量子力学习题课1,2

第一章
绪论
（1）波尔假定
Bohr 在他的量子论中提出了两个极为重要的概念， 可以认为是对大量实验事实的概括。
1.原子具有能量不连 续的定态的概念。
2.量子跃迁的概念.
电 子 的 角 动 量L只 能
取的 整 数 倍 ， 即
L n
其中
n 1,2,3
mn[EnEm]h
Hubei Normal University
（4）波尔量子论的局限性
波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门， 取得了很大的成功。但是它的局限性和存在 的问题也逐渐为人们所认识
1. 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦 原子的光谱；
2. 不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； 3. Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问
题，如散射问题； 4. 从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相
经典理论近似适用； (2）其热运动能量在很低的温度下与动能量子化能量
间隔相同一个数量级。
Hubei Normal University
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等， 问要实现这种转化，光子波长最大是多少？
解：转化条件为 h
Ld n d 2 n nh
索末菲将 Bohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多 自由度情况，
pidqi nih
其中 pi是广义动量qi是 ，相应的广义坐
这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且 对于只有一个电子（Li，Na，K 等）的一些原子光谱 也能很好的解释。
Hubei Normal University
1
量子力学（Quantum Mechanics） 习题课（第一、二章）
陈涛
E-mail: taochen426126 Tel: +86 015827453491
HBNU, Apr. 8, 2019
Hubei Normal University
2
量子化的起源
Hubei Normal University
解：
h p
h
0
7.09 1010 m 7.09 A
2mE
1.3. 氦原子的动能为 E 3 kT ，求T 1K 时氦原子的 de Broglie 波长。
2
h h h
6.63 1034
解： p 2mE 3mkT 3 4 1.66 1027 1.381023
0
12.631010 m 12.63 A
解：(1)一维谐振子的运动方程为 q 2q 0 ，其解为
q Asint
速度为 q A cost ，动量为 p q A cost ，
则相积分为
Ñ pdq
A2 2
T
0
cos2
t
dt
A2 2
T (1 cost )dt
A2 2T
，
nh
20
2
E A2 2 nh nh ，
e4 1 1 43 [m2 n2]
与氢原子线光谱 的经验公式比较
e
1 xpRHc[m2
1 n2]
得 Rydberg里德伯常数
e4 RH 43c
与实验完全一致
Hubei Normal University
（3）量子化条件的推广
由理论力学知，若将角动量 L 选为广义动量，则θ为 广义坐标。考虑积分并利用 Bohr 提出的量子化条件， 有
2r n
子相应的驻波示意
图
de Broglie 关系
代 n1,2,3,
入
r
p h
h
2r
nh
2r
n r
n
于是角动量： L r p n n 1 ,2 ,3 ,
表明：单个电子就具有波动性
Hubei Normal University
1.2．在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV,求 de Broglie 波长.
其中 m 4.003 1.66 10 27 kg ， k 1.381023J K1
Hubei Normal University
1.4 利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场 B 10T ，玻尔磁子 B 0.923 1023 J T1， 求动能的量子化间隔 E ，并与T 4K 及T 100K 的热运动 能量相比较。
（2）氢原子线光谱的解释
根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子 的线光谱。
假设氢原子中
e v
v2 e2
Fc r r2
的电子绕核作 圆周运动
由量子
角动量化条件
Fc + r
ຫໍສະໝຸດ Baiduv2 e2
(1)
r
r 2 2 e 2 n 22
L|
r
p|
rvn
(rv)2 n22
r
n 22
r e2
(2)
n1
2
r0e2
第B 一 o轨 hr道半径
Hubei Normal University
电子的能量：
v2
e2
r
(1)
ETV1v2e2
2
r
n22
r e2
(2)
1 2e2r
e2 r
e2 2r
e4
2n22 En n1,2,3,
根据 Bohr 量子跃迁的 概念
[En Em]
h
1 e4
e4
2[2n222m22]
p d
2
0
p d
2Rv 2eBR2
nh ， n 1,2,
，
由此得半径为 R
n eB
，n
1,2,
。
2
电子的动能为
E
1 2
v2
1 2
eBR
1 2
e2B2
n eB
n B B
动能间隔为 E B B 91023 J
Hubei Normal University
热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以 当T 4K 时， E 4.521023 J ；当T 100K 时， E 1.381021 J 。 比较：(1) 电子的量子化动能间隔很少，不易觉察，可忽略，
2T
n 0,1,2,
Hubei Normal University
（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
由 evB v2 ，得 R v
R
eB
•
再由量子化条件 pdq nh, n 1,2,3, ，以, p Rv R2 eBR2
分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为
容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。
Hubei Normal University
驻波条件：Bohr轨道
为了克服 Bohr 理论带有人为性质的缺陷， de Broglie 把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和 有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。
例如：氢原子中作 要求圆周长是 稳定圆周运动的电 波长的整数倍