第1章数学基础第1讲

第一章数学基础

赛北412-1

郎婷婷langtingting@

主要内容1.1 矢量代数和矢量函数1.2 场、梯度、散度和旋度1.3 矢量微分算子

*1.4 正交曲线坐标系

*1.5 δ函数

1.1 矢量代数和矢量函数

•标量：只用大小描述的物理量。•矢量：既有大小又有方向的物理量。•矢量的几何表示：一条有方向的线段。

•矢量的代数表示：•矢量的大小或模：•

矢量的单位矢量：•常矢量：大小和方向都保持不变的矢量•注意：单位矢量和常矢量的区分

A A A A A v

v v v 00==A

A v

=A

A

A v

v =

0矢量的几何表示

A v

分矢量•在直角坐标系中，将矢量分解：•方向余弦z

z y y x x A e A e A e A v v v v

++=A v

z

A x r A

A y

A z

x

y

α

β

γ

O

γ

β

α

cos cos cos A A A A A A z y x ===)cos cos cos (γβαz y x e e e A A v

v v v ++=γ

βαcos cos cos 0z y x e e e A v

v v v ++=)

cos ,cos ,(cos γβα222x

y

z

A A A A =++

矢量的加减运算

•在直角坐标系下，两矢量的加法和减法：•矢量的加减符合交换律和结合律：

•交换律：•结合律：A

B B A v

v v v +=+矢量的加法

B

A r r +A

r B

r 矢量的减法

B

A r r −A

r B r B

r −)

()()(z z z y y y x x x B A e B A e B A e B A ±+±+±=±v

v v v v )

()(C B A C B A C B A v

v v v v v v v v ++=++=++矢量具有平移不变性

矢量的乘法

•标量乘矢量•两矢量的标量积（点乘）•交换律：•分配律：A

B B A v

v v v ⋅=⋅z

z y y x x mA e mA e mA e A m v v v v ++=A

A A A A v

v v v 00==A

r B r θ

矢量与的夹角

A r

B r

z

z y y x x B A B A B A AB B A ++==⋅θcos v

v C

B C A C B A v

v v v v v v ⋅+⋅=⋅+)(

两种特殊情况下的点乘

•两矢量垂直：

•两矢量平行：

B

A v

v ⊥θ

cos AB B A =⋅v

v 0=⋅B A v v B

A v v //AB

B A =⋅v

v 0=⋅=⋅=⋅x z z y y x e e e e e e v v v v v v 1

=⋅=⋅=⋅z z y y x x e e e e e e v v v v v v

两矢量的矢量积（叉乘）

•直角坐标系下用行列式表示：

•两矢量垂直：•两矢量平行：•交换形式：•

分配律：θ

sin AB B A =×v

v )

()()(x y y x z z x x z y y z z y x z

y

x

z y x

z y x

B A B A e B A B A e B A B A e B B B A A A e e e B A −+−+−==×v

v v v v v v

v θ

sin AB θ

B

A r r ×B

r A r 矢量与的叉乘

A r

B r

B A v v ⊥B A v v //AB

B A =×v

v 0

=×B A v

v A

B B A v

v v v ×−=×C

B C A C B A v

v v v v v v ×+×=×+)(

三矢量相乘

•标量与矢量的乘积•标量三重积•矢量三重积

)

()()(B A C A C B C B A v w v v

v v v v v ×⋅=×⋅=×⋅)

()()(B A C C A B C B A v v v v

v v v v v ⋅−⋅=××)

(C B A v v v ⋅

标量函数与矢量函数

•标量函数：具有确定数值的标量，是空间坐标和时间的函数。

•矢量函数：

•函数的物理状态与时间无关：静态场•时间的函数：动态场或时变场。

•矢量和矢量场的不变性，与所选坐标系无关。•矢量函数对时间和空间坐标变量的微分仍是矢量。

);,,(t z y x f );,,();,,();,,();,,(t z y x F e t z y x F e t z y x F e t z y x F z z y y x x v

v v v ++=