课标中的数学能力讲解
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其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学 习内容，
其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活 动过程
其三，它应贯穿于整个数学学习的环节 也应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐
进，协调发展
通过多样化的活动，培养学生的推理能力பைடு நூலகம்
反思传统教学，对学生推理能力的培养往 往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要 的形式就是通过习题演练以掌握更多的证 明技巧。显然，这样的认识是带有局限性 的。
《标准》从四个方面提出了要求： 根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图
形想象出所描述的实际物体； 想象出物体的方位和相互之间的位置关系； 描述图形的运动和变化； 依据语言的描述画出图形等。
核心概念之四：几何直观
——此次新增的核心概念
（1）对几何直观的认识
顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何 ，在这里几何是指图形；一是直观，这里的 直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到 的是一个层次），更重要的是依托现在看到 的东西、以前看到的东西进行思考、想象， 综合起来几何直观就是依托、利用图形进行 数学的思考、想象。它在本质上是一种通过 图形所展开的想象能力。
核心概念之十：创新意识
创新意识的培养是现代数学教育的基本任 务，应体现在数学教与学的过程之中。学 生自己发现和提出问题是创新的基础；独 立思考、学会思考是创新的核心；归纳概 括得到猜想和规律，并加以验证，是创新 的重要方法。创新意识的培养应该从义务 教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。
从基础、核心、方法三个方面指明了创新 意识的要素。这为我们培养学生创新意识 提出了几个基本的切入点和路径，使创新 意识的培养落在了比较实在的载体上，
核心概念有何意义？
首先，《标准》将这些核心概念放在课程内 容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不 是设计者超乎于数学课程内容之上外加的， 而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的 。从这一意义上看，核心概念往往是一类课 程内容的核心或主线，它有利于我们体会内 容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学 中的关键。
把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务 ，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。 例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸 ， 直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对 基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发 现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教 学中关注的目标。
核心概念之六：运算能力
图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于n点
中的任何一个点，它与其它的（n-1）个点共可连
接（n -1）条线段，因而n个点共可连接n（n -1）
条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段AB 与线段BA是同一条线段），所以共可连接
1/2 n（n -1）条线段。
用“图形法” 解决问题
掌握、运用一些基本图形解决问题
核心概念之七：推理能力
此次《标准》提出的推理能力与过去相 比，有这样一些特点： 一是进一步指明了推理在数学学习中的重要 意义。《标准》指出：“推理是数学的基本 思维方式，也是人们学习和生活中经常使用 的思维方式”。它对教学的启示是，不仅要 引导学生认识到推理是数学的重要基础之一 ，它与人们的生活息息相关，更重要的是要 逐步培养学生运用推理进行思维的方式。
使学生多经历 “猜想——证明”的问题探索过程
在“猜想——证明”的问题探索过程中， 学生能亲身经历用合情推理发现结论、用 演绎推理证明结论的完整推理过程，在过 程中感悟数学基本思想，积累数学活动经 验，这对于学生数学素养的提升极为有利 。
教师要善于对素材进行此类加工，引 导学生多经历这样的活动。
突出了合情推理与演绎推理
二是基于数学推理的特点，突出了合情 推理与演绎推理这条主线。指出在数学 思维和问题解决的过程中，两种推理功 能不同，相辅相成——合情推理用于探 索思路，发现结论；演绎推理用于证明 结论。
引导学生多经历“猜想——证明”的问题探索过程
三是强调推理能力的培养“应贯穿于 整个数学学习过程中”。
核心概念之三：空间观念
（1）空间观念的含义
空间观念是指对物体及其几何图形的形状 、大小、位置关系及其变化建立起来的一 种感知和认识，空间想象是建立空间观念 的重要途径
空间观念也是创新精神所需的基本要素， 没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈 发明与创造
（2） 《标准》中空间 观念所提出的要求
第四，从这10个名词的指称来看，它们体现 的都是学习主体——学生的特征，涉及的是 学生在数学学习中应该建立和培养的关于数 学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因 此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段 数学课程中最应培养的数学素养，是促进学 生发展的重要方面。
所以，把握好这些核心概念无论对于教 师教学和学生学习都是极为重要的。
重视变换——让图形动起来
几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是 认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最 基本的图形都是对称图形，例如圆、正多边形、长 方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面， 在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用 这些对称图形为工具的。变换又可以看作运动，让 图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图 形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形 ，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对 角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平 行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理 解几何图形是建立几何直观的好办法。
