三角函数、弧度制

1.1 任意角和弧度制

知识点:1 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,

负角:按顺时针方向旋转的角叫负角

象限角:第一象限{a|k ·2π

2π+k ·2π，k ∈Z} 第二象限{a|2

π+k ·2π

3π+k ·2π

3600=2πrad ； 1800=πrad ；

知识点3 弧长公式及扇形面积公式

弧长公式：L=180

r n π （r 是扇形的半径，n 是圆心角的度数，L 是弧长） L=|a|r （r 是扇形的半径，a 为弧度数，L 是弧长）

扇形面积：S=360

r n 2

π S=21Lr 例1 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，求扇形的圆心角的弧度数

例2 在平面直角坐标系中，若a 与p 的中变垂直，则a 与p 的关系为 （ ）

A p=a+900

B p=a ±900

C p=k ·3600+ a+900，k ∈Z

D p= k ·3600+ a ±900 k ∈Z

例3 已知扇形OAB 的圆心角a 为600，半径为6

（1） 求AB 的弧长

（2） 求弓形OAB 的面积

例4、△ABC 三个顶点将其外接圆分成三段弧弧长之比为1∶2∶3，求△ABC 的外接圆半径R 与内切圆半径r 之比．

(直角三角形内切圆半径的处理方法:用面积相等的方法处理)

1.2 任意角的三角函数

知识点1：y=sina 取正负值时的角度范围，弄清该函数的定义

y=cosa 取正负值时的角度范围，弄清该函数的定义

y=tana 取正负值时的角度范围，弄清该函数的定义

例1 已知角a 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P （4，y ）是角a 终边上一点，且sina=-5

52，则y 的值为多少？

例2 判断下列函数的符号

（1）Sin3 ，cos4 ，tan5

（2）

）（）（sina cos cosa sin （a 为第二象限角）

知识点2：诱导公式

Sin （a+k ·2π）=sina

cos （a+k ·2π）=cosa

tan （a+k ·2π）=tana

例3 求值

（1） sin （-13200）cos11100+cos （-10200）sin7500+tan4950

（2） sin （-

611π）+cos 512π·tan4π

知识点3 三角函数的定义域

Sina 与cosa 中的a 可取任意实数，tana 中，a ≠k π+

2π 例4 求函数y=

tanx cosx sinx 的定义域

变式训练 (1) y=3-sinx 2

(2)y=lg(1-4cos 2x)

同角三角函数的基本关系

Sin 2a+cos 2a=1 a

cos a sin =tan a 例5 利用三角函数定义探究,是否存在角a 使等式sin a-cos a=2cos a+1成立?若存在,写出角a 的取值集合;若不存在,说明理由.

例6 化简0040cos 40sin 2-1

例7 化简a

sin -a cos -1a sin -a cos -16644

例8 化简下列各式 (1)a cos 1a cos -1++π，π）（，2

1a a cos -1a cos 1∈+ (2)

cosx -1sinx ·sin x tan x sin x -tan x + (3)化简a cos a sin 2-1+a cos a sin 21+(0

2π)

例9 求证

a cos a sin 1a sin -a cos 2a cos 1a sin -sina 1a cos ++=++）（

例10 已知a ∈（0，π），sin a + cos a=

2

1-3，求tan a 的值

变式训练 1 已知a 是三角形的内角，且sin a +cos a =

51 (1) 求tan a 的值

(2) 把a

sin -a cos 122用tan a 表示出来a

例11 已知1-a sin β=cos β，1+cos β=bsin β，求证ab=1

12 已知sin β，cos β是关于x 的方程8x 2

+6kx+2k+1=0的两个根，求实数k 的值

1.3 三角函数的诱导公式

Sin(π+β)=-sin β cos(π+β)=-cos β tan(π+β)=tan β

Sin(-β)=-sin β cos(-β)=cos β tan(-β)=-tan β

Sin(π-β)=sin β cos(π-β)=-cos β tan(π-β)=-tan β Sin(2π+β)=cos β cos(2

π+β)=-sin β 考点1 利用诱导公式求值

例1 sin150sin1650-cos150cos(-1650)

例2 已知sin β=116,求cos(2

11π+β)+sin(3π-β)的值

例3 设cos(-800)=k,求tan1000的值

考点2 利用诱导公式求内角

例4 在△ABC 中,已知sin(2π-A)=-2sin(π-B),3cosA=-2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

考点3 利用诱导公式证明等式成立

例5 已知sin(a+β)=1,求证tan(2a+β)+tan β=0

例6 cos

1k 21+π+cos 1k 22+π+…+cos 1k 21-k 2+π+cos π1k 2k 2+的值为多少?