2014年高考三轮复习数学思想方法专题三 分类与整合思想教师版
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3．(2012·四川)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是()
答案D解析当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.
当0<a<1时，y＝ax－为减函数，且在y轴上的截距为1－<0，故选D.
4．(2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A.若
2．(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ等于()
A．－B．－C.D.
答案B解析设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝.当t>0时，cosθ＝；当t<0时，cosθ＝－.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．
答案B解析f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，∴a＝1.
当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋(k∈Z)．
∴a2＝2k＋(k∈Z)，k只取0，此时a2＝.∵－1<a<0，∴a＝－.
反思归纳(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．
1．(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案C解析当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；
数学思想方法专题三分类与整合思想
1．在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．
2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．
3．中学数学中可能引起分类讨论的因素：
答案解析当a>0时，＋＝＋＝＋＝＋≥；
当a<0时，＋＝＋＝＋＝－＋≥－＋1＝.
综上所述，＋的最小值是.
题型一由数学概念、运算引起的分类讨论
例1 函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为()
A．1B．1，－C．－D．1，
审题破题由于f(x)为分段函数，故求f(a)时要分－1<a<0，a≥0两种情形讨论．
⊆A，则实数a的取值范围是()
A.B.C.∪D.
答案A解析∵⊆A，∴f(a)<f(0)，∴a(1＋a|a|)<0，解得－1<a<0，可排除C.
∵f<f，∴<－，
∴a<－a.∵－1<a<0，∴>－，
∴－2>－，∴2<，∴<a<0.排除B，D.应选A.
5．(2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．
当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．
当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；
当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．
(2)若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是()
A．{a|0<a<4}B．{a|0≤a<4}C．{a|0<a≤4}D．{a|0≤a≤4}
解若∠PF2F1＝90°，则2＝|PF2|2＋2，又∵＋＝6，＝2，
解得＝，＝，∴＝.若∠F1PF2＝90°，则2＝2＋2，
∴2＋(6－)2＝20，又|PF1|>|PF2|，∴＝4，＝2，∴＝2.综上知，＝或2.
反思归纳(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．
(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．
(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．
(2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二元不等式涉及到两根的大小等．
变式训练1(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是()
A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．以上都不对
答案D解析∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，
变式训练2已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值．
解①当4－3m＝0，即m＝时，函数y＝－2x＋，它在[0,1]上是减函数．所以ymax＝f(0)＝.
答案D解析由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，
由得0<a≤4，所以0≤a≤4.
题型二由图形或图象引起的分类讨论
例2 设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且＞.求的值．
审题破题直角三角形关键是确定直角顶点，由|PF1|>|PF2|知，只需分∠PF2F1和∠F1PF2分别为直角两种情况即可．
答案D解析当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.
当0<a<1时，y＝ax－为减函数，且在y轴上的截距为1－<0，故选D.
4．(2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A.若
2．(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ等于()
A．－B．－C.D.
答案B解析设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝.当t>0时，cosθ＝；当t<0时，cosθ＝－.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．
答案B解析f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，∴a＝1.
当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋(k∈Z)．
∴a2＝2k＋(k∈Z)，k只取0，此时a2＝.∵－1<a<0，∴a＝－.
反思归纳(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．
1．(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案C解析当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；
数学思想方法专题三分类与整合思想
1．在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．
2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．
3．中学数学中可能引起分类讨论的因素：
答案解析当a>0时，＋＝＋＝＋＝＋≥；
当a<0时，＋＝＋＝＋＝－＋≥－＋1＝.
综上所述，＋的最小值是.
题型一由数学概念、运算引起的分类讨论
例1 函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为()
A．1B．1，－C．－D．1，
审题破题由于f(x)为分段函数，故求f(a)时要分－1<a<0，a≥0两种情形讨论．
⊆A，则实数a的取值范围是()
A.B.C.∪D.
答案A解析∵⊆A，∴f(a)<f(0)，∴a(1＋a|a|)<0，解得－1<a<0，可排除C.
∵f<f，∴<－，
∴a<－a.∵－1<a<0，∴>－，
∴－2>－，∴2<，∴<a<0.排除B，D.应选A.
5．(2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．
当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．
当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；
当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．
(2)若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是()
A．{a|0<a<4}B．{a|0≤a<4}C．{a|0<a≤4}D．{a|0≤a≤4}
解若∠PF2F1＝90°，则2＝|PF2|2＋2，又∵＋＝6，＝2，
解得＝，＝，∴＝.若∠F1PF2＝90°，则2＝2＋2，
∴2＋(6－)2＝20，又|PF1|>|PF2|，∴＝4，＝2，∴＝2.综上知，＝或2.
反思归纳(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．
(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．
(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．
(2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二元不等式涉及到两根的大小等．
变式训练1(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是()
A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．以上都不对
答案D解析∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，
变式训练2已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值．
解①当4－3m＝0，即m＝时，函数y＝－2x＋，它在[0,1]上是减函数．所以ymax＝f(0)＝.
答案D解析由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，
由得0<a≤4，所以0≤a≤4.
题型二由图形或图象引起的分类讨论
例2 设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且＞.求的值．
审题破题直角三角形关键是确定直角顶点，由|PF1|>|PF2|知，只需分∠PF2F1和∠F1PF2分别为直角两种情况即可．