直线、平面垂直的判定及性质

A．若 l∥α，m⊥l，则 m⊥α B．若 l⊥m，m⊥n，则 m∥n
C．若 a⊥α，a⊥b，则 b∥α
D．若 l⊥α，l∥a，则 a⊥α
解析 对于 A，m 与 α 位置关系不确定，故 A 错；对于 B，当 l 与 m，m 与 n 为异面垂直时，m 与 n 可能异面或相交，故 B 错；对于 C，也可能 b⊂α，故 C 错；对于 D，由线面垂直的定义可知正确．
直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
Байду номын сангаас判 一条直线与一个平面内的
定 两条相交直线 都 垂 直 ， 定
则该直线与此平面垂直 理
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
⇒l⊥α
l⊥b
3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言
2．[2016·烟台模拟]已知不重合的直线 m，l 和平面 α，β，且 m⊥α，l⊂β.给出下列命题：①若 α∥β，
则 m⊥l；②若 α⊥β，则 m∥l；③若 m∥l，则 α∥β；④若 m∥l，则 α⊥β，其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 因为 m⊥α，α∥β，所以，m⊥β，又 l⊂β，所以 m⊥l，故①正确； 因为 m⊥α，α⊥β，所以 m∥β 或 m⊂β，又 l⊂β， 所以 m∥l 或 m，l 相交或 m，l 互为异面直线，故②不正确； 因为 m⊥α，m∥l，所以 l⊥α，又 l⊂β，所以 α⊥β，故③不正确，④正确．选 B.
平面
图形语言
符号语言
α⊥β αl⊂∩ββ＝a⇒l⊥α l⊥a
[必会结论] 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
解析 1.错误．两个平面也可能相交.2.错误．两条直线也可能异面或相交.3.错误．α 与 β 不一定垂直.4. 错误．二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.5.错误．若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内的直线 l 与 β 可平行，可相交，也可在平面 β 内．
二、小题快练
1．[课本改编]在空间中，l，m，n，a，b 表示直线，α 表示平面，则下列命题正确的是( )
4．[2016·珠海模拟]在如图所示的四个正方体中，能得出 AB⊥CD 的是( )
解析 A 中，CD⊥AB；B 中，AB 与 CD 成 60°角；C 中，AB 与 CD 成 45°角；D 中，AB 与 CD 夹角 的正切值为 2.
5．[2016·济南模拟]已知如图，六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABCDEF.则下列结 论不正确的是( )
性 质 垂直于同一个平面的两 定 条直线 平行 理
图形语言
符号语言 a⊥α b⊥α⇒a∥b
考点 2 平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
判
一个平面过另一个平面
定 的
一条垂线
，则这
定
两个平面垂直
理
符号语言 l⊂β l⊥α⇒α⊥β
2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言
两个平面互相 性 垂直，则一个 质 平面内垂直于 定 交线 的 直 线 理 垂直于另一个
A．CD∥平面 PAF B．DF⊥平面 PAF C．CF∥平面 PAB D．CF⊥平面 PAD
解析 A 中，因为 CD∥AF，AF⊂平面 PAF，CD⊄平面 PAF，所以 CD∥平面 PAF 成立； B 中，因为 ABCDEF 为正六边形，所以 DF⊥AF. 又因为 PA⊥平面 ABCDEF，所以 PA⊥DF，又因为 PA∩AF＝A，所以 DF⊥平面 PAF 成立； C 中，因为 CF∥AB，AB⊂平面 PAB，CF⊄平面 PAB， 所以 CF∥平面 PAB；而 D 中 CF 与 AD 不垂直，故选 D.
板块二 典例探究·考向突破
考向 有关垂直关系的判断 例 1 (1)[2015·浙江高考]设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，m⊂β.( ) A．若 l⊥β，则 α⊥β B．若 α⊥β，则 l⊥m C．若 l∥β，则 α∥β D．若 α∥β，则 l∥m
[解析] 对于面面垂直的判定，主要是两个条件，即 l⊂α，l⊥β，如果这两个条件存在，则 α⊥β.
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) 2．若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( × ) 3．若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α⊥β.( × ) 4．二面角是指两个相交平面构成的图形．( × ) 5．若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )
第5讲 直线、平面垂直的判定及性质
1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面及面面 垂直的有关性质和判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的位置关系的简单 命题.
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 直线与平面垂直
1．直线和平面垂直的定义
(2)[2016·德阳二诊]设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 m⊂β，α⊥β，则 m⊥α；
②若 α∥β，m⊂α，则 m∥β；
③若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β；
④若 m∥α，m∥β，则 α∥β.
其中正确命题的序号是( )
A．①③
B．①②
C．③④
D．②③
3．[课本改编]已知 m，n 是不同的直线，α，β 是不同的平面，则下列条件能使 n⊥α 成立的是( )
A．α⊥β，n⊂β
B．α∥β，n⊥β
C．α⊥β，n∥β
D．m∥α，n⊥m
解析 若 α⊥β，n⊂β，则 n 与 α 平行或相交，即 A 不一定使 n⊥α；α∥β，n⊥β，则 n⊥α，故应选 B. 本题考查了空间直线与平面，平面与平面的几何性质及推理证明．