动态法测量杨氏模量

实验四动态法测定材料杨氏模量

杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。

杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。

一、实验目的

1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。

3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。

4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。

二、实验原理

长度L 远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动

42

力学方程（横振动方程）为：y4s2y0（1）

x4 YJ t2

式中为棒的密度，S为棒的截面积，J 称为惯量矩（取决于截面的形状），Y 为杨氏模量。

解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）：

用分离变量法：令y（x,t） X（x）T（t）

等式两边分别是 x 和 t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能， 设该常数为 K 4 ，于是

得：

24

d 2T 2 K 4YJ T 0

dt

2

s

这两个线形常微分方程的通解分别为：

X(x) B 1chKx B 2 shKx B 3 cos Kx B 4 sinKx T(t) Acos( t ) 于是解振动方

程式得通解为：

y(x,t) ( B 1chKx B 2shKx B 3 cosKx B 4 sin Kx) A cos( t

1

K 4YJ 2

s

该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件

定出常数 K ，并将其代入特定截面的转动惯量

J ，就可以得到具体条件下的计算公式

了。

将通解代入边界条件， 得到

cosKLchKL

1 ，用数值解法求得本征值 K 和棒长 L 应满

足：

KL 0, 4.7300, 7.8532, 10.9956, 14.137, 17.279, 20.420

由于其中第一个根“ 0 ”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根， 记作 K 1 L 。一般将 K 1 L 4.7300 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率） 。在上 述

如果悬线悬挂 （支撑点 ）在试样的节点附近， 则其边界条件为自由端横向作用

力：

YJ

弯矩 ： d 3X

dx 3

3

x 3

3y 0

x

2

YJ 2y

x

d 3X

dx 3

d 2X

dx 2

d 2X

dx 2

代入方程（ 1）得：

1 d 4 X X dx 4

s1 d 2T YJ T dt 2

d 4X dx 4

K 4X 0

其中式（ 2）称为频率公式：

(2

K n L 值中， 1， 3，5⋯个数值对应着“对称形振动” , 第 2、4、6⋯个数值对应着“反

对称形振动”。图 1 给出了当 n 1, 2, 3, 4 时的振动波形。由 n 1图可以看出，试样在 作基频振动时， 存在两个节点， 它们的位置距离端面分别为 0.224L 和 0.776L 处。理论上 悬挂点 （ 支撑点 ）应取在节点处，但由于悬挂 （支撑点 ） 在节点处试样棒难于被激振和拾振， 为此，可以在节点两旁选不同点对称悬挂 （ 支撑） ，用外推法找出节点处的共振频率。将第 一本征值 K

4.7L

300

代入（ 2）式，得到自由振动的固有频率（即基频） 解出杨氏模量：

1 4

2

4.7300 4 YJ 2 l 4s

3 L 4

s 2

Y 1.9978 10 3 2 J

2 L

3

m 2

7.8870 10 2 f 2 J

对于圆棒：

2

d 2

J

y 2ds s （ ）2

式中 d 为圆棒的直径。

4

得到杨氏模量的表达式为：

L 3

m

Y 1.6067 L m 4 f 2

（ 3）

d

上式即为（ 1）式的解。式中 L 为棒长， d 为棒的直径， m 为棒的质量。如果在实验中测 定出试样（棒）在不同温度时的固有频率 f ，即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨 氏模量 Y 。在国际单位制中杨氏模量的单位为（ Nm 2 ）。

本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可 采用如图 2 所示装置。

由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器 I （激振）上。通过传感器 I 把电信 号转变成机械振动，再由悬线 （支撑刀 ）把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试 样另一端的悬线 （支撑刀 ）把试样的振动传给传感器 II （拾振），这时机械振动又转变成电信 号。该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时， 试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样 的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样

在该温度下的共振频率。根据（

图 3 动态杨氏模量测 试 台

三、实验仪器

1． FB2729A 型动态杨氏模量实验仪 1 套； 2．通用双踪示波器 1 台； 3．天平、游标卡

尺、螺旋测微计等 。 四、实验内容

先按图4 把实验仪器连接好，通电预热10分钟，再按下述步骤进行实验。

3）式，即可计算出该温度下的杨氏模

量。