前者指教学中要培养学生通过画图来表达 数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者 指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂 的数学关系直观、清晰地展示出来，通过 对图形的分析思考进而寻求解决问题的思 路。
（3）几何直观的培养
使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题
可以通过多种途径和方式使学生真正体会到 画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便 利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽 量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图 形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的 过程变得直观
第二，这些核心概念都是数学课程的目标 点，也应该成为数学课堂教学的目标，仅以“
数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来 看，《标准》就提出了：“建立数感、符号意 识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力 ”；“发展数据分析观念，感受随机现象”； “发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应 用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方 法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述 几乎涵盖了所有的核心概念。
解决问题的过程
“发现问题和提出问题”
所谓“发现问题”，是经过多方面、多角度 的数学思维，从表面上看来没有关系的一些 现象中找到数量或者空间方面的某些联系， 或者找到数量或者空间方面的某些矛盾，并 把这些联系或者矛盾提炼出来。
所谓“提出问题”，是在已经发现问题的基 础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、 数学符号集中地以“问题”的形态表述出来
发现、提出、分析、解决针对的是问题解决 的全程，是数学能力要求
《标准》强调通过多样化的活动来培养学生的 推理能力。如《标准》提出：“在参与观察、 实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中， 发展合情推理和演绎推理能力， ”（总目标 ），“体会通过合情推理探索数学结论，运用 演绎推理加以证明的过程，在多样化形式的数 学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力” （三学段）
AN
人数 握手次数
规律
2
1
1
3
3
1+2
4
6
1+2+3
…
…
…
A3
n
1+2+3+…+(n-1)
A1
A2
对于七、八年级的学生来说，要发现
“1+2+3+…+(n-1)”这个规律并不容易，计算 1+2+3+…+(n-1)得到 1/2 n（n -1） 也有困难。
但是，如果把“人”抽象成“点”，“两人握1次 手”抽象成“两点之间连接一条线段”，那么借助
学会从“数”与“形”两个角度认识 数学
数形结合首先是对知识、技能的贯通 式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与 形之间的化归与转化的意识，这种对数学的 认识和运用的能力，应该是形成正确的数学 态度所必需要求的。
例如，若每两人握一次手，则3个人共握几次 手，4个人共握几次手……， n个人共握几次
手？ 用归纳的方法探索规律，如下表:
——此次增加的核心概念
运算是数学的重要内容，在义务教育阶 段的数学课程的各个学段中，运算都占有很 大的比重。学生在学习数学的过程中，要花 费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种 运算的知识及技能，并发展运算能力。
（1）标准对运算能力的要求
《标准》指出：运算能力主要是指能够 根据法则和运算律正确地进行运算的能 力。培养运算能力有助于学生理解运算 的算理，寻求合理简洁的运算途径解决 问题。
（2）《标准》中几何直观的含义
《标准》指出：“几何直观是指利用图形描述 和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学 问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的 思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观 地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着 重要作用。”
它表明：今后数学课程中有两件事需 要刻意去做，即针对较抽象的数学对 象的“图形表示”和“图形分析”。
（2）对运算能力的认识
运算的正确、有据、合理、简洁是运算能 力的主要特征。
运算能力并非一种单一的、孤立的数学能 力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整 合。在实施运算分析和解决问题的过程中 ，要力求做到善于分析运算条件，探究运 算方向，选择运算方法，设计运算程序， 使运算符合算理，合理简洁。换言之，运 算能力不仅是一种数学的操作能力，更是 一种数学的思维能力。
第三，深入一步讲，很多核心概念都体现着 数学的基本思想 。数学基本思想集中反映为 数学抽象、数学推理和数学模型思想。
比如，与“数与代数”部分内容直接关联的 数感、符号意识、运算能力、推理能力和模 型思想等核心概念就不同程度的直接体现了 抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示 我们，核心概念的教学要更关注其数学思想 本质。
第五章 数学能力及其培养
课标中的数学能力
2013.11.25
关于10个核心概念的分析
——原课标也称为“关键词”
原课标：数感 符号感 空间观念 （6个） 统计观念 应用意识 推理能力
修改后：数感 符号意识 运算能力 （10个） 模型思想 空间观念 几何直观
推理能力 数据分析观念 应用意识 创新意识
即围绕这三个要素，教师应紧紧抓住“数 学问题”、“学会思考”、“猜想、验证 ”这几个点，做足教学中的“文章”，创 新意识培养的目标就有可能得到落实。
目标点二：为何要强调 发现问题、提出问题？
在数学中，发现结论常常比证明结论更 重要
