流体力学第5章 平面势流理论

dy


z
dz


l
d
2.复速度积分
在平面流场中取一封闭曲线l，复速度对闭合回路l 的积分为
l
dW ( dz
z)dz

l
dW
(
z)

l
(d

id
)

l
d

il
d
物理意义是复速度沿封闭曲线l的积分，其实部等于沿该
曲线的速度环量 l，虚部等于由内向外通过该封闭曲线 的体积流量 Ql。
则流场的速度分布
u 2ax
v

2ay

工程流体力学
工程流体力学
由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼 （Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变 函数这门数学工具求解平面势流。
在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利 用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分 便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论 在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学 的重要部分。
复速度有可能写为
dW Uei dz
一旦得到复势，就可以得到流场的速度场
u

Re

dW ( dz
z)



v


Im

dW ( dz
z)

工程流体力学
5.2.2 复速度的积分
1.速度环量
在流场中，取一封闭的空间曲线 l，在l上取微分线段dl，如图5.3所
工程流体力学
5.1 平面势流的复势
5.1.1 复势的定义
在平面势流中，同时存在着速度势 和流函数，
流速场在直角坐标系中有关系式
u
x y
v －
y x
工程流体力学
这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组 成一个解析复变函数
W (z) i 式中 z x iy, i 1
W (z) i ln r
2π 2π
( i ln r) (ln r i )
2π
2πi
ln z
2πi
点涡置于复平面处，则其复势

W (z) 2πi ln(z z0 )
工程流体力学
4.偶极子
当等强度的源、汇（源至汇的方向为x方向）无限靠 近，并置于原点时，复势
2πa2
式中 a ——涡束的半径；
——内部流体质点旋转角速度大小；
——速度环量。
工程流体力学
（2）环流。由于圆旋的存在，则周围流体将引起一个
诱导速度场，也称为环流，该诱导速度场是平面势流。
若点涡的强度是 ，将它置于原点，点涡的旋转方向是
逆时针，则 0，若是顺时针，则 0。其复势
W (z) M 1 2π z z0
若偶极子中源到汇的方向与 x 轴成 角，则复势
M ei W(z)
2π z - z0
工程流体力学
5.2 复速度
5.2.1 复速度和共轭复速度
平面势流的流动复势已知时，便可以对复势求导，
若复势
W (z) i
对 z 进行微分，得
y
dW i i u iv
2π
2π
m ln rei m ln z
2π
2π
若源或汇置于复平面 z0 处，则其复势
W
(z)

m 2π
ln(z

z0
)
工程流体力学
3.环流
（1）点涡。点涡也称平面圆旋，是一团无限长的直圆 筒形流体，流体质点均绕本身的中心旋转，旋转的角速
度 ，大小是 ，方向是直圆筒轴线方向。涡束的半径 是 a ，且是一个小量，因此也称它为点涡。点涡的强度
dz x x y y
u+iv
v

O
x
复势导数的实部是 轴向的速度分量 ，
导数的虚部是y轴向的速度分量 的负值，
u-iv
如图5.2所示。
图5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 复速度
工程流体力学
dW u iv
dW
dz
通常称 dz 为复速度，称
复速度的模是速度的大小
dW dz
为共轭复速度。显然
dW u2 v2 U dz
解析复变函数称为流动的复势。平面势流必然对 应一个确定的复势W(z)，而一个复势也代表一种平面 势流。
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5.1.2 几种简单的平面势流复势
1.均匀直线流动（均流）
当流动速度为 U 0 ，方向同x轴方向一致时，复势
W (z) U0x iU0 y U0 (x iy) U0z
W (z) M cos i M sin
2π r 2π r
M 1 cos i sin M 1 (cos i sin )(cos i sin )
2π r
2π r
cos i sin
M 1 2π z
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若偶极子放置在 z z0 处，且偶极子中源到汇的方向 同 x 轴，则复势
工程流体力学
第5章 平面势流理论
在不可压缩理想流体中，当流动无旋时， 称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流 动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流
中不仅存在速度势 ，同时存在流函数。它们
均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二 阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的 一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初 始条件下具有实际背景的许多问题的解答。
y
若均流的u U0 cos，v U0 sin ，
U0
如图5.1所示，则复势
W (z) U0ei z

O
x
图5.1 不同方向的均流
工程流体力学
2.源和汇
当将源或汇置于极坐标的原点时，复势
W (z) m ln r i m
2π
2π
m (ln r i ) m (ln r ln ei )
工程流体力学
【例5.1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是 W az2 (a 0) ，在原点处压强为 p0，试求：（1）上半 平面的速度分布；（2）绘制上半平面的流线图；（3） 沿x轴的压强分布。
【解】 （1）复速度
dW 2az 2a(x iy) 2ax i2ay dz
示 ，该处流体速度为v ，则定义
lv dl 为沿曲线l的速度环量，以 l
表示（简称环量）。
l

v dl
l
x
lu dl vdy wdz
z
v dl
l
O
y
图5.3 速度环量
工程流体力学
流动是势流，那么存在速度势 (x, y, z,t)
Γl

l

x
dx


y