相似三角形专题

【一】知识梳理

【1】比例

①定义：四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例

②形式：a:b=c:d，

③性质：基本性质：

d

c

b

a

=ac=bd

4，比例中项：

b

c

c

a

=ab

c=

2

【2】黄金分割

定义：如图点C是AB上一点，若BC

AB

AC•

=

2，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个

AC

AC

BC

AB

AB

BC

AB

AB

AC

618

.0

2

1

5

382

.0

2

5

3

618

.0

2

1

5

≈

-

=

≈

-

=

≈

-

=

注意：如图△ABC，∠A=36°，AB=AC，这是一个黄金三角

形，

【3】平行线推比例

AB

AB

BC618

.0

2

1

5

≈

-

=

d

c

b

a

=

注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负

1、可以把比例式与等积式互化。

2、可以验证四个量是否成比例

上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右

全比上=全比上，全比下=全比下下比上=下比上

【4】相似三角形

1、相似三角形的判定

①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E

∴△ABC ∽△DEF

②‘S A S ’ E B EF BC DE AB ∠=∠=, ∴△ABC ∽△DEF

③‘S S S ’EF

BC DF AC DE AB = ∴△ABC ∽△DEF

④平行相似：

∵DE ∥BC

∴△ADE ∽△ABC

2、相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例

②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的

比都等于相似比

③相似三角形的面积比等于相似比的平方

3、相似三角形的常见图形

‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’

‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2=AD •AB

母子图中的射影定理

AC2=AD•AB BC2=BD•AB

CD2=AD•BD

【二】题型

1、求线段的比

【例题1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相较于点H，且

AH=2，HB=1，BC=5则

EF

DE

的值为

【例题2】如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于

（1）（2）

【例题3】如图，点D是△ABC的边AB上一点，且AB=3AD，点P是△ABC 的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB则PB:PD=

【例题4】如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，

如果AE

EC

＝2

3

，那么AB

AC

＝（）

A．1

3

B．2

3

C．2

5

D．3

5

（3）（4）

【例题5】已知

3

2

=

=

d

c

b

a

，则

b

a

b

a

4

3

3

2

-

+

=

求a比b的方法：①求a,b的长度，②设k法，③利用三角形相似的

性质，④平行推比例线段⑤比例分配

32=-a b a ，则b

a = 【例题6】如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折叠，

使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则

AF:FB= .

【例题7】如图所示,将矩形ABCD 折叠,使点B 落在边AD 上,点B 与点F 重合,

折痕为AE,此时,矩形EDCF 与矩形ABCD 相似,则AB

AD = . 【例题8】如图，Rt △ABC 接于⊙O ，∠,A=90°，AB=4，AC=3，D 为弧

AB 的中点，则DE

CE =

（6）

（7） （8）

【例题9】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 的中线，AN ⊥CD ，交

BC 于N,若CD=3，AN=4，则tan ∠CAN=

2、相似三角形的性质与判定

【例题1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与

△ABC 相似的是（ ）

【例题2】如图，已知△ABC ，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不

能确定△ACP 与△ABC 相似的是（ ）