第9章平面解析几何椭圆

椭圆
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c <2a ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． 2．椭圆的标准方程和几何性质
－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b
概念方法微思考
1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，动点P 的轨迹如何？
提示 当2a ＝|F 1F 2|时动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时动点P 的轨迹是不存在的． 2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示 由e ＝c
a ＝
1－⎝⎛⎭⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，椭圆越圆．
1．（2019•北京）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，则( )
A ．222a b =
B ．2234a b =
C ．2a b =
D ．34a b =
【答案】B
【解析】由题意，1
2
c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，
22244a b a ∴-=，即2234a b =．
2．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若
22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )
A ．2
212
x y +=
B ．22
132x y +=
C ．22
143x y +=
D ．22
154
x y +=
【答案】B
【解析】22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=， 又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=， 又12||||2BF BF a +=，2||2
a
BF ∴=， 2||AF a ∴=，13
||2
BF a =
， 12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．
在Rt △2AF O 中，21
cos AF O a
∠=
， 在△12BF F 中，由余弦定理可得22
2134()()22cos 222
a a BF F a +-∠=⨯⨯
，
根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得2
14202a a a
-+=，解得23a =
，a ∴
222312b a c =-=-=．
所以椭圆C 的方程为：22
132
x y +=．
故选B ．
3．（2018•全国）已知椭圆22221x y a b +=过点3(4,)5
-和4
(3,)5-，则椭圆离心率(e = )
A
B
C ．15
D ．
25
【解析】椭圆22221x y a b +=过点3(4,)5
-和4
(3,)5-，
则22
22
16
9125916125a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得5a =，1b =，
22224c a b ∴=-=，
c ∴=
c e a ∴=
， 故选A ．
4．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆22
2:14
x y C a +=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )
A ．1
3
B ．
12
C
D
【答案】C
【解析】椭圆22
2:14
x y C a +=的一个焦点为(2,0)，
可得244a -=
，解得a =， 2c =，
c e a ∴=
==
． 故选C ．
5．（2018•上海）设P 是椭圆22
153
x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A
．B
．C
．D
．【答案】C
【解析】椭圆22
153x y +=的焦点坐标在x
轴，a =，
P 是椭圆22
153
x y +
=上的动点，由椭圆的定义可知：则P
到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a = 故选C ．
6．（2018•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且
的直线上，△12PF F 为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( ) A ．23 B ．12 C ．13 D ．1
4
【答案】D
【解析】由题意可知：(,0)A a -，1(,0)F c -，2(,0)F c ，
直线AP
的方程为：)y x a +， 由12120F F P ∠=︒，212||||2PF F F c ==
，则(2)P c ，
代入直线)AP c a =
+，整理得：4a c =， ∴题意的离心率1
4
c e a ==．
故选D ．
7．（2018•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为( ) A
．1-
B
．2-C
D
1
【答案】D
【解析】1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，可得椭圆的焦点坐标2(,0)F c ，
所以1
(2P c
)．可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e
+=-，可得42840e e -+=，(0,1)e ∈，
解得1e =． 故选D ．
8．（2017•全国）椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在C 上，22F P =，1223
F F P π
∠=
，则C 的长轴长为( )
A ．2
B ．
C ．2
D ．2+【答案】D
【解析】椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，则1c =， 2||2PF =，
12||2||22PF a PF a ∴=-=-，
由余弦定理可得22211221222||||||2||||cos 3
PF F F PF F F PF π=+-， 即21(22)44222()2
a -=+-⨯⨯⨯-，
解得1a =1a =-，
22a ∴=+
故选D ．
9．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364
x y C +=和222:19y C x +
=．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ 的最大值．记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w =，则Ω中元素个数为(
) A ．2个 B ．4个
C ．8个
D ．无穷个
【答案】D
【解析】椭圆221:1364
x y C +=和22
2:19y C x +=．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点， 可设(6cos ,2sin )P αα，(cos ,3sin )Q ββ，0α，2βπ<， 则6cos cos 6sin sin 6cos()OP OQ αβαβαβ=+=-， 当αβ=时，w 取得最大值6，
