聊城大学通信原理课件第二章.ppt

n
n1
C0
an2 bn2 cos2nt / T0
(2.2 8)
n1
式中 tan 1 bn / an
Cn
1 2
an2 bn2
式(2.2－8)表明：
1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。
2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 an2 bn2
/2
V T
e e j 2nf0 / 2
j 2nf0 / 2
j 2nf 0
V
nf0T
sin nf0
V
T
sin c n
T
C
s(t)
C e j 2nf0t n
n
V
T n
sin c n
T
e j 2nf0t
n
第2章 确知信号
【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。
s(t)
V , 0,
0t tT
s(t)
s(t) s(t T ),
t
V
由式(2.2-1) ：
-T
0 T
t
Cn
1 T
Ve j 2nf0t dt
0
1 T
V
j 2nf 0
e
j 2nf0t
0
V 1 e j 2nf0
V
1 e j 2n / T
T j2nf0
j 2n
因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于
称为单边谱。
4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。
第2章 确知信号
若s(t)是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为
Cn
1 T0
T0 / 2 s(t)e j2nf0t dt 1
T0 / 2
T
T0 / T0
2 /2
s
(t
)[cos
s(t)
2
n
4n
1
2
1
e
j
2nt
由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。
第2章 确知信号
2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义：
能量信号s(t) 的傅里叶变换：S( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号：s(t)
S(
f
)e
j 2ft
df
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱；
S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密
度简称为频谱。
实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇
对称，即复数共轭，因
s(t)e j2ft dt
s(t )e
j
2ft
dt
,
S( f ) S( f )
第2章 确知信号
【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V , s(t) 0,
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
s(t)
s(t) s(t T ),
t
V
由式(2.2-1)：
-T
0
t
T
/2
Cn
1 T
/
2
V
e
j
2nf0t
dt
/ 2
1 T
V
j 2nf 0
e j 2nf0t
Cn的模偶对称
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
(a) 振幅谱 n
Cn的相位奇对称
-5 -4
-2 -1
3
-3
012
45
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号
将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到
s(t)
C e j 2nt /T0 n
C0
an cos2nt / T0 bn sin2nt / T0
第2章 确知信号
周期性功率信号频谱的性质
对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
1
Cn T0
T0 / 2 T0 / 2
s(t)e
dt j 2nf0t
1
T0
T0 / 2 T0 / 2
s(t
)e
j
2nf0t
dt
Cn*
(2.2 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
|Cn|
【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。
设
ga
(t )
1 0
t / 2 － 单位门函数
t /2
它的傅里叶变换为
Ga ( f )
/ 2 e j2ft dt
/ 2
1
j2f
(e jf e jf ) sin(f ) sin c(f ) f
ga(t) 1
Ga(f)
0
t
-1/
1/
-2/
平均功率P为有限正值：P lim 1 T / 2 s2 (t)dt
T T
T / 2
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于
第2章 确知信号
2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱
周期性功率信号频谱（函数）的定义
Cn
C(nf0 )
1 T0
T0 / 2 s(t )e j 2nf0t dt
通信原理
第2章 确知信号
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
功率信号：
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
第2章 确知信号
【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。
s(t) sin(t) 0 t 1
s(t)
1
s(t) f (t 1) t
由式(2.2-1)：
t
Cn
1 T
T / 2 s(t)e j 2nf0t dt
T / 2
1sin(t)e j2nt dt
2
0
(4n2 1)
(2nf
0
t
)
j sin(2nf0t)]dt
1
T
T0 / T0
2 /2
s
(t
)
cos
(2nf
0
t
)
dt
j1 T
T0 / T0
2 /2
s
(t
)
s
in(2nf
0
t
)dt
Re(Cn )
j Im( Cn )
而
T0 / 2 T0 / 2
s(t ) sin(2nf 0t )dt
0
所以Cn为实函数。
第2章 确知信号
T0 / 2
(2.2 1)
式中，f0 ＝ 1/T0，n为整数，- < n < +。
s(t)
C e j 2nt / T0 n
n
(2.2 2)
C0
1 T0
T0 / 2 s(t )dt
T0 / 2
(2.2 3)
Cn Cn e jn －双边谱，复振幅
(2.2 － 4)
|Cn| －振幅， n－相位
0
2/
f
(a) ga(t)
(b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这
里它等于(1/) Hz。
第2章 确知信号
【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。
函数的定义：
来自百度文库
(t)dt 1
(t) 0
t 0
函数的频谱密度：
( f )