创新性的成果往往始于问题 传统教学在这方面的不足 问题解决的全过程是发现、提出、分析、
其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活 动过程
其三，它应贯穿于整个数学学习的环节 也应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐
进，协调发展
通过多样化的活动，培养学生的推理能力பைடு நூலகம்
反思传统教学，对学生推理能力的培养往 往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要 的形式就是通过习题演练以掌握更多的证 明技巧。显然，这样的认识是带有局限性 的。
《标准》从四个方面提出了要求： 根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图
形想象出所描述的实际物体； 想象出物体的方位和相互之间的位置关系； 描述图形的运动和变化； 依据语言的描述画出图形等。
核心概念之四：几何直观
——此次新增的核心概念
（1）对几何直观的认识
顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何 ，在这里几何是指图形；一是直观，这里的 直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到 的是一个层次），更重要的是依托现在看到 的东西、以前看到的东西进行思考、想象， 综合起来几何直观就是依托、利用图形进行 数学的思考、想象。它在本质上是一种通过 图形所展开的想象能力。
核心概念之十：创新意识
创新意识的培养是现代数学教育的基本任 务，应体现在数学教与学的过程之中。学 生自己发现和提出问题是创新的基础；独 立思考、学会思考是创新的核心；归纳概 括得到猜想和规律，并加以验证，是创新 的重要方法。创新意识的培养应该从义务 教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。
从基础、核心、方法三个方面指明了创新 意识的要素。这为我们培养学生创新意识 提出了几个基本的切入点和路径，使创新 意识的培养落在了比较实在的载体上，
核心概念有何意义？
首先，《标准》将这些核心概念放在课程内 容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不 是设计者超乎于数学课程内容之上外加的， 而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的 。从这一意义上看，核心概念往往是一类课 程内容的核心或主线，它有利于我们体会内 容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学 中的关键。
把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务 ，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。 例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸 ， 直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对 基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发 现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教 学中关注的目标。
核心概念之六：运算能力
图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于n点
中的任何一个点，它与其它的（n-1）个点共可连
接（n -1）条线段，因而n个点共可连接n（n -1）
条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段AB 与线段BA是同一条线段），所以共可连接
1/2 n（n -1）条线段。
用“图形法” 解决问题
掌握、运用一些基本图形解决问题
核心概念之七：推理能力
此次《标准》提出的推理能力与过去相 比，有这样一些特点： 一是进一步指明了推理在数学学习中的重要 意义。《标准》指出：“推理是数学的基本 思维方式，也是人们学习和生活中经常使用 的思维方式”。它对教学的启示是，不仅要 引导学生认识到推理是数学的重要基础之一 ，它与人们的生活息息相关，更重要的是要 逐步培养学生运用推理进行思维的方式。
使学生多经历 “猜想——证明”的问题探索过程
在“猜想——证明”的问题探索过程中， 学生能亲身经历用合情推理发现结论、用 演绎推理证明结论的完整推理过程，在过 程中感悟数学基本思想，积累数学活动经 验，这对于学生数学素养的提升极为有利 。
教师要善于对素材进行此类加工，引 导学生多经历这样的活动。
突出了合情推理与演绎推理
二是基于数学推理的特点，突出了合情 推理与演绎推理这条主线。指出在数学 思维和问题解决的过程中，两种推理功 能不同，相辅相成——合情推理用于探 索思路，发现结论；演绎推理用于证明 结论。
引导学生多经历“猜想——证明”的问题探索过程
三是强调推理能力的培养“应贯穿于 整个数学学习过程中”。
核心概念之三：空间观念
（1）空间观念的含义
空间观念是指对物体及其几何图形的形状 、大小、位置关系及其变化建立起来的一 种感知和认识，空间想象是建立空间观念 的重要途径
空间观念也是创新精神所需的基本要素， 没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈 发明与创造
（2） 《标准》中空间 观念所提出的要求
第四，从这10个名词的指称来看，它们体现 的都是学习主体——学生的特征，涉及的是 学生在数学学习中应该建立和培养的关于数 学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因 此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段 数学课程中最应培养的数学素养，是促进学 生发展的重要方面。
所以，把握好这些核心概念无论对于教 师教学和学生学习都是极为重要的。
重视变换——让图形动起来
几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是 认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最 基本的图形都是对称图形，例如圆、正多边形、长 方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面， 在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用 这些对称图形为工具的。变换又可以看作运动，让 图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图 形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形 ，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对 角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平 行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理 解几何图形是建立几何直观的好办法。
