平面几何100题 70页

61.设ω是△ABC的外接圆，ΓA是与线段AB、AC相切且与ω内切的圆，Γ

B是与线段BA、BC相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段CA、CB相切且与ω内切的圆．设过B、C且与Γ

A 相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、

B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：AX、BY、CZ三线共点．

62.设⊙I是△ABC的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆．设P、Q、R、S、T、U分别是⊙w与BC、⊙v与BC、⊙v与AB、⊙u与AB、⊙u与CA、⊙w与AC的交点（均不同于A、B、C）．I1、I2分别是△ARQ、△BST的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．I A是△AST∠

SAT内的旁心，类似定义I B、I C．求证∶△I A I2I3、△I B I6I1、△I C I4I5的欧拉线共点．

63.以凸四边形ABCD为边长向外作正方形AE1E2B、BF1F2C、CG1G2D、DH1H2A．连接AF1、BG1、CH1、DE1交出四边形A'B'C'D'，连接DF2、AG2、BH2、CE2交出四边形A''B''C''D''．证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．

64.圆内接四边形ABCD中，直线AC、BD交于E，直线AB、CD交于F，直线BC、DA交于G．设△ABE的外接圆与直线CB交于B、P两点，△ADE的外接圆与直线CD交于D、Q两点．设直线FP、GQ交于点M，证明∶AM⊥AC．

65.设⊙X、⊙Y、⊙Z分别为△ABC∠BAC、∠ABC、∠BCA内的旁切圆，D、E、F、G、H、

I分别是⊙Z与AC、⊙Z与BC、⊙X与AB、⊙X与AC、⊙Y与BC、⊙Y与AB的切点．FD、GI交于J，IE、HF交于K，EG、DH交于L，设M、N、O、P、Q、R分别是KL、LJ、JK、BC、CA、AB的中点．证明∶直线MP、NQ、OR三线共点．

66.已知凸六边形ABCDEF既有外接圆又有内切圆，记△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、

△EFA、△FAB的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.l AB表示ωb、ωa的另一条外公切线（不为AB），类似定义l BC、l CD、l DE、l EF、l FA.设l FA与l AB的交点为A1，类似定义B1、C1、

D1、E1、F1．若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形，证明：该六边形的对角线共点．

67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C，且在直线AC同侧，Γ2在Γ1与Γ3之间，B是线段AC上一点，由B引三条射线h1、h2、h3，与Γ1、Γ2、Γ3在直线AC的同侧，且h2在h1与 h3

之间．设h i与Γj（i,j=1,2,3）的交点为V ij.由线段V ij V il、V kj V kl及弧V ij V kj、弧V il V kl构成的曲

边四边形记为V ij V kj V kl V il,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个

曲边四边形的内切圆．证明：若曲边四边形V

V21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V22

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均有内切圆，则曲边四边形V

V32V33V23也有内切圆．

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68.设△ABC的内心为I，⊙I分别切边BC，CA，AB于点D、E、F，设AI与DE、DF交于点M、N，以MN为直径的圆交BC于P、Q．已知△APQ的外接圆与⊙I切于R，△ABC 的外接圆与九点圆切于Fe,设RFe与DE、DF分别交于点M'、N'．以M'N'为直径的圆交BC 于点P'、Q'．证明：△AP'Q'的外接圆与⊙I的根轴平分线段BC．

69.设I是△ABC的内心，∠BAC、∠ABC、∠BCA的内角平分线分别交对边于点D、E、F．记H是△DEF垂心．证明：IH与△ABC的欧拉线平行．

70.设⊙O、⊙P、⊙Q分别是△ABC∠BAC、∠CBA、∠ACB内的旁切圆，G、H、I、J、K、L分别是⊙P与AB、⊙Q与AC、⊙Q与BC、⊙O与AB、⊙O与AC、⊙P与BC的切点．证明∶△JKD、△LGE、△HIF、△ABC的欧拉线共点．

71.△ABC中，O为外心，K为△ABC九点圆圆心关于△ABC的等角共轭点.K在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，H是△DEF垂心.证明：O、K、H共线.

72.已知H、I分别为△ABC垂心、内心，D、E、F分别在射线AH、BH、CH上，且AD=BE=CF=2r, 这里r是△ABC的内切圆半径.证明：I也为△DEF内心.

73.已知B、I1、I2、C是⊙M上顺次四点，BI1与CI2交于A，△I1I2M的外接圆与AB、AC

再次交于M1、M2，点O'满足M1O'∥CI1，M2O'∥BI2．X、Y为△ABC的一组等角共轭点，D、E分别在AB、AC上使得XD∥CI1、XE∥BI2，N为△BMC外接圆弧BC（不含M）的中点，XN与△BMC外接圆的另一个交点为F．证明：X、Y、O'共线当且仅当△DEF外接圆与△I1I2M的外接圆相切．

74.设△ABC∠BAC内的旁切圆切AB、AC于G、F，∠ABC内的旁切圆⊙P切AB、AC于E、N，∠ACB内的旁切圆⊙Q切AB、AC于M、D．直线DE、MN分别交⊙Q于H、J，交⊙P 于I、K．HC、BI交于X，JF、KG交于Y，证明∶∠BAX＝∠CAY．

75.△ABC的内切圆⊙I切BC于D，连接AD交⊙I于J，K在JD上且DK=AJ，若BJ⊥CJ，证明：I、K关于△JBC等角共轭.

76.O为△ABC外心，BC、CA上的旁切圆切点分别是X、Y，AX、BY交于点N.圆Γ1切BA、 CA

延长线于E、D使得AD=AE=BC，类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ

1、Γ

2、Γ3均外切的圆，证明:N、O、U共线.