则{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w =中的元素有无穷多对． 另解：令(,)P m n ，(,)Q u v ，则22936m n +=，2299u v +=， 由柯西不等式22222(9)(9)324(33)m n u v mu nv ++=+， 当且仅当9mv nu =，取得最大值6，
显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选D ．
10．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆22
:13x y C m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m
的取值范围是( ) A ．(0，1][9，)+∞ B ．(0
[9，)+∞ C ．(0，1][4，)+∞ D ．(0
[4，)+∞
【答案】A
【解析】假设椭圆的焦点在x 轴上，则03m <<时，
设椭圆的方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>，设(,0)A a -，(,0)B a ，(,)M x y ，0y >，
则2222
2a y a x b
-=，
MAB α∠=，MBA β∠=，AMB γ∠=，tan y x a α=
+，tan y a x
β=-， 则2222222
222
2
2
tan tan 2222tan tan[()]tan()1tan tan ()ay ay ab ab a y a x y y a b c y
y b
αβγπαβαβαβ+=-+=-+=-=-=-
=-=------，
2
22tan ab c y
γ∴=-，当y 最大时，即y b =时，AMB ∠取最大值，
M ∴位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，
120AMB ∠︒，60AMO ∠︒
，tan tan 60AMO ∠=
︒=
解得：01m <；
当椭圆的焦点在y 轴上时，3m >，
当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，
120AMB ∠︒，60AMO ∠︒，tan tan 60AMO ∠=
︒=9m ，
m ∴的取值范围是(0，1][9，)+∞
故选A ．
故选A ．
11．（2017•浙江）椭圆22
194
x y +
=的离心率是( )
A B C ．
23 D ．59
【答案】B
【解析】椭圆22
194
x y +
=，可得3a =，2b =，则c
所以椭圆的离心率为：c a =
． 故选B ．
12．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与
直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )
A B C D ．13
【答案】A
【解析】以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，
∴
a =，化为：223a
b =．
∴椭圆C 的离心率c e a ==．
故选A ．
13．（2020•上海）已知椭圆22
:143
x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P
在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是__________． 【答案】10x y +-=
【解析】椭圆22
:143
x y C +=的右焦点为(1,0)F ，
直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限）， 若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，
可知直线l 的斜率为1-，所以直线l 的方程是：(1)y x =--， 即10x y +-=． 故答案为：10x y +-=．
14．（2019•浙江）已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O
为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是__________．
【解析】椭圆22195x y +
=的3a =，b =2c =，23
e =， 设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，
线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆，
连接AO ，可得||2||4PF AO '==，
设P 的坐标为(,)m n ，可得2343m -=，可得3
2
m =-
，n ，
由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为
2322
=-+ 另解：由||2||4PF AO '==，||642PF =-=，||24FF c '==， 可得416161
cos 2244
PFF +-'∠==⨯⨯，
sin PFF '∠=， 可得直线PF
的斜率为sin cos PFF PFF '
∠='
∠
15．（2019•上海）在椭圆22
142
x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为__________． 【答案】1
[arccos 3
π-，]π
【解析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，
椭圆22
142
x y +
=
的焦点坐标为(，0)
，0)， 121F P F P ，
2221x y ∴-+，
结合22
142
x y +
= 可得：2[1y ∈，2]
故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：
22
2122212238cos 3[122(F P F Q
y y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1
]3-
故1
[arccos 3θπ∈-，]π
故答案为：1
[arccos 3
π-，]π．
16．（2018•浙江）已知点(0,1)P ，椭圆2
2(1)4
x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =__________时，点
B 横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由(0,1)P ，2AP PB =，
可得122x x -=，1212(1)y y -=-， 即有122x x =-，1223y y +=， 又221144x y m +=，
即为2
22
1x y m +=，① 22
2244x y m +=，②
①-②得1212(2)(2)3y y y y m -+=-， 可得122y y m -=-， 解得132m y -=
，234m
y +=， 则2
2
23(
)2
m m x -=+， 即有222
22
3109(5)16()244
m m m m x m --+---+=-==
， 即有5m =时，2
2x 有最大值4，
即点B 横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．
17．（2018•
北京）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n
-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的
四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 1；2
【解析】椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线22
22:1x y N m n
-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交
