《运筹学》第3章习题

第三章线性规划对偶理论与灵敬度分析习题

一、思考题

1.对偶问题和对偶变量的经济意义是什么

2.简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么

3.什么是资源的影子价格它和相应的市场价格之间有什么区别

4.如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数

之间的关系

5.利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解

6.在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）>0,其经济意

义是什么

7.在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量心+代的检验数（T n+k > 0 （标准形为求

最小值），其经济意义是什么

8.将（幻，Cj的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解

将会出现什么变化有多少种不同情况如何去处理

二、判断下列说法是否正确

1.任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。

2.对偶问题的对偶问题一定是原问题。

3.若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。

4.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优

解。

5.若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。

6.已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量y；>0,说明在最优生产计划

中，第i种资源已经完全用尽。

7.已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量y；=0,说明在最优生产计划

中，第i种资源一定还有剩余。

8.对于（们，勺，勺来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围

之后，线性规划的最优解就会发生变化。

9.若某种资源的影子价格为Z7,则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加£ 个单

位，相应的目标函数值增加ku o

10.应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量X,. < 0,且母所在行的

所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。

三、写出下列线性规划的对偶问题

(2)max z = 2舟 + 2x2 + 3x3 + x4 (1) max Z = 3“ + 2x2 + x3

Xj + x2 + 2X3< 5

4“ + 2X2 -x3< 7

3X] + 2X2 +x3 <9

x l ,x2 ,x3 > 0 (3)min z = “ 一2x2一

X] +x2 +x3 +x4 < 12 2X] -

x2 +3乃=-1

<

“ 一兀3 + *4 n 3

“ ,x2 >O,X3,心无约束(4)min z = X] + x2 + 2x3

3州一x2 + 2X3 < 5

2xj - 4X2 -x3 > 7

—X] + 2A*2 + 4兀3 =10

X),x2 >0,x3无约束

「2%j +x2 + 2X3< 7

2兀]一3X2 -x3 =5

—3x\ + 5%2 — 4xj n

3

%! x >0,x无约束(6) min z = 5兀]一4x2 + 3x3

4X] + 2X2一6X2 5 24 3%| — 6%2 — 4兀3 n ] 5

5X2+3X3 = 30

2%j +7X3 > 8

8兀]+5X2一4*3 <

15

4x° + 6X3 = 30

四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题

(1) min Z = 3“ + 2x2 + 勺(2) max z = 2x, + 2x2 + 4勺

+ x2 + x3 <62%j + 3X2 + 5乃丫2

X[ -x3 > 4

x2 -x3 > 3 3Xj +x2 +7X3 < 3 “ +4七+6x3 < 5

x},x2,x3 >0

(3 ) min z = 12%] + 8x2 + 16x3 + 12x4

2x{ +x2+4X3> 2

< 2X] + 2X2+4X4 > 3 ；

X] ,x2 ,x3 ,X4 >0

X] 9X29X3 >0

(4 ) min z = 5AJ + 2x2 + 4x3

3“ +x2 + 2X4 > 7

< 6%j +3X2+5X3 > 12 ；

X{ ,X2內>0

六.已知下表(表3—1.)为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中心 无 为松弛变量，问题的约束为

形

式

(1 )写出原线性规划问题；

(2) 写出原问题的对偶问题；

(3) 直接由表3 — 1写出对偶问题的最优解。

七.某厂利用原料A 、B 生产甲.乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原 料数.单件利润及有关数据如表

1一4

所示，分别回答下列问题：

五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时勺与必的变化 范围。

(1 ) max z = x {+x 2 + 2X] +x 2 + 2X 3 < 2 < 3x] + 2X 2 +x 3 <3 t /1也內巴。

(3 ) max 乙=X] + 4X 2 + 3x 3 (2 ) max < = 9兀]+ 8X 2 + 50 v 3 + 19x 4

3%] + 2X 2 + 10x 3 + 4X 4 < 18 < 4X 3 +x 4 <6

；

X[ ,x 2 ,x 3 ,x 4 >0

(4 ) max 乙=6坷 + 2x + 10x + 8x 2%j + 2X 2 +x 3 <4 < X] + 2X 2 + 2X 2 5 6 X] ,x 2 ,x 3 >0

5x )+ 6%2 — 4x? — 4%4 < 20 3%] - 3X 2 + 2X 3 + 8x 4 < 25 4x, - 2X 2 + X3 + 3X 4 < 10 X] 9X 2 9X 3 ,X 4 >0