1994圣彼得堡数学奥林匹克初中

被 9 整除 ,并且各位数字都是 0 或 5 的数 ?
6. 3. 在某次数学竞赛中 ,每解出一道难
题得 3 分 ,每解出一道普通题得 2 分 ,此外 ,
对于每道未能解出的普通题要扣去 1 分. 某
人解出了 10 道题 ,一共得了 14 分. 试问 : 该
次数学竞赛中一共有多少道普通题 ?
6. 4. 甲 、乙 、丙三个人做游戏 ,每个人分
1
111
1
11
11
1
图3
每一个由 9 个 5 和 1 个 0 构成的十位数都满足要求.
因为 0 除了不能出现在首位之外 ,可以出现在其余
任何一个位置 ,所以 ,这样的十位数共有 9 个.
6. 3. 如果该次数学竞赛中全是难题 ,则某人应
当得到 3 ×10 = 30 分. 对于每道普通题 ,不论他解出
同时都被删去 ,这不合题意.
7. 1. 例如 ,可以摆为 14 ,178 ,27 ,57 ,590 ,2 345 ,
36 ,467.
7. 2. 29 cm.
分 别 以 x 、y 表 示 两 个
最小的正方形的边长. 将各
个正方形的边长都用 x 和 y
表示出来 (如图 4) . 解方程
AB = CD = 32 cm , 得 x =
7. 4. 今有 100 枚面值分别为 1 ,2 , …,100 匹亚斯特的硬币 ,其中有不多于 20 枚假币 , 假币重量的克数不等于其面值数. 如何利用 一台没有砝码的天平确定面值为 10 匹亚斯 特的硬币是否为假币 ?
7. 5. 平面上能否有某个点到某个正方形 的四个顶点的距离分别为 1 、4 、7 和 8 ?
别写出 100 个单词 ,然后 ,比较每人所写的单
词. 如果某个单词至少被两个人写出 ,那么 ,
就从这些人所写的单词中删去这个单词. 试
问 :能否在最后 ,甲只剩下 54 个单词 ,乙只剩
下 75 个单词 ,而丙只剩下 80 个单词 ?
7. 1. 试在圆周上摆放 14 ,27 ,36 ,57 ,178 ,
图2
AB + BC.
8. 3. 在黑板上按照递增顺序写出正整数
1 到 10 000 ,然后 ,擦去所有既不能被 4 又不
能被 11 整除的数. 试求现在排在第 1 994 个
位置上的数.
8. 4. 奥林匹克竞赛规则是 :在每一轮竞
赛中都把参赛者两两分组 ,组内两人比赛 ,败
者淘汰 ,胜者进入下一轮 ,直至最后决出一名
表 1
重量 (克)
330 420 550 640 710
价格 (卢布) 600 700 800 900 1 000
8. 7. 同 7. 7.
34
参考答案
第一轮
6. 1. 一种放法如图 3 所示.
6. 2. 这种十位数的各位数字 之和都能被 5 和 9 整除 ,且该和 数不超 过 50 , 所 以 , 该 和 数 等 于 45. 从而 ,这样的十位数的各位数 字必定为 9 个 5 和 1 个 0. 反之 ,
6. 3. 在 11 张卡片上各写有一个不超过 5 的数字. 将这些卡片排成一行 ,得到一个十一 位数 ;再将它们按另一种顺序排成一行 ,又得 到一个十一位数. 证明 :这两个十一位数的和 的十进制表达式中至少有一位数字是偶数.
6. 4. 在王子的宫殿里供职的有大公 、伯 爵和男爵. 开始时 ,供职人员共有 1 994 人 , 但是每一天都有一个人在决斗中杀死另一个 人 ,并且大公只杀死伯爵 ,伯爵只杀死男爵 , 男爵只杀死大公. 没有人在决斗中取胜过两 次 ,最后 ,只剩下男爵阿别尔生一个人还活 着. 试问 :第一个被杀死的人是什么身份 ?
倍. 而当芭芭雅卡把自己的花点数目最少的
一个花菇送给卡畲依以后 ,她的花菇上的花
点数目就仅仅是卡畲依的花菇上的花点数目
的 8 倍了. 证明 :芭芭雅卡一共采了不多于
23 个花菇.
