3.2.3 直线的一般式方程(优秀经典公开课教案及练习答案详解)

3．2．3 直线的一般式方程

学科： 数学 年级： 高一 班级

【学习目标】

1.清楚二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．

2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．

【学习重难点】

重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．

难点：直线的一般式方程的理解和应用。

【预习指导】

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何直线方程都能表示为一般式．( )

(2)任何一条直线的一般式方程都能互为其他四种形式．( )

2.根据下列条件求解直线的一般式方程．

(1)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；

(2)在x ，y 轴上的截距分别为2，－4.

【合作探究】

我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b

当α=90°时，它的方程可以写成x=x 0的形式．

由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程．

反过来，对于x 、y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0其中A 、B 不同时为零．

(1)当B ≠0时，方程(1)可化为B

C x B A

y --=即为直线的斜截式方程

(2)当B=0时，由于A 、B 不同时为零，必有A ≠0，方程(1)可化为A C x -=它表示一条与y 轴平行的直线． 这样，我们又有：关于x 和y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为：Ax+By+C=0

这个方程(其中A 、B 不全为零)叫做直线方程的一般式．

引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？

直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．

注：如果求解直线的方程没有特别说明要写成一般式。

例1 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和在x 轴与y 轴上的截距，并画图．

解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：

x=-6

根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．

例2 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上． 证法一 直线AB 的方程是：

化简得 y=x+2．

将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．

∴A、B、C三点共线．

所以A、B、C三点共线．

∵|AB|+|BC|=|AC|，

∴A、C、C三点共线．

讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．

例3 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，

此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．

代入x+2y-10=0有：

解之得λ=-3．

【巩固练习】教材P99练习1、2、3题

【当堂检测】

1.已知点A(1，2)，B(3，1)，则过AB中点垂直于直线l：x＋y＋1＝0的方

程是________．

2.已知正方形边长为4，其中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形各边所在的直线的方程为________．

【拓展延伸】

如图3-2-3，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定限制重量，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示．试求：

图3-2-3

(1)直线AB的方程；

(2)旅客最多可免费携带多少行李？

【课堂小结】

（1）直线与二元一次方程的关系。

（2）直线的一般式方程的形式特征。

（3）本节课学习了哪些数学思想方法

【课外作业】习题3.2第10、11题

【教学反思】