资讯科技与数学创意教学

DM_Lab与数学创意教学

-- 轨迹的探索--

徐宝思

澳门培道中学数学组

前言

国家颁布的“数学课程标准”中提出“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强而有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。” 本文尝试以一教学案例“轨迹的探索”来说明如何使用信息技术引导学生“投入到探索性的数学活动”、如何改变学生的学习方式。

“轨迹”是中学数学中最感难教难学的内容，因为“轨迹”实质是动点留痕，黑板上的点不能动，也不会留痕，使用DM_Lab软件作为教学平台，便可以让学生亲自动手体现轨迹的生成，让学生经历知识的形成过程和思维方式的多样化，而在这个软件平台上为学生提供探索、创新的环境。使学生对数学理解的同时，获得体验探索知识、解决问题的感受，让学生在丰富多彩的数学实践活动中，寻求解决问题的不同策略及良好态度的形成。

一.教学案例: 轨迹的探索

在初中已学习过轨迹的概念，学会一些条件较直接的轨迹问题，这个案例则是在学生对这些概念具有一定感性知识的基础上，上课时由老师的引导，分析轨迹的条件入手，让学生填充并动手在DM_Lab上操作，作出满足条件的轨迹图形，从而让学生理解轨迹的几何结构。

(文中有_____的地方是教学过程中设计为学生填充部份)

1. 到两定点距离相等的轨迹图形结构.

已知平面上两个固定点A和B，则通过A和B的所有圆的圆心的轨迹是甚么?

提问:

到两定点A、B距离相等的点在__线段AB的垂直平分线_____上；

作图步骤: (由学生讨论后填写及在DM_LAB上操作作图)

1. 用工具过A、B两点作圆M，则MA = MB；

2. 用工具点选轨迹点M；

3. 移动点M得点M的轨迹。

得到轨迹如右图

观察与发现：动点的轨迹与__线段AB的中垂线___重合.

此部份实验为复习初中轨迹的概念，基本作轨迹的方法， 教师巡视并选出同学在教师计算机台上作示范，给其它同学参考.

师生共同总结：

过A 、B 两点的圆的圆心的轨迹是____线段AB 的中垂线_____ .

2. 到两定点距离不等的轨迹图形结构.

已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0) 距离的比为1：2的点的轨迹，画出曲线，并写出此曲线的方程 .

师生共同分析:

1. 动点与定点O(0，0)的距离为1个单位长度的点的轨迹是以O 为圆心，1个单位为半径的圆_;

2. 动点与定点A(3，0)的距离为2个单位长度的点的轨迹是以A 为圆心，2个单位为半径的圆_;

3. 而动点必须同时到这两定点O 、A 的距离分别为1、2个单位长度， 则这动点是__圆A 与圆O 的交点__;

4. 怎样可以得到两线段长度的比为1:2 ? 作一线段PQ 的中点N ，则 |PN|: |PQ|=1:2 。

学生回答后，教师作出归纳: 作出符合条件的轨迹，就是分别以两已知点为圆心，线段长度

为1:2为半径作两圆，两圆的交点为满足条件的点。

作图步骤: (由学生自行填写及在DM_Lab 上操作)

1. 用坐标功能作直角坐标系；

2. 用工具作点O(0，0)及A(3，0)；

3. 用工具作线段PQ ；

4. 用工具作线段PQ 的中点N ；

5. 用工具联机段PN ；

6. 用工具以O 为圆心，线段PN 的长为半径作圆O ； 用工具以A 为圆心，线段PQ 的长为半径作圆A ；

7. 用工具作圆O 及圆A 的交点M 、M’；

8. 用工具点选轨迹点M 、M’ ， 拖动点Q 改变线段

PQ 的长度，图形出现动点M 、M’留下的痕迹. . 得到轨迹如右图

观察与发现：动点轨迹所组成的图形是 ___圆_____ .

分析与思考：观察图形写出动点所组成曲线的方程：4)2(22=++y x .

检验结论：在函数作图栏内输入上面得到的方程(先输入hj=>，然后再输入方程)；

所得的图形是否与动点所组成的图形相同？___是_____。

小结:

引导学生得出，要得到动点与定点距离一定值时，就是以该定点为圆心，距离的定值为半径作圆。

实时练习：

让学生在DM_Lab 平台上作出下面的轨迹：

已知点P(2，0)与Q(8，0)，且点M 到点P 的距离

是它到点Q 的距离的5

1，求点M 的轨迹 .并写出这个轨迹方程。

学生从上面的练习理解到改变题目的条件可以得

到不同的轨迹， 只有在信息技术的辅助下，才能

轻易的改变轨迹条件作出不同的轨迹，这是传统

教学中难以实现的。

3. 已知点P 是圆1622=+y x 上的动点，点A(12，0)是x 轴上的定点，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是甚么？

这个题目条件较直接，可以由学生自行

讨论及操作。

作图步骤: (由学生自行填写及在

DM_Lab 上操作)

1. 以O 为圆心，半径为4作圆O;

2. 在(12，0)上取点A;

3. 作线段PA(其中点P 在圆上);

4. 作线段PA 的中点M;

5. 点选轨迹点M ， 拖动P 在圆上移动，

图形出现点M 留下的轨迹. 得到轨迹如右图

观察与发现：动点M 的轨迹图形是 ___圆_____ .

分析与思考：观察图形写出动点M 形成曲线的方程：4)6(22=+-y x .

检验结论：

在函数作图栏内输入上面得到的方程(先输入hj=>，然后再输入方程)；

所得的图形是否与动点M 的轨迹图形相同？_是___

老师讲评: 为下一实验题作基础，说明当点P 在已知圆上移动时， 线段PA 的长度不为定值，而得出点M 的轨迹