续分布的结构质量按一定
的力学原则集中到若干几何点上， 使结构只在这些点上有质量。从而 把一个无限自由度问题简化为有限 自由度问题。
（2）广义坐标法
假定梁的挠度曲线为
m
y(x)
n
y(x) akk (x) akk (x)
k 1
k 1
式中 k (x) －满足位移边界条件的形状函数
ak －广义坐标
广义坐标的个数为体系的自由度数
（3）有限单元法
m
综合了集中质量法和广义坐标法的特点。 将实际结构离散为有限个单元的集合， 以结点位移作为广义坐标，将无限自由 度问题化为有限自由度问题。 结点位移的数目等于体系的自由度数。 本章主要讨论集中质量法。
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
控制系统 （装置、能量）
输出 （动力反应）
2．结构动力计算的目的
研究结构在动荷载作用下的反应规 律，找出动荷载作用下结构的最大动内 力和最大动位移，为结构的动力可靠性 设计提供依据。
作 M1图（图f）
y (t) F (t)
-my(t)
y (t)
δ
1
h/4
δ h/4
求得
h/4
(e) h3
24 EI
h/4 M1图
(f)
所以，运动方程为
my(t)
24EI h3
y(t)
F (t )
可见，用两种方法求解后运动方程相同。
k11 y1 (t) F1p 0
令 y(t) 1, 作 M 1 图（图c），求得
k11
24
ห้องสมุดไป่ตู้
EI h3
1
1
-my(t)
6EI/h2
6EI/h2 k F(t)
F
6EI/h2
6EI/h2
M1图
k
-my(t) F
F (t)
12EI/h3
12EI/h3
(c)
(d)
考虑动荷载 F(t)和惯性力 my(t)
作 MP 图，求得
F1P F(t) my(t)
所以，运动方程为：
my(t) 24EI y(t) F(t) h3
（2）柔度法
设横梁在任一时刻 t 的位移 y(t) 是由
动荷载 F(t) 和惯性力 my(t) 共同作用产
生的（图e），因此，横梁的位移为：
y(t) [my(t) F(t)]
三．自由振动和强迫振动
自由振动 结构在没有动荷载作用时，由 初速度、初位移所引起的振动。
研究结构的自由振动，可得到结构的 自振频率、振型和阻尼参数。
强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振 动。
研究强迫振动，可得到结构的动力 反应。
四．动力分析中的自由度
1．自由度的定义
确定体系运动过程中任一时刻全部 质量位置所需的独立几何参数数目，称为 体系的自由度。
m
平面:计轴向变形: W=2 不计轴向变形: W=1
(空间:不计轴向变形: W=2)
不计轴向变形：
y1
W=1（3）
y2 y1
W=2（3）
y3
y2 y1
θ
y1
W=3（5） θ
∞
W=1
y
W=3
结论： ①结构自由度数目与质点的个数无关 ②结构自由度数目与超静定次数无关
思考： 考虑轴向变形后各计算简图的动力自 由度数是多少？
3．动力反应的特点 在动荷载作用下，结构的动力反应
（动内力、动位移等）都随时间变化， 它的除与动荷载的变化规律有关外，还 与结构的固有特性（自振频率、振型和 阻尼）有关。
不同的结构，如果它们具有相同的 阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下 具有相同的反应。可见，结构的固有特 性能确定动荷载下的反应，故称之为结 构的动力特性。
§13-2 单自由度体系的运动方程
实际上，工程中很多问题可化成 单自由度体系进行动力分析或进行初 步估算。要掌握其动力反应的规律， 必须首先建立其运动方程。下面介绍 建立在达朗伯原理基础上的“动静 法”。
一.按平衡条件建立运动方程－刚度法
FP(t) m y(t) L EI
FP(t) m
-my(t) -k y(t)
动荷载确定性非周期周其期他非确简冲突简定谐击加谐规荷荷荷荷律载载载载的动荷载
地震荷载
非确定性
风荷载
其他非确定规律的动荷载
二．结构动力计算的内容和特点