点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标(,0)c ，正六边形的一个顶点(2c
，可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e
+=-，可得42840e e -+=，(0,1)e ∈，
解得1e =．
n
m
= 可得：223n m =，即22
2
4m n m
+=，
可得双曲线的离心率为2e =
=．
1；2．
18．（2017•上海）设椭圆2
212
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是等腰三角形
的点P 的个数是__________． 【答案】6
【解析】如图所示，
①当点P 与短轴的顶点重合时，
△12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形， 此种情况有2个满足条件的等腰△12F F P ；
②当△12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，共有4个． 以2F P 作为等腰三角形的底边为例， 121F F F P =，
∴点P 在以1F 为圆心，半径为焦距2c 的圆上
因此，当以1F 为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时， 存在2个满足条件的等腰△12F F P ．
同理可得：当以2F 为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时，存在2个满足条件的等腰△12F F P ． 综上可得：满足条件的使得△12F F P 是等腰三角形的点P 的个数为6． 故答案为：6．
19．（2019•上海）已知椭圆22
184
x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B 两点．
（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；
（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；
（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB
F MN
S S
=，若存在，求出直线l
的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，2(2,0)F ，当AB x ⊥
轴时，则A
，(2,B
，得||AB = （2）设1(A x ，1)y ，11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒，
∴2212111111(2,)(2,)40AF AF x y x y x y =+-=-+=，
又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即22
114(1)8x y =-，
∴2
211
44(1)08
x x -+-=，解得10x =，即(0,2)A ．
直线:2AB y x =-+，
联立22218
4y x x y =-+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，解得8(3B ，2)3-；
（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ， 直线:2l x my =+， 则11212121
||||2||2
F AB
S F F y y y y =
-=-， 1134341
||||||2
F MN
S
FO y y y y =
-=-． 联立22218
4x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得22(2)440m y my ++-=．
则12242m y y m +=-
+，122
4
2
y y m -=+． 由直线1AF 的方程：11(2)2y y x x =++，得M 纵坐标1
3122
y y x =+；
由直线1BF 的方程：22(2)2y y x x =++，得N 的纵坐标2
4222
y y x =
+． 若11F AB
F MN
S
S
=，即12342||||y y y y -=-，
121212341212121222228()
|||
|||||2||2244(4)(4)
y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++， 12|(4)(4)|4my my ∴++=，21212|4()16|4m y y m y y +++=，
代入根与系数的关系，得22244|416|
422
m m m m m --++=
++，解得m =
∴存在直线20x +-=或20x -=满足题意．
20．（2019•天津）设椭圆22221(0)x y a
b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点）
，且OP
MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【解析】（Ⅰ）由题意可得24b =，即2b =，
c e a ==
222a b c -=， 解得a =，1c =，
可得椭圆方程为22
154
x y +=；
（Ⅱ）(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+， 代入椭圆方程224520x y +=， 可得22(45)200k x kx ++=， 解得2
2045k
x k
=-
+或0x =， 即有2
20(45k
P k -+，22810)45k k -
+，
2y kx =+，令0y =，可得2
(M k
-
，0)，
又(0,1)N -，OP MN ⊥，
可得281011220k k k
-
=---，解得
k =
可得PB 的斜率为 21．（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2
F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知15
2
DF =． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．
【解析】（1）如图，22F A F B =，22F AB F BA ∴∠=∠，
22212F A a F D DA F D F D ==+=+，1AD F D ∴=，则11DAF DF A ∠=∠， 12DF A F BA ∴∠=∠，则12//F D BF ，
1c =，2
2
1b a ∴=-，则椭圆方程为22
22
11
x y a a +=-， 取1x =，得21D a y a -=，则2211
2a a AD a a a -+=-=
． 又15
2
DF =，∴2152a a +=，解得2(0)a a =>．
∴椭圆C 的标准方程为22
143x y +=；
（2）由（1）知，3
(1,)2
D ，1(1,0)F -，
∴21
3
3224BF DF k k ===，则23
:(1)4
BF y x =-， 联立22
3(1)414
3y x x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得
2
2118390x x --=．
解得11x =-或213
7
x =
（舍)． ∴132
y =-．
即点E 的坐标为3
(1,)2
--．
22．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1
)2
，焦点1(F ，0)，2F 0)，圆O 的
直径为12F F ．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若OAB ∆，求直线l 的方程．
【解析】（1）由题意可设椭圆方程为22
221,(0)x y a b a b
+=>>，
焦点1(F 0)，2F 0)，∴c =． 2231