前者指教学中要培养学生通过画图来表达 数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者 指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂 的数学关系直观、清晰地展示出来，通过 对图形的分析思考进而寻求解决问题的思 路。
（3）几何直观的培养
使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题
可以通过多种途径和方式使学生真正体会到 画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便 利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽 量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图 形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的 过程变得直观
第二，这些核心概念都是数学课程的目标 点，也应该成为数学课堂教学的目标，仅以“
数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来 看，《标准》就提出了：“建立数感、符号意 识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力 ”；“发展数据分析观念，感受随机现象”； “发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应 用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方 法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述 几乎涵盖了所有的核心概念。
解决问题的过程
“发现问题和提出问题”
所谓“发现问题”，是经过多方面、多角度 的数学思维，从表面上看来没有关系的一些 现象中找到数量或者空间方面的某些联系， 或者找到数量或者空间方面的某些矛盾，并 把这些联系或者矛盾提炼出来。
所谓“提出问题”，是在已经发现问题的基 础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、 数学符号集中地以“问题”的形态表述出来
发现、提出、分析、解决针对的是问题解决 的全程，是数学能力要求
《标准》强调通过多样化的活动来培养学生的 推理能力。如《标准》提出：“在参与观察、 实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中， 发展合情推理和演绎推理能力， ”（总目标 ），“体会通过合情推理探索数学结论，运用 演绎推理加以证明的过程，在多样化形式的数 学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力” （三学段）
AN
人数 握手次数
规律
2
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…
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1+2+3+…+(n-1)
A1
A2
对于七、八年级的学生来说，要发现
“1+2+3+…+(n-1)”这个规律并不容易，计算 1+2+3+…+(n-1)得到 1/2 n（n -1） 也有困难。
但是，如果把“人”抽象成“点”，“两人握1次 手”抽象成“两点之间连接一条线段”，那么借助
学会从“数”与“形”两个角度认识 数学
数形结合首先是对知识、技能的贯通 式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与 形之间的化归与转化的意识，这种对数学的 认识和运用的能力，应该是形成正确的数学 态度所必需要求的。
例如，若每两人握一次手，则3个人共握几次 手，4个人共握几次手……， n个人共握几次
手？ 用归纳的方法探索规律，如下表:
——此次增加的核心概念
运算是数学的重要内容，在义务教育阶 段的数学课程的各个学段中，运算都占有很 大的比重。学生在学习数学的过程中，要花 费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种 运算的知识及技能，并发展运算能力。
（1）标准对运算能力的要求
《标准》指出：运算能力主要是指能够 根据法则和运算律正确地进行运算的能 力。培养运算能力有助于学生理解运算 的算理，寻求合理简洁的运算途径解决 问题。
（2）《标准》中几何直观的含义
《标准》指出：“几何直观是指利用图形描述 和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学 问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的 思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观 地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着 重要作用。”
它表明：今后数学课程中有两件事需 要刻意去做，即针对较抽象的数学对 象的“图形表示”和“图形分析”。
（2）对运算能力的认识
运算的正确、有据、合理、简洁是运算能 力的主要特征。
运算能力并非一种单一的、孤立的数学能 力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整 合。在实施运算分析和解决问题的过程中 ，要力求做到善于分析运算条件，探究运 算方向，选择运算方法，设计运算程序， 使运算符合算理，合理简洁。换言之，运 算能力不仅是一种数学的操作能力，更是 一种数学的思维能力。
第三，深入一步讲，很多核心概念都体现着 数学的基本思想 。数学基本思想集中反映为 数学抽象、数学推理和数学模型思想。
比如，与“数与代数”部分内容直接关联的 数感、符号意识、运算能力、推理能力和模 型思想等核心概念就不同程度的直接体现了 抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示 我们，核心概念的教学要更关注其数学思想 本质。
第五章 数学能力及其培养
课标中的数学能力
2013.11.25
关于10个核心概念的分析
——原课标也称为“关键词”
原课标：数感 符号感 空间观念 （6个） 统计观念 应用意识 推理能力
修改后：数感 符号意识 运算能力 （10个） 模型思想 空间观念 几何直观
推理能力 数据分析观念 应用意识 创新意识
即围绕这三个要素，教师应紧紧抓住“数 学问题”、“学会思考”、“猜想、验证 ”这几个点，做足教学中的“文章”，创 新意识培养的目标就有可能得到落实。
目标点二：为何要强调 发现问题、提出问题？
在数学中，发现结论常常比证明结论更 重要
创新性的成果往往始于问题 传统教学在这方面的不足 问题解决的全过程是发现、提出、分析、