第3章 能控性和能观性

x2
x1 x2
t t1 0
图1
控制的可能性
t 0
x1
图 2 只能在直线
x1 x2 上控制
1Ω
1Ω
u
x1
C1 1F


x2
C2 1F


2Ω
y

非常简单的系统的 可控性和可观性： 根据这种直观分析 来判别
复杂的系统的可 控性和可观性： 如何判别？
3.1 可控性与可观性的严格定义
说明：
1. 定义中没有对状态转移的轨迹和具体的时间 长度加以限制和规定，因此它仅是系统运动的一 定性特性； 2. 定义中的容许控制是指满足使系统解唯一存 在的所有控制的集合，对线性定常系统来说，是 要求其每个分量平方可积。 3. 对于时变系统，可控性与初始时间 t0 有关， 而对于线性定常系统，则可控性与初始时间 t0 无 关 4. 对于连续线性定常系统，可控性和可达性等 价，而对于时变及离散系统两者不等价。
1.2 可观性
Βιβλιοθήκη Baidu［例］电路 ((信息)观测的可能性)
如果 u 0，不管电容储存了多少电荷, 由于 y 0 无法知道状态（信息） 图 假定输入恒为0
u
R
R C R
y
R
(信息)观测的可能性
y ce At x0 （未知量
有输入时
At t
(u 0) x0 ）
y y ce
0
y ce x0 ce A(t )bu( )d
一个非零向量
T T
使下式成立。
AB A B 0
n1
W B
即
T Al B 0 l 0,1, , n 1
再由凯莱-哈密尔顿定理
A 1 A
n
n1

n1 A n I 0
可知 An , An1 ,
组合。
均可表示为 I , A,
A
n 1
T 0
t1
T AT t
x 0 dt
B e
T AT t
x 0 0, t 0,t1
x0
2
0 x0 0
这表明 x 0 0
的假设与可控矛盾 W (0, t ) 奇 1 异的假设不成立 W (0, t1 )非奇异。 （b） （a）
采用反证法。假设 W (0, t1 ) 奇异，则同上存在某 个非零n维向量 有
rank sI A B n
成立。由于如果s不是A的特征值的话，sI-A非奇异， 所以仅需对于 s (进行检验即可。 A)
证明： (a)的证明 充分性: W (0, t1 ) 非奇异 由于: W (0, t1 ) 存在。 系统可控。
非奇异，所以其逆 W 1 (0, t1 )
T B AB
T An1B W 0
由于 0 ，所以 rank W n ，系统不可控，与 已知条件矛盾。 充分性： rank sI A
B n
系统可控。
采用与上述相反的思路即可得证。 *不可控的特征值 i ， rank i I A
B n
W T B T ATT B
1 1 1
T A TT B T W
1 n1 1 1
由于T非奇异，所以 rank W rank W 说明：3. 可控性与状态空间的坐标的取法无关。
©的证明（必要性）系统可控 rank sI A B n 采用反证法。反设系统可控但对于某个i ( A) 有

, T An1B 0
B AB
T

系统不可控。
n1 T A B W 0 rank W n
充分性：证明过程与上相反。
所以输入维数增加 那么特征值 i 不可控。 约当标准形判据 线性定常系统可控的充分必要条件是 系统可控的可能性增加。
T i T i
函数gram和ctrbf。
下面先看一个例题。
例3.1 假定一系统的A、B阵如下：
2 1 A 1 2
1 B 1
判断该系统的可控性。 解：可控矩阵
W B
因此，该系统不可控。
1 1 AB rank W 1 n 2 1 1
rank sI A B n

i I A B行线性相关。因此，存在n维向量 0 T T T T i I A B 0 A , B0 i
B 0, AB B 0, i
T T T

, A B0
T n1
注：证明要用到结构的可控性分解的结果
PBH特征向量判据
线性定常系统完全可控的充分必要条件是不存在A 的非零左特征向量 T与B的所有列正交，即
T T T A , B0 i
证明：采用反证法。反设存在向量 0
A , B0 i
T T T T T B 0, T AB B 0, i
定理1 下述条件之一是系统可控的充分必要条件。
(a) [格拉姆矩阵判据] 存在 t1 0使得 W (0, t1 ) 非奇 异。 (b) [秩判据] 可控矩阵 W B AB A2 B 满秩。 其中，W的值域叫做可控子空间。 (c)[PBH判据] 对于任意的 s ，
A B
n1
x0 ImW (0, t1 ), t1
其中 ， W (0, t ) 1

t1
0
e
A
BB e
T AT
d 格拉姆矩阵
证明（充分性） n 由上式，存在 使得 W (0, t1 ) x0 那么，如果定义控制律
u ( ) B e
则有
At1
T AT
, 0 t
第三章 线性系统的可控性和可观性
概述
可控性和可观性是现代控制理论中表征系统结 构特性的两个重要概念，是卡尔曼 （R.E.Kalman）在二十世纪60年代初提出来的。 这两个概念，对系统的控制和状态估计问题的 研究有着重要的意义。 粗略地讲，可控性分析系统状态能否被输入控 制，而可观性分析系统初始状态能否从对系统 输出的观测来得到。
x W (0, t1 ) x 0
T 0
2 t1 T T A t 0 0 B e x 0 dt W (0,t1 ) e BBT e A t dt 0
t1 At
T
其中，. 表示范数，其必为正值。所以有
B e
T AT t
x 0 0, t 0,t1
那么对于任意的非零初始状态 x0 可构造控制律
u(t ) B e
T AT t
W (0, t1 ) x0 , 0 t t1
1
在该控制作用下系统在t时刻的状态为
x(t1 ) e x0 e
At1 0
t1
A t1 t t1
Bu (t )dt BB e
1 T AT t
T B 0 T AB 0 T An1B 0
上式说明W的n个行向量线性相关，即 rank W n 与 rank W n的已知条件矛盾。因此， W (0, t )非奇
1