14a b
∴
+=，又2223a b c -==， 解得2a =，1b =．
∴椭圆C 的方程为：2214
x y +=，圆O 的方程为：223x y +=．
（2）①可知直线l 与圆O 相切，也与椭圆C ，且切点在第一象限，因此k 一定小于0，
∴可设直线l 的方程为y kx m =+，(0,0)k m <>．
由圆心(0,0)到直线l
222
2
3,331m m k
k ==++即． 由22
44
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，可得222(41)8440k x kmx m +++-=， △222(8)4(41)(44)0km k m =-+-=，
可得2241m k =+，223341k k ∴+=+，结合0k <，0m >
，解得k =3m =．
将k =3m =代入223
x y y kx m
⎧+=⎨=+⎩
可得220x -+=，
解得x 1y =，故点P
的坐标为． ②设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
由220,0330k m m k k <>⎧⎪
=+⇒<⎨⎪>⎩
． 联立直线与椭圆方程得222(41)8440k x kmx m +++-=，
21||x x -=
O 到直线l
的距离d =
，
221||
|1AB x x k
=-=
+
，
OAB ∆
的面积为2
1
112
2
S k
=+⨯==， 解得k =（正值舍去），m =
y ∴=+
23．（2017•全国）设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A
，短轴的一个端点为B ，
短轴长为4，ABF ∆1- （1）求a ，b ；
（2）设直线l 与C 交于P ，Q 两点，(2,2)M ，四边形OPMQ 为平行四边形，求
l 的方程．
【解析】（1）依题意得，2
22
241()12ABF b S a c b a c b
∆=⎧⎪⎪
=-=⎨⎪-=⎪⎩，解得a =2b =，1c =
（2）方法1（点差法）：由（1）得椭圆的方程为22
154
x y +=，
因为四边形OPMQ 为平行四边形，设OM 的中点为D ，
则D 也是PQ 的中点，因为(2,2)M ，则(1,1)D ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 由题意22
1122
221541
5
4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212054x x y y --+=， 变形得12121212()()()()
054x x x x y y y y -+-++=，
即121212124421455215
PQ
y y x x k x x y y -+⨯==-⨯=-⨯=--+⨯， 所以直线l 的方程为4
1(1)5
y x -=--，即4590x y +-=．
带入22
154
x y +=，检验△0>，有两个交点，满足题意．
方法2（韦达定理法）:
①当直线PQ 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时P Q y y =-，其中点为(1,0)，不成立； ②当直线PQ 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，
联立得221(1)154y k x x y -=-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消y 化简得，222(54)10(1)510150k x k k x k k +--+--=，
设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则122
10(1)2154k k x x k -+=
=⨯+，解得4
5
k =-， 带入上述二次方程，检验得△0>，满足题意．
所以直线l 的方程为4
1(1)5
y x -=--，即4590x y +-=．
1．（2020•河南模拟）已知椭圆C ：
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点，若△BF 1F 2
的外接圆的半径为2b
3，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√2
2 B ．√3
2
C ．1
2
D ．2
3
【答案】C
【解析】设O 为坐标原点，△BF 1F 2的外心必在线段OB 上， 且有c 2+(b −
2b 3
)2
=(2b
3)2，得b 2＝3c 2，
即a 2﹣c 2＝3c 2，得a ＝2c ，
∴椭圆C 的离心率为e =c a =1
2． 故选C ．
2．（2020•运城模拟）已知椭圆E ：
x 2a+2
+
y 2a
=1(a ＞0)的离心率为√2
2
，若面积为4的矩形ABCD 的四个顶点都在椭
圆E 上，点O 为坐标原点，则|OA |2＝（ ） A ．
√2±1
2
B ．3
C ．3±1
2
D ．3±
√2
2
【答案】D
【解析】由椭圆E 的离心率为√2
2
，得√a+2−a a+2
=
√2
2
，即a ＝2．
∴椭圆E 的方程为x 2
4+
y 22
=1，设A(2cosθ，√2sinθ)(θ∈(0，π
2))，
由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积S =2cosθ×√2sinθ=1， ∴sin2θ=
√2
2
，即2θ=π4
或3π
4
，可得cos2θ=±
√22
， ∴|OA|2=4cos 2θ+2sin 2θ=2cos 2θ+2=cos2θ+3=3±√22
， 故选D ．
3．（2020•南岗区校级模拟）已知F 1、F 2是椭圆x 2
4+
y 23
=1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径
作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则QF 1→
⋅QF 2→
=（ ） A ．2√3 B ．4 C ．3 D ．1
【答案】C
【解析】连接PF 2，由题意可知|PF 2|＝2|ON |，|NQ |=1
2|PF 1|，
所以|OQ |＝|ON |+|NQ |=12（|PF 2|+|PF 1|）=1
2×4＝2，
由极化恒等式可知QF 1→⋅QF 2→
=|QO|2−1
4|F 1F 2|2=4−1=3， 所以QF 1→⋅QF 2→
=3， （极化恒等式：a →
⋅b →
=(a →+b →
)2−(a →−b →
)2
4
）．
故选C ．
4．（2020•襄州区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、
右顶点），若存在以√2
2
c为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．(1
3，√2
3
]B．[√2
3
，1)C．(0，√2
3
]D．(0，1
3
]
【答案】D
【解析】F1、F2分别是椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），
若存在以√2
2c为半径的圆内切于△PF1F2，可得：1
2
×(2a+2c)×√2
2
c=1
2
×2c|y p|，
∴(a+c)c=√2c|y p|≤√2bc，∴(a+c)≤√2b，∴（a+c）2≤2b2，则0≤a2﹣2ac﹣3c2，
∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴0＜e≤1
3
．
故选D．
5．（2020•马鞍山三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2
a +y2
b
=1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角
为π
3
