金融数学引论北大版第三章

第三章习题答案

1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元，R

2 = 2000 元和R

3 = 4000 元。计算r 。

解: 令v = 1

1+r

，由P(r) = 0 有

C0 + C1v −R2v2 −R3v3 = 0

代入数据，解得：

v ≈0.8453

∴r = 18.30%

2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第

一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000 元，以后逐年递减4% ，计算R6 。

解: 由i = 6%, j = 4%

R6 = 30000(1 −j)5 −3000(1 + i)5

= 30000 ×0.965 −3000 ×1.065

= 20446.60元

3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一年底4000 元，第三年底5500 元。计算：P(0.09) 和P(0.10) 。

解: 净现值P(i) 为：

P(i) = −7000 + 4000(1 + i)−1

−1000(1 + i)−2 + 5500(1 + i)−3

P(0.09) = 75.05元

P(0.10) = −57.85元

4 计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的100 元加上两年后的108.1

5 元，可以在第一年底收回208 元。

解: 设收益率为i ，其满足：

−100 + 208v −108.15v2 = 0

解得

i = 2.03% 或6.03%

两种收益率的差为4.00%

5 每年初存款，第10 年底余额为1000 元，存款利率4% ，每年的利息收入以4% 的利率进行再投资。给出每年存款金额的表达式。

解: 以第10 年底为比较日，有以下的方程

10R + 4%R(Is)10p3% ￢= 1000

解得

R =

1000

10 + 4%(Is)10p3% ￢

6 现在10000 元贷款计划在20 年内分年度还清，每年还款1000 元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率5% 进行投资。计算贷款方的实际年收益率。

解: 设年收益率为i ，有

1000 a20p5% ￢v20 = 10000

解得

i ≈6.16%

7 某投资者购买了如下的五年期金融产品：

(1) 每年底得到1000 元；

(2) 每年的收入可以按年利率4% 投资且当年收回利息。

如果该投资者将每年的利息收入以年利率3% 再投资，实际年收益率为4%。

计算购买价格。

解: 设购买价格为P ，有

P(1 + i)5 = 1000 × 5 + 1000 i (Is)4p3% ￢

P ×1.045 = 5000 + 40(Is)4p3% ￢

P = 4448.42 元

8 某投资者连续五年每年期末向基金存款1000 元，年利率5% 。同时，利息收

入可以以年利率4% 投资。给出第十年底的累积余额表达式。

解: 对现金流进行拆分，第10 年底的余额为：

P = 1000 × 5 + 5% ×1000 (Is)10p4% ￢−5% ×1000 (Is)5p4% ￢

= 5000 + 50 ・s1￢1p −11

4%

−50 ・s6p ￢− 6

4%

= 5000 + 50 ×62.159 −50 ×15.824

= 7316.73 元

9 甲将2000 元投资10 年，年利率17% ，利息每年支付，利息的再投资利率为11% ，第10 年底的累积利息为5685.48 元；乙在20 年内，每年底投资150 元，年利率14% ，而且利息以11% 的年利率再投资。计算乙在20 年底的累积利

息收入。

解:

P A = 2000 ×17% ×s9p11% ￢

P B = 150 ×14% ×(Is)19p11% ￢

由P A = 5685.48

解得(1 + 11%)10 = 2.83942

带入P B 计算得P B = 8438.71元

另解:

P B = 150 ×14% ×(Is)19p11% ￢

直接计算得P B = 8438.71元

10 某人以100000 元购得一块土地，每年需交资产税1500 元。十年后以260000 元卖出，同时交纳8%的销售税。计算年收益率。

解：由净现值公式有

P(i) = −100000 −1500a10p i ￢+ 260000 ×(1 −8%) ×(1 + i)−10 = 0

解得：

i ≈8.075%

11 50000 元投资，可以在今后六年内每年得税后收入18000 元。计算：

1) 15% 的净现值；2)收益率。

解：由净现值公式有

P(i) = −50000 + 18000a6p15% ￢

(1) P(15%) = 18120.69元

(2) P(i) = 0

解得：

i ≈27.698%

12 某人拥有10000 元按月以i(12) = 6% 支付利息的债券，其在得到每月的利息后，立即以i(12) = 12% 存入银行，计算其账户在第12 次、24 次和36 次存款后的余额。并对以上三种情况计算其每年平均的i(12) 。

解：第n 次存款后的余额为

P(n) = 10000 + 10000 ×i(12)

12

×s(12)

n p ￢

每年的平均i(12) 满足

10000 ×(1 +

i(12)

12

)n = P(n)

把n = 12, 24, 36 代入得到

P(12) = 10634.16 , i(12) = 6.16%

P(24) = 11348.67 , i(24) = 6.34%

P(36) = 12153.84 , i(36) = 6.52%

13 某基金的年初金额为500000 元，年底余额为680000 元。投资收入为60000 元，投资成本为5000 元。用资本加权法计算年实际收益率。

解：由题意，A = 500000，B = 680000

所以，I = 60000 −5000 = 55000

i =

2I

A +

B −I

= 9.78%

14 某基金的年利率4%，年初余额1000 元，如果在第三个月底存入200 元，

第9个月底取款300 元。假定利率按单利计算，计算年底的余额。

解：

P = 1000 ×(1 + i) + 200 ×(1 +

3

4

i) −300 ×(1 +

1