7. 4. 在 10 ×10 方格表中摆放围棋子 ,每
个方格中至多放 1 枚棋子. 为了使各列中的
棋子数目各不相同 ,各行中的棋子数目也各
第二轮
6. 1. 作三次称量 ,以验证等式
1 + 2 = 3 ,2 + 3 = 5 ,2 + 3 + 5 = 10. 如果假币所标面值为 1 匹亚斯特 ,则只有第一 个等式被破坏. 如果假币所标面值为 2 匹亚斯特 ,则 所有三个等式都被破坏 ,并且天平都往同一边倾斜. 如果假币所标面值为 3 匹亚斯特 ,则所有三个等式 都被破坏 ,但是天平第一次的倾斜方向与后两次不 同. 如果假币所标面值为 5 匹亚斯特 ,则后两个等式 被破坏. 如果假币所标面值为 10 匹亚斯特 ,则只有 第三个等式被破坏. 所以 ,在任何情况下 ,都可以唯 一地确定出假币来. 6. 2. 假设棋盘是一个 2 n ×2 n 的方格表 ,并且在 右下方 n ×n的正方形中放有 k 枚棋子. 因为在下方 n ×2 n 的矩形中 ,有 n 枚棋子 ,则在左下方 n ×n 的 正方形中有n - k枚棋子. 又因为在右边的 2 n ×n 的 矩形中有 n 枚棋子 ,故在右上方的 n ×n 的正方形 中有 n - k 枚棋子. 所以 ,右上正方形与左下正方形 中的棋子数目相等. 6. 3. 如果在求和时发生进位现象 ,那么 ,这只有 在两个 11 位数的同一位数字都是 5 时才有可能发 生. 而在出现进位的最右面的位置上 ,和数的该位数 字一定为 0. 如果在求和时不发生进位现象 ,那么 , 只有在两个 11 位数的同一位数字的奇偶性不同时 , 其和的该位数字才为奇数. 因此 ,只有在卡片上奇数
冠军. 现有 512 名运动员参加奥林匹克竞赛 ,
他们的号码分别为 1 号到 512 号. 如果分在
同一组中的两个人的号码之差大于 30 ,就把
这个组称为“没劲的”. 试问 :能否在整个赛程
中不出现没劲的组 ?
第二轮
6. 1. 今有 5 枚面值分别为 1 ,2 ,3 ,5 和 10 匹亚斯特 (拉丁美洲旧时货币名称) 的硬币 , 其中有一枚假币 ,其重量的克数不等于其面 值数. 如何利用一台没有砝码的天平找出该
8. 1. 在 △ABC 中 , ∠A 的平分线 、边 AC 上的高和边 AB 上的中垂线相交于一点. 试 求 ∠A 的度数.
8. 2. 同 6. 4. 8. 3. 给定一个 15 位数 ,它的各位数字都 是 0 和 1 ,该数能被 81 整除 ,但不能被 10 整 除. 证明 :不能删去它的某一个数字 0 ,使所 得的 14 位数能被 81 整除. 8. 4. 今有 100 枚面值分别为 1 ,2 , …,100 匹亚斯特的硬币 ,其中恰有 16 枚假币 ,假币 重量的克数不等于其面值数. 如何利用一台 没有砝码的天平找出所有的假币 ? 8. 5. 试找出所有的正整数 n ,它的除了 n 之外的所有正约数的平方和等于 2 n + 2. 8. 6. 商店出售 5 种罐头 ,它们的重量和 价格各不相同 ( 见表 1) . 1 994 听罐头共重 1 吨. 证明 :它们的总价值少于 160 万卢布.
7. 1. 同 6. 4. 7. 2. 有三个两位数 ,其中任何两个数的 和都是将第三个数的两个数字交换位置后所 得的数. 试问 :这三个数的和会是怎样的数 ? 7. 3. 在 10 ×10 方格表的方格中填写 0 和 1. 现知任何四行中都有某两行数填得一
33
来自百度文库
模一样. 证明 :方格表中一定有两列数填得一 模一样.
32
再品佳题
中等数学
1994 圣彼得堡数学奥林匹克 (初中)
苏 淳 译
(中国科学技术大学统计与金融系 ,230026)
第一轮
6. 1. 试在 4 ×4 方格表中摆放 10 个 1 (每
个方格中至多放一个 1) ,使得在每一列中都
有偶数个 1 ,而每一行中都有奇数个 1.
6. 2. 在十进制的十位数中 ,有多少个能
4 cm , y = 5 cm. 此后 ,各个正
方形的边长便被唯一确定.
图4
7. 3. 设卡畲依所采的花
菇上的花点数目为 n ,芭芭雅卡送给他的花菇上的 花点数目为 k. 于是 ,芭芭雅卡原来有 13 n 个花点 , 后来剩下 13 n - k 个花点. 故有 13 n - k = 8 ( n + k) ,
即
n=
9 5
k.
这表明
,芭芭雅卡原来有
13
n
=
117 5
k
<
24 k 个花点. 由于每个花菇上的花点数目都不少于
k ,所以 ,芭芭雅卡一共采了不多于 23 个花菇.
7. 4. 45 或 55.
