工程力学-第七章-扭转

等直圆杆扭转时的强度条件
τ max
Tmax = ≤ [τ ] Wp
切应力强度条件的讨论：
强度条件的应用： τ max （1）校核强度 （2）设计截面
Tmax = ≤ [τ ] Wp
（3）确定构件所能承受的最大安全载荷
例题
解题思路：求出最大切应力，与许用切应力比较
§7-5 等直圆杆扭转时的变形和刚度条件
§7-2薄壁圆筒的扭转
r0 1．薄壁圆筒( δ ≤ )扭转的内力和变形 10
：
扭矩T：作用在横截面上用以抵抗外力偶矩的内力偶矩
内力平衡方程:
T = Me
相对扭转角：圆筒两端截面之间相对转动的角位移
2．薄壁圆筒扭转的应力和应变 切应变：变形后直角的改变量
切应变和相对扭转角的关系：
γ=
ϕr
l
其中r 为薄壁圆筒的外半径，l 为截面间的长度
（1）切应力分布规律 横截面上各点处切应力的变化规律如图3-16所示。
切应力分布的特点：(1) 周边的切应力与周边相切； (2) 角点的切应力为零； (3) 最大切应力在矩形截面长边的中点。
（2）最大切应力
最大切应力发生在矩形截面的长边中点处，其值为：
T τ max = Wt
3 仍称为扭转截面系数，其计算公式为 W = β b Wt t
等直圆杆在扭转时横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动 根据平面假设，等直圆杆扭转以后横截面的大小和形状保持不 变，横截面间的距离也保持不变;而圆杆表面上的纵向线则倾斜 了一个角度。 γ
m
m
γ
γ
为确定横截面上任一点处的切应变的变化规律，假想地截 取长为dx的杆段进行分析。 横截面周边 A 点的切应变:
γ
横截面半径上 E 点的切应变:
GG′ ρdϕ = γ ρ ≈ tan γ ρ = dx EG
γρ =
ρ dϕ
dx
此即等直圆杆横截面上任一点处的切应变与该点位置的关系， 也就是应变与位移的关系式（几何关系）。 推论：（1）切应变与半径 ρ 成正比 （2）同一半径 ρ 的圆周上各点处的切应变 γ ρ 相同
薄壁圆筒扭转时的应力： （1）横截面形状、大小不变，且没有轴向位移，因此没有正应 力存在。 （2）根据切应变在圆周上处处相等的现象，以及壁厚 δ 很小， 推知切应力方向为圆周方向，且处处相等。 （3）切应力的合力为扭矩
∫ (τ dA) ⋅ r = T
A
简化为: τ r0
∫
A
dA = T
化简后得到薄壁圆管扭转的切应力公式 ：
τ = τ ′ ，得到
σ α = −τ sin 2α τ α =τ cos 2α
上两式即为纯剪切应力状态下斜截面上的应力公式。
σ α = −τ sin 2α
τ α =τ cos 2α
σ 450 = −τ
推论：(1) 正应力绝对值的最大值在 α = ±45o 的截面上
σ − 450 = τ
(2) 切应力绝对值的最大值在 α = 0o 或α = 90o 的截面上
T
T τ= 2π r02δ
2．薄壁圆筒扭转的应力和应变间的关系
扭转实验发现，在弹性范围内，相对扭转角与外力偶矩成正比：
Me ∝ ϕ
根据薄壁圆管扭转的切应力公式：τ 根据切应变和相对扭转角的关系：
γ ∝ϕ
∝ T = Me
所以切应力与切应变成正比：
τ = Gγ
上式称为剪切胡克定律，比例常数G称为材料的切变模量
§7-3 扭矩及扭矩图
扭矩 T：作用在横截面上用以抵抗外力偶矩的内力偶矩 扭矩的计算方法：截面法
（1）1－1截面上的扭矩
∑M
x
=0
T1 = M 1 − M 2 = 6 M e − M e = 5M e
（2）2－2截面、3－3截面上的扭矩也可根据截面法求得
T1 = 5M e
T2 = 6 M e
T3 = 3M e
τ α , max = τ
不同材料的等直圆杆扭转时的破坏形式也不相同： （a）低碳钢拉压强度高，剪切强度低，因此扭转破坏是剪断； （b）铸铁拉伸强度低于剪切强度，因此扭转破坏是沿与杆轴线 成 45o 倾角的拉断。
算例： 例题3-2
实心圆截面轴I和空心圆截面轴II（图a，b）的材料、
扭转力偶矩Me 和尺度 l 均相同，最大切应力也相等。若空心圆 截面内、外直径之比 α = 0.8 ，试求空心圆截面的外径与实心圆 截面直径之比及两轴的重量比。 思路： 已知条件：两杆的最 大切应力相等
1.3 静力学平衡
由静力学平衡推导等直圆杆扭转时横截面上的切应力计算公式： 横截面上切应力合成的结果：合力＋合力偶。 （1）合力： Q = （2）合力偶：
∫ τ ρ dA
A
T=
∫ ρτ ρ dA
A
Q = ∫ τ ρ dA = 0
A
利用公式
得到： T = G
dϕ τ ρ = Gρ dx dϕ
dx
∫
T = Wt
h 为长边的长度，δ为短边的长度。
τ max
T ϕ= G It
例题
例题
§7-6 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
非圆截面杆的扭转问题需要用弹性力学方法求解。
翘曲变形：
非圆截面杆扭转时，横截面除了绕杆轴发生相对转动外， 还将发生翘曲，而不再保持为平面，因此等直圆杆扭转的计算 公式不再适用。