的直线交椭圆上半部分于点A，以F A，FO为邻边作平行四边形OF AB，若点B在椭圆上，则b2等于（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3
【答案】B
【解析】依题意，c＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵四边形OF AB为平行四边形，∴y1＝y2，
又x12
a +y12
b
=1，x22
a
+y22
b
=1，∴x2＝﹣x1，
又F A∥OB，且直线F A的倾斜角为π
3，∴y1
x1+2
=y2
x2
=√3．
∵y1＝y2，x2＝﹣x1，∴x1＝﹣1，x2＝1，y1=y2=√3．
得A （﹣1，√3），将A 的坐标代入椭圆方程，可得1
a 2
+
3b 2
=1，①
又a 2﹣b 2＝4，②
联立①②解得：a 2=4+2√3，b 2=2√3． 故选B ．
6．（2020•福州三模）已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，右顶点为A ．过原点与x 轴不重合的直线交C 于M ，N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为（ ） A ．x 2
4+y 23=1 B ．x 26+
y 25=1
C ．x 29+
y 28
=1
D ．x 2
36+y 2
32=1
【答案】C 【解析】如图，
设M （x 0，y 0），则N （﹣x 0，﹣y 0）， ∵A （a ，0），且线段AM 的中点为B ，∴B （
a+x 02
，y
02），
由B ，F ，N 三点共线，得FN →
∥FB →
，依题意，F （1，0）， ∴FN →
=(−x 0−1，−y 0)，FB →
=(a+x 02
−1，y
02)，
即−(x 0+1)⋅
y 02
+(
a+x 02
−1)⋅y 0=0．
又y 0≠0，解得a ＝3，∴b 2＝32﹣12＝8． 可得C 的方程为x 2
9+y 28
=1．
故选C ．
7．（2020•梅河口市校级模拟）已知经过原点O 的直线与椭圆
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)相交于M ，N 两点（M 在第二象
限），A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且|AF |＝4，则该椭圆的方程为（ ） A ．x 2
9+y 25=1 B ．x 236+y 24=1 C ．
x 236+y 232
=1
D ．
x 225
+
y 224
=1
【答案】C
【解析】由|AF |＝4，得a ﹣c ＝4，设线段AN 的中点为P ，M （m ，n ），则N （﹣m ，﹣n ）， 又A （a ，0），∴P （
a−m 2
，−n
2），F （a ﹣4，0），
∵点M 、F 、P 在同一直线上，∴k MF ＝k FP ，即n−0
m−(a−4)=−n
2
−0
a−m
2
−(a−4)
，
化简即可求得a ＝6，∴c ＝2，则b 2＝a 2﹣c 2＝32． 故椭圆方程为x 2
36+y 2
32=1． 故选C ．
8．（2020•邵阳三模）已知椭圆C ：x 2
a 2
+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，MF →
1⋅MF 2→
=0，线段MF 2的延长线交椭圆C 于点N ，若|MF 1|，|MN |，|NF 1|成等差数列，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√2
2
B ．√32
C ．√23
D ．√33
【答案】A
【解析】设|MF 2|＝m ，
∵|MF 1|，|MN |，|NF 1|成等差数列， ∴2|MN |＝|MF 1|+|NF 1|，
∴|MN |＝|MF 2|+|NF 2|＝2a ﹣|MF 1|+2a ﹣|NF 1|＝4a ﹣2|MN |， ∴|MN |=4
3a ， ∴|NF 2|=43a ﹣m ，
∴|NF 1|＝2a ﹣（4
3a ﹣m ）=2
3a +m ， ∵MF →
1⋅MF 2→
=0，
∴MF 1⊥MF 2，
∴Rt △F 1MN 中，|NF 1|2＝|MN |2+|MF 1|2， ∴（2a ﹣m ）2+（4
3a ）2＝（2
3a +m ）2， 整理可得m ＝a ， ∴|MF 2|＝a ，|MF 1|＝a ， ∴|F 2F 1|2＝|MF 2|2+|MF 1|2， ∴4c 2＝2a 2， ∴e =c
a =√2
2
， 故选A ．
9．（2020•启东市校级模拟）如图，已知A 为椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a ＞b ＞0)上一点，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且以AB 为直径的圆过点F ，当∠ABF =π
6时，该椭圆的离心率是__________．
【答案】√3−1
【解析】如图所示：，
由题意可知，以AB 为直径的圆过F ，点F 为椭圆的右焦点， 则∠AFB ＝90°，且AB ＝2c ，
又∵∠ABF =π
6，则AF ＝c ，BF =√3c ，
设椭圆的左焦点为E ，由椭圆的对称性可得AE ＝BF ， 由椭圆的定义得AF +BF ＝AE +AF ＝2a ，则c +√3c =2a ， 即离心率e =c
a =1+
√3
=√3−1，
故答案为：√3−1．
10．（2020•鼓楼区校级模拟）已知椭圆C ：x 24
+y 23
=1的焦点是F 1，F 2，A ，B 是C 上（不在长轴上）的两点，且F 1A →∥F 2B →
．M
为F 1B 与F 2A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是__________；离心率为__________． 【答案】椭圆；4
5
【解析】如图，延长AF 1交椭圆于D ．
设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则B （﹣x 2，﹣y 2）， 由题意可知，AF 1的斜率不为0，可设AF 1：x ＝my ﹣1， 则BF 1：y
x+1=y 2
x 2
−1①，AF 2：y
x−1=y 1
x
1−1
②，
∴
y x+1
⋅
y x−1
=
y 1
x 1−1⋅
y 2
x 2−1
=
y 1
my 1−2⋅
y 2
my 2−2
=y 1y 2
m 2y
1y 2−2m(y 1+y 2)+4
．
联立{x =my −1x 24+y 23=1，得(m 2+4
3)y 2−2my −3=0．
∴y 1+y 2=2m
m 2+
4
3
，y 1y 2=
−3m 2+
43
，
∴y 2
x 2−1=
−3−3m 2+163
，
由①②得，x+1y +x−1y
=2m −
2(y 1+y 2)y 1y 2，∴m =3x
5y ， ∴y 2
x 2−1=
−3−3(
3x 5y )2+163
，整理得：x 2
(54
)
2+
y 2(3
4
)2
=1．
∴M 的轨迹所在的曲线是椭圆；
离心率e =
√(54
)2−(34
)2
54=4
5．
故答案为：椭圆；4
5．
11．（2020•天心区校级模拟）已知椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√3
2，短轴长为2，点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1
|+4
|PF 2
|的最小值是__________．
【答案】9
4
【解析】据题意c
a
=
√3
2
，b ＝1，解得a ＝2，c =√3，
于是|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，
所以1|PF 1
|+4PF 2
|=14(1|PF 1
|+4
|PF 2
|)(|PF 1|+|PF 2|)
=14(5+|PF 2|
|PF 1
|+
4|PF 1|
|PF 2
|
)≥14(5+2√4)=9
4， 当且仅当|PF 2|＝2|PF 1|，即|PF 2|=83
，|PF 1|=43
时等号成立． 故答案为：9