1. 动力计算的主要内容 第一类问题：反应问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
二.按位移法协调建立方程－柔度法
FP(t) m L EI
-my(t) y(t)
1
1 δδ
FP(t) m
-my(t) y(t)
对质量 m 列位移方程：
y(t) [Fp (t) my(t)]
my(t)
1
y(t)
Fp
(t)
δ－柔度系数
my(t)
3EI l3
y(t)
Fp (t)
l3
3EI
k1
柔度法步骤：
my(t)－惯性力 ky(t) －弹性力
对隔离体列平衡方程：
my(t) ky(t) Fp (t) 1
k
k－刚度系数
k 3EI l3
my(t)
3EI l3
y(t)
Fp (t)
y(t) ky(t)
刚度法步骤：
（1）在质点上沿位移正向加惯性力;
（2）取质点为隔离体并作受力图; （3）根据达朗伯原理对质量m列瞬时 动力平衡方程，此即体系的运动方程。
（1）在质量上沿位移正方向加惯性力； （2）求动荷载和惯性力引起的位移； （3）令该位移与质量 m 的位移相等， 即得到体系的位移方程（运动方程）。
三.建立运动方程例题
例1 试建立图示刚架（a）的运动方程
解：（1）刚度法
FP(t)
m
∞
y(t)
F(t)
m
∞
EI
EI h
y(t) F1=0
（a）
（b）
由于横梁刚度无限大，刚架只产生水 平位移。设横梁在某一时刻 t 的水平位移 为 y(t), 向右为正。在柱顶设置附加链杆 （图b），以 y(t) 作为基本未知量，用位 移法列动平衡方程：
§13－1 动力计算的特点和动力自由度
一．动荷载及其分类
动荷载是指其大小、方向和作用位置随 时间变化的荷载．由于荷载随时间变化较快 ，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯 性力的影响是结构动力学的最主要特征。
静荷载只与作用位置有关，而动荷载 是坐标和时间的函数。
动荷载按其随时间的变化规律进行分类：
2.实际结构自由度的简化方法
为分析计算方便，往往将具有无限自 由度体系的实际结构简化为有限自由度。 常用的简化方法有：
（1） 集中质量法 将连续分布的结构质量按一定
的力学原则集中到若干几何点上， 使结构只在这些点上有质量。从而 把一个无限自由度问题简化为有限 自由度问题。
（2）广义坐标法
假定梁的挠度曲线为
m
y(x)
n
y(x) akk (x) akk (x)
k 1
k 1
式中 k (x) －满足位移边界条件的形状函数
ak －广义坐标
广义坐标的个数为体系的自由度数
（3）有限单元法
m
综合了集中质量法和广义坐标法的特点。 将实际结构离散为有限个单元的集合， 以结点位移作为广义坐标，将无限自由 度问题化为有限自由度问题。 结点位移的数目等于体系的自由度数。 本章主要讨论集中质量法。
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
控制系统 （装置、能量）
输出 （动力反应）
2．结构动力计算的目的
研究结构在动荷载作用下的反应规 律，找出动荷载作用下结构的最大动内 力和最大动位移，为结构的动力可靠性 设计提供依据。
作 M1图（图f）
y (t) F (t)
-my(t)
y (t)
δ
1
h/4
δ h/4
求得
h/4
(e) h3
24 EI
h/4 M1图
(f)
所以，运动方程为
my(t)
24EI h3
y(t)
F (t )
可见，用两种方法求解后运动方程相同。
k11 y1 (t) F1p 0
令 y(t) 1, 作 M 1 图（图c），求得
k11
24
ห้องสมุดไป่ตู้
EI h3
1
1
-my(t)
6EI/h2
6EI/h2 k F(t)
F
6EI/h2
6EI/h2
M1图
k
-my(t) F
F (t)
12EI/h3
12EI/h3
(c)
(d)
考虑动荷载 F(t)和惯性力 my(t)
作 MP 图，求得
F1P F(t) my(t)
所以，运动方程为：
my(t) 24EI y(t) F(t) h3
（2）柔度法
设横梁在任一时刻 t 的位移 y(t) 是由
