武汉理工大学高数B期末试卷B卷及答案

武汉理工大学高数B期末试卷B卷及答案

Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

武汉理工大学

2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷（B 卷）

考生姓名： 班级： 学号：

一、选择题（本题共6小题, 每小题424分） 分，满分1、二元函

数)

,(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数都存在，是),(y x f 在该点可微的（ ）． （A ）充分而非必要条件 （B ）既非充分又非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）必要而非充分条件 2、设),(y x f 是连续函数，则0

(,)(0)a

x

I dx f x y dy a =>⎰⎰=（ ）．

（A ）00

(,)a y dy f x y dx ⎰⎰ （B ）0

(,)a a

y

dy f x y dx ⎰⎰

（C ）0

(,)a y a

dy f x y dx ⎰⎰ （D ）0

(,)a a

dy f x y dx ⎰⎰

3、下列级数条件收敛的是（ ）．

（A ）n n n

1

)

1(1∑∞

=- （B ）211)1(n n n

∑∞

=- （C ）1)1(1+-∑∞=n n n n

（D ）)1(1)1(1

+-∑∞

=n n n n

4、若级数∑∞

=1

n n u 收敛，则下列级数中（ ）收敛。

（A ）)001.0(1

+∑∞=n n u （B ）∑∞=1n n u （C ） ∑∞

=+1

1000n n u （D ）∑

∞

=11000

n n

u

5、以12cos ,sin y x y x ==为特解的二阶线性齐次微分方程是（ ） （A ）''0y y -= （B ）'''0y y += （C ）''0y y += （D ）'''0y y -=

6、设{}222:),(a y x y x D ≤+=，则当=a （ ）时，⎰⎰=--D

dxdy y x a π2222

（A ）1 （B ）2 （C ）33 （D ）3

2

3

二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1、设sin xy z e =，则dz = 。

2、设{}(,):01,1D x y x x y =≤≤≤≤，则=⎰⎰-D

y dxdy e 2

。

3、曲线族x e x c c y 221)(+=中满足条件001

0,'2

x x y

y ====

的曲线是 ． 4、微分方程x e y y y x cos 422=+'-''的特解形式设为y *= 。

5、已知级数22116n n π∞

==∑，则级数2

11

(21)

n n ∞

=-∑的和等于 。 三 计算题（本题共5小题, 每小题7分，满分35分）

1、设 23

3

2

3,,z z

z x y xy x x y

∂∂=+-∂∂∂求。

2、判别级数21(0)1n

n

n a a a

∞

=>+∑的敛散性。 3．求微分方程x y y y 234'5''-=++的通解。 4、求幂级数11n n nx ∞

-=∑的收敛域及和函数。

5、计算积分)6

6(),06(),00(cos π

ππ，，，为以点，其中B A O D dxdy x x D

⎰⎰

为顶点的三角形区域。 四、应用题（本题共2小题, 每小题8分，满分16分）

1、1、用钢板做一个容积为a 的长方体箱子，问长、宽、高为多少时，用料最少。

2、利用二重积分的几何意义计算球面9222=++z y x 与旋转锥面2228z y x =+之间包含z 轴的部分的体积。

五、证明题（本题满分5分）设常数0β>，级数2

1n n a ∞

=∑

收敛，证明：级数n ∞

=

一．DBACCD 二．1、sin cos ()xy

e

xy ydx xdy + 2、1

1(1)2e -- 3、212

x xe 4、)cos sin (x b x a xe y x += 5、28π

三．1. .6,332

22y y

x z y x x z -=∂∂∂-=∂∂ 2. 解：当1a =时，原级数为11

2

n ∞

=∑发散--------------------------1分

当01a <<时，

21n

n n

a a a

≤+------------------------------2分 而1

n

n a ∞

=∑为公比小于1的等比级数，故收敛由正项级数的比较判别法，211n

n

n a a ∞

=+∑收敛--------4分

当1a >时，

2211n n n n n a a a a a ≤=+ 又1a >时，级数1

1

n

n a ∞

=∑收敛 由正项级数的比较判别法，21

1n

n

n a a ∞

=+∑收敛------------------------------------5分 当1a =时，级数211n n n a a ∞

=+∑发散，当01a a >≠且时，级数21

1n

n

n a a ∞

=+∑收敛---------7分 3．对应的齐次方程的特征方程为0452=++r r ，……--------------2分

特征根为4,1-=-=r r -----------------------（3分）

对应的齐次方程的通解为x x e c e c y 421--+=………(4分)，

特解为x y 2

1

811-=

*………(5分)， 原方程的通解为 =y

x e c e c x x 2

1

811421-++--………(7分)

4. 解：11

lim

lim 1n n n n

a n a n ρ+→∞

→∞+===，1R ∴=收敛半径-------------------------------2分 当1x =±时级数1

1

n n n ∞

-=±∑（1）发散，所以收敛域为（-1,1）。---------------------3分

设11

(),(1,1)n n s x nx x ∞

-==∈-∑ -------（*）

两边从0到x 积分得：11

00111()1x

x

x n n n n n n x s t dt nt dt nt dt x x ∞∞∞--===⎛⎫====

⎪-⎝⎭

∑∑∑⎰

⎰⎰------------6分