4．
12．（2020•东湖区校级模拟）已知椭圆
x 2m 2
+y 2=1（m ＞0）的焦点为F 1，F 2，若在长轴A 1A 2上任取一点M ，过点
M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，若使得PF 1→
•PF 2→
＜0的点M 的概率为√6
3
，则m 的值为__________． 【答案】2或1
2
【解析】联立椭圆x 2
m 2+y 2=1（m ＞0），x 2+y 2＝c 2， 当m ＞1时，解得x =±
m√c 2−1
c
，故只要在长轴A 1A 2上任取一点M ，
过点M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ， 若使得PF 1→
•PF 2→
＜0的点M
的概率为√6
3，可得2m √c 2−1
c
2m
=
√6
3
，m ＝2． 当0＜m ＜1时，解得y ＝±√c 2−m 2
1−m 2，由2√
c 2−m 21−m 2
2
=
√6
3
，解得m =1
2．
故答案为：2或1
2．
13．（2020•桃城区校级模拟）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 的短轴长为4√6，且两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为__________． 【答案】x 2
25+y 2
24=1
【解析】椭圆的短轴长为4√6，即4√6=2b ，∴b =2√6，即a 2﹣c 2＝24（*）． ∵2个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点， ∴2c =15×2a ，得a ＝5c ，代入（*）式， 解得c ＝1，a ＝5，
故该椭圆的标准方程为x 2
25+y 2
24=1． 故答案为：x 2
25+y 2
24=1．
14．（2020•威海一模）已知椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P(−1，3
2)是椭圆上一点，|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若A 为椭圆的右顶点，直线AP 与y 轴交于点H ，过点H 的另一直线与椭圆交于M 、N 两点，且S △HMA ＝6S △PHN ，求直线MN 的方程．
【解析】（Ⅰ）因为|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，所以a ＝2c ，得a 2＝4c 2． 又P(−1，3
2)在椭圆上，所以
14c
2+
34c 2
=1，所以c ＝1，a 2＝4，b 2＝a 2﹣c 2＝3，
可得椭圆的标准方程为
x 24
+
y 23
=1．
（Ⅱ）因为P(−1，32
)，由（Ⅰ）计算可知A （2，0），H （0，1）， 当直线MN 与x 轴垂直时，不合题意．
当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝kx +1， 联立直线与椭圆的方程{y =kx +1x 24+y 23=1，可得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8＝0，
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由韦达定理可得{x 1+x 2=−8k
4k 2+3
x 1x 2=−8
4k 2
+3
， 由S △HMA ＝6S △PHN ，可得|AH ||MH |＝6|NH ||PH |，又|AH |＝2|PH |， 所以|MH |＝3|NH |，得x 1＝﹣3x 2， 带入①，可得{−2x 2=−8
4k +3
−3x 22=−84k 2+3，
所以3×16k 2
(4k 2+3)2=8
4k 2+3，解得k =±√62
， 所以直线MN 的方程为y =±
√62
x +1．
15．（2020•4月份模拟）已知椭圆，C 的中心为O ，左、右焦点分别为F 1，F 2．上顶点为A ，右顶点为B ，且|OB |、|OA |、|OF 2|成等比数列． （1）求椭圆C 的离心率；
（2）判断△F 1AB 的形状，并说明理由．
【解析】（1）设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a ，2b ，2c ， 则|OB |＝a ，|OA |＝b ，|OF 2|＝c ，
由题设可得b 2＝ac 及b 2＝a 2﹣c 2可得c 2+ac ﹣a 2＝0， 即e 2+e ﹣1＝0，解得e =−1±√5
2，而e ∈（0，1），
所以椭圆的离心率为e =
−1+√52；
（2）设椭圆的方程为：x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0），则A （0，b ），B （a ，0），F 1（﹣
c ，0）， 因为b 2＝ac ，AF 1→
=（﹣c ，﹣b ），AB →
=（a ，﹣b ），
所以AF 1→⋅AB →
=−ac +b 2＝0，所以AF 1⊥AB ， 即△ABF 1为直角三角形．
16．（2020•潍坊模拟）已知椭圆C 1：x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点与抛物线C 2：y 2＝2px （p ≥0）的焦点重合．C 1
的离心率为1
2，过C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截C 2所得的弦长为4√2． （1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；
（2）过点M （3，0）的直线l 与椭圆C 1交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 过定点．
【解析】（1）由C 1的离心率为1
2
，可得c
a
=1
2
，所以a ＝2c ，
因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以a =p
2，p ＝2a ， 所以可得p ＝4c ，
过C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截C 2所得的弦长为4√2，令x ＝c 代入抛物线的方程：可得y 2＝2p •c ，所以|y |=√2pc =2√2c ，
即4√2=2⋅2√2c ，解得c ＝1，所以a ＝2，p ＝4c ＝4 由b 2＝a 2﹣c 2可得b 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆C 1和抛物线C 2的方程分别为：
x 24
+
y 23
=1，y 2＝8x ；
（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x ＝my +3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意可得E （x 2，﹣y 2），
直线与椭圆联立：{x =my +33x 2+4y 2−12=0，整理可得：（4+3m 2）y 2+18my +15＝0，△＝182m 2﹣4（4+3m 2）•15＞0，
可得m 2＜7，y 1+y 2=
−18m 4+3m
2，y 1y 2=
154+3m 2
，
直线AE 的方程为：y ﹣y 1=y 1+y
2x 1
−x 2
（x ﹣x 1），整理可得：y =y 1+y
2x 1
−x 2
x −
y 1x 1+y 2x 1x 1−x 2
+
y 1x 1−y 1x 2x 1−x 2
=
y 1+y 2
m(y 1−y 2)
x −
y 2(my 1+3)+y 1(my 2+3)
m(y 1−y 2)
=
−18
(y 1−y 2)(4+3m 2)x +
24
(y 1−y 2)(4+3m 2)
=
−18
(y 1−y 2)(4+3m 2)
（x −4
3
）
所以当x =4
3时，y ＝0，即过定点（4
3，0）， 所以可证直线AE 过定点（4
3，0）．