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1．自由扭转与约束扭转 自由扭转：
若杆件端部无约束，各横截面的翘曲程度相同，则横截面 上只有切应力，没有正应力，称为自由扭转。
工程力学
第七章 扭 转
授课教师： 丁 勇 （宁波大学） 授课对象： 建工城建专业考生
塔科马大桥风致扭转振动——倒塌
损失：一座桥、一辆汽车、一条狗（Tacoma报社）
§7-1概论
1．扭转构件
汽车的转向操纵杆
机器的传动轴
2. 扭转构件的计算简图
受力特征：
外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直 变形特征： 受力后杆件表面的纵向线变形成螺旋线，即杆件任意两 个横截面绕杆件轴线发生相对转动 本章主要介绍等直圆杆的扭转，简单介绍非圆截面杆的 扭转。 在介绍等直圆杆的扭转之前，先研究较简单的薄壁圆筒 的扭转问题，由此来介绍有关切应力、切应变及其关系式。
短边中点的切应力是该边上切应力的最大值
τ = vτ max
（3）矩形截面杆单位长度扭转角的计算公式：
T ϕ= G It I t 称为截面的相当极惯性矩，其计算公式为：
It = α b
4
（4）狭长矩形截面的扭转截面系数 Wt 和相当极惯性矩 I t
h α= β ≈ 3δ
1 2 Wt = hδ 3
1 3 I t = hδ 3
取 ef 截面左边部分，研究该隔离体的 平衡方程。
∑ Fη = 0
σ α dA + (τ dA cos α )sin α + (τ ′dA sin α )cos α = 0
∑ Fξ = 0
τ α dA − (τ dA cos α )cos α + (τ ′dA sin α )sin α = 0
利用切应力互等定理
1．扭转时的变形
扭转时的变形是用两个横截面绕杆轴转动的相对扭转角 来度量：
相对扭转角的计算公式：
dϕ T = ϕ′ = dx GI P
变形的能力。
T Tl dx = ϕ= 0 GI GI P P
∫
l
GI P 称为等直圆杆的扭转刚度，表征圆杆抵抗扭转弹性
例题
解题思路： ϕ BC = ϕ BA + ϕ AC
τ max
Me = Wp
求解：两杆尺寸比例
算例：
薄壁圆筒切应力公式
T T τ= = 2 A0δ 2π r02δ
上式假设切应力沿壁厚方向相等。现在不用这个假 设，而用空心圆轴切应力公式计算该圆筒的最大切应 力，并和上式作比较。
3．等直圆杆扭转时的强度条件 许用切应力 [τ ]：
保证材料正常工作允许承受的最大切应力值。
约束扭转：
若杆件端部受到约束，各横截面的翘曲程度不同，则横截 面上除了切应力外，还存在正应力，称为约束扭转。 实心杆的附加正应力很小，可按照自由扭转计算；薄壁杆 件的附加正应力较大，如果端部受到约束，则需要按照约束扭 转来计算。 下面只介绍矩形截面杆自由扭转时应力和变形的计算方法
2．矩形截面杆的扭转
A
ρ 2 dA
定义横截面的极惯性矩： I p 因此有：
=
dϕ T = dx GI p
∫ ρ dA
2 A
dϕ τ ρ = Gρ dx
Tρ τρ = Ip
即为切应力公式。
Tρ 切应力的计算： τ ρ = Ip
（1）极惯性矩的计算 实心圆截面：
d 2 0
Ip =
∫
A
A
ρ 2dA = ∫ ρ 2 (2πρ dρ ) =
扭矩图：表示扭矩沿轴线变化的图。
§7-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
1．横截面上的应力
与薄壁圆筒相仿，在小变形条件下，等直圆杆扭转时横截 面上也只有切应力，本节研究该切应力的计算公式。
基本思路：几何关系＋物理关系＋静力学公式 几何关系：应变与位移的关系 物理关系：应力与应变的关系
1.1 几何关系 平面假设:
1.2 物理关系 剪切胡克定律： τ = G γ
将圆杆扭转时的几何关系（应变位移关系）代入上式，得：
dϕ τ ρ = Gγ ρ = Gρ dx
此即横截面上切应力与位移的关系。 推论：（1）切应力与半径 ρ 成正比 （2）因为切应变垂直于半径平面， 所以切应力的方向垂直于半径 切应力沿半径的变化情况如图所示:
D 2 d 2
π d4
32
空心圆截面：
Ip =
∫
ρ 2dA = ∫ ρ 2 (2πρ dρ ) =
π (D4 − d 4 )
32
空心圆截面的极惯性矩也可以通过圆截面 极惯性矩相减得到：
Ip =
πD 4
32
－
πd 4
32
= I p外圆－I p内圆
（2）最大切应力和扭转截面系数 切应力的最大值在横截面周边各点处:
τ max
定义 W p =
Ip r
Tr = Ip
为扭转截面系数，则
τ max
T = Wp
切应力公式的适用性： （1）均匀、连续、各项同性材料，线弹性、小变形条件下。 （2）适用于实心、空心等直圆截面杆。
2 斜截面上的应力 平面应力状态：
单元体有一对平面上的应力为零，即不等于零的应力分量均 处于同一坐标平面内，则称为平面应力状态。 扭转单元体图中 xy 平面上应力为 零，所以处于平面应力状态，可以用 平面图来表示： 现分析在单元体内垂直于前、后 两平面的任一斜截面ef上的应力