动荷载 F(t) 和惯性力 my(t) 共同作用产
生的（图e），因此，横梁的位移为：
y(t) [my(t) F(t)]
三．自由振动和强迫振动
自由振动 结构在没有动荷载作用时，由 初速度、初位移所引起的振动。
研究结构的自由振动，可得到结构的 自振频率、振型和阻尼参数。
强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振 动。
研究强迫振动，可得到结构的动力 反应。
四．动力分析中的自由度
1．自由度的定义
确定体系运动过程中任一时刻全部 质量位置所需的独立几何参数数目，称为 体系的自由度。
m
平面:计轴向变形: W=2 不计轴向变形: W=1
(空间:不计轴向变形: W=2)
不计轴向变形：
y1
W=1（3）
y2 y1
W=2（3）
y3
y2 y1
θ
y1
W=3（5） θ
∞
W=1
y
W=3
结论： ①结构自由度数目与质点的个数无关 ②结构自由度数目与超静定次数无关
思考： 考虑轴向变形后各计算简图的动力自 由度数是多少？
3．动力反应的特点 在动荷载作用下，结构的动力反应
（动内力、动位移等）都随时间变化， 它的除与动荷载的变化规律有关外，还 与结构的固有特性（自振频率、振型和 阻尼）有关。
不同的结构，如果它们具有相同的 阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下 具有相同的反应。可见，结构的固有特 性能确定动荷载下的反应，故称之为结 构的动力特性。
§13-2 单自由度体系的运动方程
实际上，工程中很多问题可化成 单自由度体系进行动力分析或进行初 步估算。要掌握其动力反应的规律， 必须首先建立其运动方程。下面介绍 建立在达朗伯原理基础上的“动静 法”。
一.按平衡条件建立运动方程－刚度法
FP(t) m y(t) L EI
FP(t) m
-my(t) -k y(t)
动荷载确定性非周期周其期他非确简冲突简定谐击加谐规荷荷荷荷律载载载载的动荷载
地震荷载
非确定性
风荷载
其他非确定规律的动荷载
二．结构动力计算的内容和特点
1. 动力计算的主要内容 第一类问题：反应问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
二.按位移法协调建立方程－柔度法
FP(t) m L EI
-my(t) y(t)
1
1 δδ
FP(t) m
-my(t) y(t)
对质量 m 列位移方程：
y(t) [Fp (t) my(t)]
my(t)
1
y(t)
Fp
(t)
δ－柔度系数
my(t)
3EI l3
y(t)
Fp (t)
l3
3EI
k1
柔度法步骤：
my(t)－惯性力 ky(t) －弹性力
对隔离体列平衡方程：
my(t) ky(t) Fp (t) 1
k
k－刚度系数
k 3EI l3
my(t)
3EI l3
y(t)
Fp (t)
y(t) ky(t)
刚度法步骤：
（1）在质点上沿位移正向加惯性力;
（2）取质点为隔离体并作受力图; （3）根据达朗伯原理对质量m列瞬时 动力平衡方程，此即体系的运动方程。
（1）在质量上沿位移正方向加惯性力； （2）求动荷载和惯性力引起的位移； （3）令该位移与质量 m 的位移相等， 即得到体系的位移方程（运动方程）。
三.建立运动方程例题
例1 试建立图示刚架（a）的运动方程
解：（1）刚度法
FP(t)
m
∞
y(t)
F(t)
m
∞
EI
EI h
y(t) F1=0
（a）
（b）
由于横梁刚度无限大，刚架只产生水 平位移。设横梁在某一时刻 t 的水平位移 为 y(t), 向右为正。在柱顶设置附加链杆 （图b），以 y(t) 作为基本未知量，用位 移法列动平衡方程：
§13－1 动力计算的特点和动力自由度
一．动荷载及其分类
动荷载是指其大小、方向和作用位置随 时间变化的荷载．由于荷载随时间变化较快 ，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯 性力的影响是结构动力学的最主要特征。
静荷载只与作用位置有关，而动荷载 是坐标和时间的函数。
动荷载按其随时间的变化规律进行分类：