17．（2020•大武口区校级一模）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2
b 2=1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1，F 2，离心率为1
2，点P 为椭圆C 上一动点，且△PF 1F 2的面积最大值为√3，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为椭圆C 上的两个动点，当x 1x 2+y 1y 2为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值．
【解析】（1）根据题意，因为P 在椭圆上，
当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时△PF 1F 2面积最大， 所以1
2×2c ×b =bc =√3，由{bc =√3
c a =
1
2
a 2=
b 2+
c 2
，解得{a =2
b =√3
c =1，
所以椭圆方程为x 24+
y 23
=1．
（2）根据题意，在x 1≠x 2时，设直线MN 方程为y ＝kx +m ，原点到此直线的距离为d =
√1+k
2
，即d 2=m 2
1+k 2， 由{y =kx +m
x 24
+y 23
=1
，得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，△＝64k 2m 2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＞0，m 2＜4k 2+3，
所以x 1+x 2=−
8km 3+4k 2
，x 1x 2=
4m 2−123+4k 2
，
x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅4m 2−123+4k 2
−8k 2m 2
3+4k 2+
m 2=
7m 2−12(k 2+1)
3+4k 2
，
所以当x 1x 2+y 1y 2＝0时，m 2
=
127
(1+k 2)，d 2
=m 2
1+k 2=
12
7
，d =2√21
7
为常数． 若x 1＝x 2，则y 1＝﹣y 2，x 1x 2+y 1y 2=x 12−y 12=0，x 12=y 12
，x 2=
12
7
，d =|x|=2√21
7
， 综上所述，当x 1x 2+y 1y 2＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值2√21
7
． 18．（2020•大武口区校级一模）若椭圆C ：x 2a +
y 2b =1（a ＞b ＞0）的顶点到直线l 1：y ＝x 的距离分别为√2和√2
2
．
（1）求椭圆C 的标准方程
（2）设平行于l 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程． 【解析】（1）由直线l 1：y ＝x 可知其与两坐标轴的夹角均为45°， 故长轴端点到直线l 1的距离为√2
2a ，短轴端点到直线l 1的距离为√2
2b ， 所以√2
2a =√2，√2
2b =
√2
2
，解得a ＝2，b ＝1，
所以椭圆C 的标准方程为x 2
4+y 2=1． （2）设直线l ：y ＝x +t （t ≠0），
联立{y =x +t x 2
4
+y 2
=1
，整理得5x 2+8tx +4t 2﹣4＝0，
则△＝64t 2﹣16×5（t 2﹣1）＞0，解得−√5＜t ＜√5， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8t
5，x 1x 2=4t 2−45
，
故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=(x 1+x 2)t +x 1x 2+t 2
=t 2−45
，
因为OA ⊥OB ，
即OA →⋅OB →
=x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45
+
t 2−45
=0．
解得t =±
2√10
5
，满足−√5＜t ＜√5且t ≠0， 所以直线l 的方程为y =x +
2√10
5
或y =x −
2√10
5
． 19．（2020•海安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点分别为椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点和上顶点，且AB =√7，右准线l 的方程为x ＝4． （1）求椭圆的标准方程；
（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q ．若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c （c ＞0）．
{a 2c
=4
a 2=
b 2+
c 2√a 2+b 2=√7
，解得：{a 2
=4b 2=3
，
所以椭圆的标准方程为：x 24+
y 23
=1．
（2）由题意得直线PQ 不垂直x 轴，设PQ ：y ＝k （x ﹣2）． 联立{y =k(x −2)3x 2+4y 2
=12可得（4k 2+3）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0． ∴x A +x P =16k 2
4k 2+3，x P =8k 2−6
4k 2+3， ∴P （8k 2−6
4k +3，−12k 4k +3）．
联立{y =k(x −2)x =4
，可得Q （4，2k ）．
因为以PQ 为直径的圆经过原点，所以OP →
⋅OQ →
=4⋅8k 2−64k 2+3
+2k ⋅
−12k 4k 2+3
=0．
解得k =±√3．
∴PQ 直线方程为：√3x −y −2√3=0，或√3x +y −2√3=0．
20．（2020•渭南一模）已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的顶点到直线l 1：y ＝x 的距离分别为√2和√2
2． （1）求椭圆C 的标准方程
（2）设平行于l 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且|OA →
+OB →
|＝|AB →
|，求直线l 的方程． 【解析】（1）由直线l 1：y ＝x 可知其与两坐标轴的夹角均为45°，
故长轴端点到直线l 1的距离为√22a ，短轴端点到直线l 1的距离为√22
b ， 所以√22
a =√2，√22
b =
√2
2
，解得a ＝2，b ＝1，
所以椭圆C 的标准方程为x 2
4+y 2=1； （2）设直线l ：y ＝x +t （t ≠0），
联立{y =x +t x 2
4
+y 2
=1
，整理得5x 2+8tx +4t 2﹣4＝0，
则△＝64t 2﹣16×5（t 2﹣1）＞0，解得−√5＜t ＜√5， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8t
5，x 1x 2=
4t 2−45
，
故y 1y 2＝（x 1+t ）（x 2+t ）＝（x 1+x 2）t +x 1x 2+t 2=t 2−45
，
因为|OA →
+OB →
|＝|AB →
|，所以OA ⊥OB ， 即OA →
⋅OB →
=x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45
+
t 2−45
=0， 解得t ＝±
2√10
5
，满足−√5＜t ＜√5且t ≠0，
所以直线l 的方程为y ＝x +2√10
5
或y ＝x −2√105
．
21．（2020•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a
2+y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），
下顶点为P ，过点M （0，b
