工程力学-第七章-扭转
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扭矩图:表示扭矩沿轴线变化的图。
§7-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
1.横截面上的应力
与薄壁圆筒相仿,在小变形条件下,等直圆杆扭转时横截 面上也只有切应力,本节研究该切应力的计算公式。
基本思路:几何关系+物理关系+静力学公式 几何关系:应变与位移的关系 物理关系:应力与应变的关系
1.1 几何关系 平面假设:
T
T τ= 2π r02δ
2.薄壁圆筒扭转的应力和应变间的关系
扭转实验发现,在弹性范围内,相对扭转角与外力偶矩成正比:
Me ∝ ϕ
根据薄壁圆管扭转的切应力公式:τ 根据切应变和相对扭转角的关系:
γ ∝ϕ
∝ T = Me
所以切应力与切应变成正比:
τ = Gγ
上式称为剪切胡克定律,比例常数G称为材料的切变模量
例题
§7-6 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
非圆截面杆的扭转问题需要用弹性力学方法求解。
翘曲变形:
非圆截面杆扭转时,横截面除了绕杆轴发生相对转动外, 还将发生翘曲,而不再保持为平面,因此等直圆杆扭转的计算 公式不再适用。
1.自由扭转与约束扭转 自由扭转:
若杆件端部无约束,各横截面的翘曲程度相同,则横截面 上只有切应力,没有正应力,称为自由扭转。
短边中点的切应力是该边上切应力的最大值
τ = vτ max
(3)矩形截面杆单位长度扭转角的计算公式:
T ϕ= G It I t 称为截面的相当极惯性矩,其计算公式为:
It = α b
4
(4)狭长矩形截面的扭转截面系数 Wt 和相当极惯性矩 I t
h α= β ≈ 3δ
1 2 Wt = hδ 3
1 3 I t = hδ 3
取 ef 截面左边部分,研究该隔离体的 平衡方程。
∑ Fη = 0
σ α dA + (τ dA cos α )sin α + (τ ′dA sin α )cos α = 0
∑ Fξ = 0
τ α dA − (τ dA cos α )cos α + (τ ′dA sin α )sin α = 0
利用切应力互等定理
D 2 d 2
π d4
32
空心圆截面:
Ip =
∫
ρ 2dA = ∫ ρ 2 (2πρ dρ ) =
π (D4 − d 4 )
32
空心圆截面的极惯性矩也可以通过圆截面 极惯性矩相减得到:
Ip =
πD 4
32
-
πd 4
32
= I p外圆-I p内圆
(2)最大切应力和扭转截面系数 切应力的最大值在横截面周边各点处:
§7-3 扭矩及扭矩图
扭矩 T:作用在横截面上用以抵抗外力偶矩的内力偶矩 扭矩的计算方法:截面法
(1)1-1截面上的扭矩
∑M
x
=0
T1 = M 1 − M 2 = 6 M e − M e = 5M e
(2)2-2截面、3-3截面上的扭矩也可根据截面法求得
T1 = 5M e
T2 = 6 M e
T3 = 3M e
1.2 物理关系 剪切胡克定律: τ = G γ
将圆杆扭转时的几何关系(应变位移关系)代入上式,得:
dϕ τ ρ = Gγ ρ = Gρ dx
此即横截面上切应力与位移的关系。 推论:(1)切应力与半径 ρ 成正比 (2)因为切应变垂直于半径平面, 所以切应力的方向垂直于半径 切应力沿半径的变化情况如图所示:
§7-2薄壁圆筒的扭转
r0 1.薄壁圆筒( δ ≤ )扭转的内力和变形 10
:
扭矩T:作用在横截面上用以抵抗外力偶矩的内力偶矩
内力平衡方程:
T = Me
相对扭转角:圆筒两端截面之间相对转动的角位移
2.薄壁圆筒扭转的应力和应变 切应变:变形后直角的改变量
切应变和相对扭转角的关系:
γ=
ϕr
l
其中r 为薄壁圆筒的外半径,l 为截面间的长度
τ = τ ′ ,得到
σ α = −τ sin 2α τ α =τ cos 2α
上两式即为纯剪切应力状态下斜截面上的应力公式。
σ α = −τ sin 2α
τ α =τ cos 2α
σ 450 = −τ
推论:(1) 正应力绝对值的最大值在 α = ±45o 的截面上
σ − 450 = τ
(2) 切应力绝对值的最大值在 α = 0o 或α = 90o 的截面上
τ max
Me = Wp
求解:两杆尺寸比例
算例:
薄壁圆筒切应力公式
T T τ= = 2 A0δ 2π r02δ
上式假设切应力沿壁厚方向相等。现在不用这个假 设,而用空心圆轴切应力公式计算该圆筒的最大切应 力,并和上式作比较。
3.等直圆杆扭转时的强度条件 许用切应力 [τ ]:
保证材料正常工作允许承受的最大切应力值。
等直圆杆在扭转时横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动 根据平面假设,等直圆杆扭转以后横截面的大小和形状保持不 变,横截面间的距离也保持不变;而圆杆表面上的纵向线则倾斜 了一个角度。 γ
m
m
γ
γ
为确定横截面上任一点处的切应变的变化规律,假想地截 取长为dx的杆段进行分析。 横截面周边 A 点的切应变:
T = Wt
h 为长边的长度,δ为短边的长度。
τ max
T ϕ= G It
例题
(1)切应力分布规律 横截面上各点处切应力的变化规律如图3-16所示。
切应力分布的特点:(1) 周边的切应力与周边相切; (2) 角点的切应力为零; (3) 最大切应力在矩形截面长边的中点。
(2)最大切应力
最大切应力发生在矩形截面的长边中点处,其值为:
T τ max = Wt
3 仍称为扭转截面系数,其计算公式为 W = β b Wt t
等直圆杆扭转时的强度条件
τ max
Tmax = ≤ [τ ] Wp
切应力强度条件的讨论:
强度条件的应用: τ max (1)校核强度 (2)设计截面
Tmax = ≤ [τ ] Wp
(3)确定构件所能承受的最大安全载荷
例题
解题思路:求出最大切应力,与许用切应力比较
§7-5 等直圆杆扭转时的变形和刚度条件
γ
横截面半径上 E 点的切应变:
GG′ ρdϕ = γ ρ ≈ tan γ ρ = dx EG
γρ =
ρ dϕ
dx
此即等直圆杆横截面上任一点处的切应变与该点位置的关系, 也就是应变与位移的关系式(几何关系)。 推论:(1)切应变与半径 ρ 成正比 (2)同一半径 ρ 的圆周上各点处的切应变 γ ρ 相同
工程力学
第七章 扭 转
授课教师: 丁 勇 (宁波大学) 授课对象: 建工城建专业考生
塔科马大桥风致扭转振动——倒塌
损失:一座桥、一辆汽车、一条狗(Tacoma报社)
§7-1概论
1.扭转构件
汽车的转向操纵杆
机器的传动轴
2. 扭转构件的计算简图
受力特征:
外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直 变形特征: 受力后杆件表面的纵向线变形成螺旋线,即杆件任意两 个横截面绕杆件轴线发生相对转动 本章主要介绍等直圆杆的扭转,简单介绍非圆截面杆的 扭转。 在介绍等直圆杆的扭转之前,先研究较简单的薄壁圆筒 的扭转问题,由此来介绍有关切应力、切应变及其关系式。
τ max
定义 W p =
Ip r
Tr = Ip
为扭转截面系数,则
τ max
T = Wp
切应力公式的适用性: (1)均匀、连续、各项同性材料,线弹性、小变形条件下。 (2)适用于实心、空心等直圆截面杆。
2 斜截面上的应力 平面应力状态:
单元体有一对平面上的应力为零,即不等于零的应力分量均 处于同一坐标平面内,则称为平面应力状态。 扭转单元体图中 xy 平面上应力为 零,所以处于平面应力状态,可以用 平面图来表示: 现分析在单元体内垂直于前、后 两平面的任一斜截面ef上的应力
1.3 静力学平衡
由静力学平衡推导等直圆杆扭转时横截面上的切应力计算公式: 横截面上切应力合成的结果:合力+合力偶。 (1)合力: Q = (2)合力偶:
∫ τ ρ dA
A
T=
∫ ρτ ρ dA
A
Q = ∫ τ ρ dA = 0
A
利用公式
得到: T = G
dϕ τ ρ = Gρ dx dϕ
dx
∫
1.扭转时的变形
扭转时的变形是用两个横截面绕杆轴转动的相对扭转角 来度量:
相对扭转角的计算公式:
dϕ T = ϕ′ = dx GI P
变形的能力。
T Tl dx = ϕ= 0 GI GI P P
∫
l
GI P 称为等直圆杆的扭转刚度,表征圆杆抵抗扭转弹性
例题
解题思路: ϕ BC = ϕ BA + ϕ AC
薄壁圆筒扭转时的应力: (1)横截面形状、大小不变,且没有轴向位移,因此没有正应 力存在。 (2)根据切应变在圆周上处处相等的现象,以及壁厚 δ 很小, 推知切应力方向为圆周方向,且处处相等。 (3)切应力的合力为扭矩
∫ (τ dA) ⋅ r = T
A
简化为: τ r0
∫
A
dA = T
化简后得到薄壁圆管扭转的切应力公式 :
A
ρ 2 dA
定义横截面的极惯性矩: I p 因此有:
=
dϕ T = dx GI p
∫ ρ dA
2 A
dϕ τ ρ = Gρ dx
Tρ τρ = Ip
即为切应力公式。
Tρ 切应力的计算: τ ρ = Ip
(1)极惯性矩的计算 实心圆截面:
d 2 0
Ip =
∫
A
A
ρ 2dA = ∫ ρ 2 (2πρ dρ ) =
约束扭转:
若杆件端部受到约束,各横截面的翘曲程度不同,则横截 面上除了切应力外,还存在正应力,称为约束扭转。 实心杆的附加正应力很小,可按照自由扭转计算;薄壁杆 件的附加正应力较大,如果端部受到约束,则需要按照约束扭 转来计算。 下面只介绍矩形截面杆自由扭转时应力和变形的计算方法
2.矩形截面杆的扭转
τ α , max = τ
不同材料的等直圆杆扭转时的破坏形式也不相同: (a)低碳钢拉压强度高,剪切强度低,因此扭转破坏是剪断; (b)铸铁拉伸强度低于剪切强度,因此扭转破坏是沿与杆轴线 成 45o 倾角的拉断。
算例: 例题3-2
实心圆截面轴I和空心圆截面轴II(图a,b)的材料、
扭转力偶矩Me 和尺度 l 均相同,最大切应力也相等。若空心圆 截面内、外直径之比 α = 0.8 ,试求空心圆截面的外径与实心圆 截面直径之比及两轴的重量比。 思路: 已知条件:两杆的最 大切应力相等