如果在某一行中放有 10 枚棋子 ,则每一列中至
少有 1 枚棋子. 于是 ,各列棋子的数目分别为 1 ,2 ,
不相同 ,一共可以在方格表中摆放多少枚棋
子 ? 试给出所有不同的可能答案 ,并证明此
外再无其他答案.
8. 1. 同 7. 3.
8. 2. 如图 2 ,在等
腰 △ABC 的 底 边 AC
上取一点 D ,在 AC 的
延长线上 (点 C 之外)
取一点 E ,使得 AD =
CE. 证明 : BD + B E >
7. 6. 某民族的语言中共有 k 个字母. 如 果两个单词的字母数目相同 ,并且仅有一个 字母不同 (例如 trics 与 trucs) ,则被认为是相 似的. 证明 :可以把所有单词分为 k 个组 ,使 得每个组内的任何两个单词都不相似.
7. 7. 用铅笔在一张正方形纸上画线段 , 将它分成了 n 个矩形. 证明 : 可以作不多于 n - 1次线段划分 ,就能在正方形纸上分出这 n 个矩形 ,矩形之间不能相互重叠 ,而线段也 不一定起于或终于边缘.
…,10. 从而 ,一共有 55 枚棋子. 如果任何一行都不
放有 10 枚棋子 ,则各行棋子的数目分别为 0 ,1 , …,
9. 从而 ,一共有 45 枚棋子. 易给出具体的例子.
中等数学
8. 1. 同 7. 3. 8. 2. 如图 5 ,在 BA 的延 长线上 (点 A 之外) 取一点 F , 使 得 AF = BC. 于 是 , △ADF ≌△CEB . 从而 ,
BD + B E = BD + DF
> B F = AB + A F
= AB + BC.
图5
8. 3. 6 268. 黑板上剩下的数都或能被 4 或能被 11 整除. 这 些数被 44 除的余数形成以 14 为周期的周期数列. 由于1 994 = 142 ×14 + 6 ,所以 ,第 1 994 个位置上的 数处于第 143 个周期之中. 8. 4. 不能. 如果在每一轮比赛中 ,都不出现没劲的组 ,那 么 ,比赛后剩下的运动员的最小号码至多上升 30 , 而最大号码至多下降 30. 于是 ,在经过八轮比赛之 后 ,最大号码与最小号码的差不小于 511 - 8 ×60 = 31 ,这意味着最后一轮比赛中的两个运动员构成没 劲的组.
6. 6. 101 个正整数在黑板上被写成了一 行 ,每一次允许将任意两个相邻的数各减去 1. 现知通过这样的操作 ,最终可以得到数组 (1 ,0 ,0 , …,0 ,0 ,0) (第一个数为 1 ,其余都是 0) 和数组 (0 ,0 ,0 , …,0 ,0 ,1) (第 101 个数为 1 ,其余都是 0) . 证明 :可以通过这样的操作 , 使得最终得到的数组中第 51 个数为 1 ,其余 都是 0.
与否 ,都损失 1 分 (意即都比全是难题的情况少得 1
分) . 由于 14 = 30 - 16 ,所以 ,共有 16 道普通题.
6. 4. 不可能.
如果可能的话 ,则甲被删去 46 个单词 ,乙被删
去 25 个单词 ,丙被删去 20 个单词. 而 25 + 20 < 46 ,
从而 ,甲被删去的单词不能在乙和丙所写的单词中
6. 5. 骨牌的形状有三种 :边长为 1 的等 边三角形 ,由两个边长为 1 的等边三角形拼 成的菱形和由三个边长为 1 的等边三角形拼 成的梯形. 一副骨牌中有 222 块菱形牌 ,333 块等边三角形牌和 444 块梯形牌. 证明 :不能 用所有这些骨牌拼成一个周长为 888 的多边 形. 在拼接时 ,骨牌与骨牌之间不能留有空 隙.
467 ,590 和 2 345 共 8 个数 ,使得每两个相邻
的数都有相同的数字.
7. 2. 如 图 1 , 矩 形
ABCD 被分成一些正方
形. 已知 AB = 32 cm. 试
求 AD 的长度.
7. 3. 芭芭雅卡和卡
畲依 各 采 了 一 些 花 菇. 芭芭雅卡的花菇上的花
图1
点数目是卡畲依的花菇上的花点数目的 13
2005 年第 11 期
枚假币 ? 6. 2. 在国际象棋棋盘上摆放棋子“车”
(国际象棋棋盘是一个 8 ×8 的方格表 ,棋子 放在方格中 ,每个方格中至多放 1 枚棋子) . 现知每行 、每列中都刚好有 1 枚棋子“车”. 如 果将棋盘分为 4 个 4 ×4 的正方形 ,证明 :右 上正方形与左下正方形中的棋子数目相等.