2）的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． （1）当直线l 平行于x 轴时，P ，F ，A 三点共线，且P A =
3√3
2
，求椭圆C 的方程；
（2）当椭圆C 的离心率为何值时，对任意的动直线l ，总有P A ⊥PB ？
【解析】（1）当直线l 与x 轴平行时，即l ：y =1
2b ，
如图，作AD ⊥x 轴交x 轴于点D ，则根据AD OP =FD OF =AF PF 12，可得A （32c ，1
2b ）， 且P A =32PF =32√c 2+b 2=3
2a =3√3
2
，解得a =√3，
又因为A 在椭圆上，所以94c 2
a 2
+
14b 2b 2
=1，解得c 2=1
3a 2＝1，所以b 2＝3﹣1＝2，
所以椭圆C 的方程为x 2
3+
y 22
=1；
（2）①当直线l 平行于x 轴时， 由P A ⊥PB ，得k P A •k PB =
32b √32
a 32
b −√32
a =−1，
∴a 2＝3b 2，又a 2＝b 2+c 2，∴2a 2＝3c 2，∴e 2=23
， ∵e ∈（0，1），∴e =
√6
3
． ②当直线l 不平行于x 轴时，下面证明当e =√6
3
时，总有P A ⊥PB ，
事实上，由①知椭圆可化为
x 2
3b
2+
y 2b 2
=1，∴x 2+3y 2＝3b 2，
设直线l 的方程为y ＝kx +b 2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{y =kx +b
2x 2+3y 2=3b 2，得（1+3k 2）x 2+3kbx −9
4b 2=0，
∴x 1+x 2=
−3kb 1+3k 2，x 1x 2=
−94
b 21+3k 2
，
∵PA →
=(x 1，y 1+b)，PB →
=(x 2，y 2+b)， ∴PA →⋅PB →
=x 1x 2+（y 1+b ）（y 2+b ）=x 1x 2+(kx 1+3b
2
)(kx 2+3b 2
)
=(1+k 2)x 1x 2+3kb 2
(x 1+x 2)+9
4
b 2
=(1+k 2
)⋅−9
4
b 21+3k
2+
3kb 2
⋅
−3kb 1+3k
2+9
4
b 2
=
−9
4
b 2(1+3k 2)
1+3k 2+9
4
b 2
=−9
4
b 2+9
4
b 2=0．
∴P A ⊥PB ，
综上，当椭圆C 的离心率为√63
时，对任意的动直线l ，总有P A ⊥PB ．
22．（2020•阳泉三模）已知椭圆M ：x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√3
2，且椭圆上一点P 的坐标为（√2，√2
2）． （1）求椭圆M 的方程；
（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．
【解析】（1）由已知e =c a
=
√3
2
，又a 2＝b 2+c 2，则a ＝2b ．
椭圆方程为
x 2
4b
2
+y 2b 2
=1，
将（√2，√2
2）代入方程得b ＝1，a ＝2， 故椭圆的方程为x 2
4+y 2=1；
（2）不妨设直线AB 的方程x ＝ky +m ， 联立{x =ky +m x 2
4
+y 2
=1
，消去x 得（k 2+4）y 2+2kmy +m 2﹣4＝0．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有y 1+y 2=
−2km
k 2+4
，y 1y 2=m 2−4k 2+4
，①
又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，∴CA →
⋅CB →
=0， 由CA →
=(x 1−2，y 1)，CB →
=(x 2−2，y 2)， 得（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝0， 将x 1＝ky 1+m ，x 2＝ky 2+m 代入上式得：
(k 2+1)y 1y 2+k(m −2)(y 1+y 2)+(m −2)2=0， 将①代入上式求得m =6
5或m ＝2（舍）， 则直线l 恒过点（6
5，0）．
∴S △ABC =12|DC|⋅|y 1−y 2|=12×45√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=825√25(k 2+4)−36(k 2+4)2
，
设t =
1k 2+4
（0＜t ≤1
4
），则S △ABC =
8
25
√−36t 2+25t ， ﹣36t 2+25t 的对称轴方程为t =25
72，在上（0，1
4]上单调递增， ∴当t =1
4时，取得最大值为16
25．
23．（2020•兴庆区校级四模）已知椭圆方程为
x 26
+
y 23
=1．
（1）设椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上运动，求|PF 1|⋅|PF 2|+PF →
1⋅PF 2→
的值．
（2）设直线l 和圆x 2+y 2＝2相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA ，OB 分别和圆x 2+y 2＝2交于两点，设△AOB ，△COD 的面积分别为S 1，S 2，求S
1S 2
的取值范围．
【解析】（1）由已知，F 1（−√3，0），F 2（√3，0），设P （x ，y ）， 由焦半径公式可得|PF 1|⋅|PF 2|=(√6+
√22x)(√6−√2
2
x)=6−1
2x 2，
PF 1→
⋅PF 2→
=(−√3−x ，−y)⋅(√3−x ，−y)=x 2+y 2﹣3．
结合
x 26
+
y 23
=1，得y 2=3−1
2
x 2，
故|PF 1|⋅|PF 2|+PF →
1⋅PF 2→
=6−12
x 2+12
x 2=6； （2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，
由对称性，不妨设x =√2，此时A （√2，√2），B （√2，−√2），C （1，1），D （1，﹣1）， 故
S 1S 2
=2
1
=2．
若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ， 由已知可得
2
=√2，则m 2＝2（1+k 2），
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线l 与椭圆方程联立， 得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0． x 1+x 2=−4km
2k 2+1，x 1x 2=
2m 2−62k 2+1
．
结合|OC |＝|OD |=√2及y 12=3−12
x 12，y 22=3−12
x 22， 可知
S 1S 2
=
1
2|OA|⋅|OB|⋅sin∠AOB 1
2
|OC|⋅|OD|⋅sin∠COD =12|OA|⋅|OB|=1
2
√x 12+y 12⋅√x 22+y 22 =12√(3+12
x 12)(3+1
2
x 22)=12
√9+32
[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+14
(x 1x 2)2．
将根与系数的关系代入整理得：
S 1S 2
=12√9+
12k m −6m +36k +18+(m −3)(2k 2+1)2，
结合m 2＝2（k 2+1），得S
1S 2
=1
2√9+
28k 4+44k 2+7(2k 2+1)2
．
设t ＝2k 2+1≥1，u =1
t
∈（0，1]，
则S 1S 2
=12√9+
7t 2+8t−8
t 2
=12√−8t 2+8t +16=1
2√−8u 2+8u +16∈[2，
3√2
2
]． ∴S
1S 2
的取值范围是[2，
3√2
2
]．
24．（2020•黄冈模拟）已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为点F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，。