B AB
T
T A B W 0 n1
异。
（a） （b）
采用反证法。假设 rank W n ，因此存在
B B e
x(t1 ) e x0 e
0 At1
t1
A t1
t1 A T AT e x0 e BB e d 0 0 它表示控制律 u ( )能在 t1 时刻将点 x0 转移到原点。


T AT
d


（必要性略）
系统
x Ax Bu y Cx Du
可控性反映了通过u控制系统状态的能力. 定义 对于状态空间中给定的一非零点(系统的一状 态)x0，如果存在有限时间T和无约束容许控制作 用u使得系统由初始状态x0转移到状态x(T)= 0 ， 则称状态x0是可控的。进一步，如果状态空间中
的每一非零点都可控，则称系统可控或完全可控。
0 x(t1 ) e x 0 e
At1
t1
A t1 t
x0 e
0
t1

0
Bu (t )dt
At
Bu (t )dt
2 At x x 0 e Bu (t )dt x 0 0 T 0 t1 T
另一方面， x 0
u (t ) B e
3.2 线性定常系统的可控性判据
由定义，可控性仅与状态方程式有关，与输出方 程式无关。 由 x(T ) 0 有
x0 e
t0
T
A
Bu ( )d
由此有 x0 可控的充分必要条件是存在满足上式的
容许控制：
u ( )
t0 T
说明：根据上述条件进行可控性判定难于操作。 引理1 点 x n 可控的充分必要条件是 0
t 0, t 1
0
W (0, t1 ) 奇异，
与已知条件矛盾
rank W n
说明：1.
在应用格拉姆矩阵判据时计算矩阵指数
函数以及积分的计算量非常大，所以这一判据主要 用在理论分析中。 2. 矩阵W可以利用Matlab函数ctrb(A,B)来计算， 不过其计算在数值上容易导致病态，所以建议使用
W (0, t1 ) 0 0 BT e A t dt
T
W (0,t1 ) e
0
t1 At
BB e
T AT t
dt
t1
T
2
0

T e At B 0,
t 0,t1
对上式重复进行微分并令 t 0
的操作n-1次则有
注：1.若不可控，存在A的左特征向量与B的所有列正交， 2. 若A的特征值 i 对应的左特征向量 0 有 B 0
e x0 e
At1 At1
At1 At1

0
e
At
W 1 (0, t1 ) x0 dt
e x0 e W (0, t1 )W (0, t1 ) x0 e At1 x0 e At1 x0 0 x0 n
由定义可知系统完全可控。 必要性：可控 W (0, t1 ) 非奇异 采用反证法。假设 W (0, t1 ) 奇异，即存在某个非 零 x 0 n ，有
1 1 T 1 1
另一方面，如果用
进行坐标变换可得
1 0 1 1 A T AT ,B T B 0 3 0
1
因此，由 x T ，状态方程式就变成了
1 1 u, 2 3 2
显然，1 可以由u进行控制，而 2 不受u的控制。
t 0 A( t )
bu ( )d 可将它看做输出
已知
可观性的直观意义和定义
所谓系统可观是指通过观测系统的外部变量即输 入输出变量就能正确地知道系统的内部状态。 定义 如果基于有限长的输入输出数据:
u(t ), y(t ),
0 t T
能唯一地确定系统的初始状态 x0 ，则称点 x0 可观 测。进一步，如果状态空间中任意的初始状态 x0 都可观测，则称系统可观测。
的线性
T Al B 0 l 0,1,
At At e B I At B 0, 2! 3! T t1 T At T A t T 0 e BB e dt W (0, t1 )
2 2 3 3
T At T
x(t0 ) x0 , finite T and u(t ), x(t0 ) x0 x(T ) 0
x 0
n
x1
t0
T
t0
右：可达性
T
t
图1 左：可控性
可达性 对于状态空间中给定的一非零点(系统的一状态)x1， 如果存在有限时间T和无约束容许控制作用u使得 系统可由初始状态x0=0转移到状态x(T)=x1，则称 状态x1是可达的。进一步，如果状态空间中的每 一非零点都可达，则称系统可达。
3.0 可控性与可观性的直观意义 1可控性
系统分析 系统控制
[例] 两水箱 (控制的可能性)
状态：水位
x2 x和 1
u
x1
u
x2
输入: 由一个阀门供给的 水量
图1
控制的可能性
[例] 两水箱
例如, t=0 时 x1
u
x1
x2
u
x2
无论如何操作输入, 只能沿着状态 空间中 x1 x2 的直线移动状态