第二章系统生物学模型的基本理论和基本方法
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的变化，如时间t；
牛顿第二定律：
d 2s f (s) m
dt 2
偏微分方程(Partial Differential Equation，简称 PDE)：含有未知函数及其偏导数的方程。
拉普拉斯方程，泊松方程 等
ODE已广泛应用在生命系统模型中。
ODE的阶数，由最高导数n决定。 微分方程的解：
经验法:
经验模型的产生依赖于足够多的实验数据。
用统计学的方法将几种可能的方程类型 分别与实验数据相拟合，选择一个最佳拟合 方程作为经验模型方程。
这种模型的特点是抛开被研究系统的复 杂理论，只利用实验数据就能求出模型方程。
解析法:
解析法必须依赖于对所研究对象的理论推导， 得到一个解析方程。
如果由实验得到的数据和由解析方程得到的 数据高度相关时，就可以把由理论推导的解 析方程作为被研究系统的模型。
平衡态只是一个理想化的概念，它是在一定条件下对 实际情况的抽象和概括。
什么条件下可以看做平衡态？
一般，在实际问题中，只要系统状态的变 化很小就可以忽略时，可以近似看成平衡 态。
在外界环境条件不改变时，若热力学系统 的状态不随时间而改变，且系统中也不存 在宏观Fra Baidu bibliotek流动过程，则系统的此种状态称 为平衡态。
t
kdt
N N 0
0
ln( Nt ) kt N0
N t N0ekt
该方程表示群体初始密度为N0，生长率常数为k的 任意时刻t的群体密度。该方程有解析解。
该方程对应的曲线是典型的指数增长曲线。
该方程在一定范围内可用来描述多种正反馈或自生系 统，包括细菌的增长、人口的增长、兔群的增长等。
对于生命体，可能就意味着机体死亡。
定 态 （stationary state）
描述体系的状态函数不随时间变化的状态。
平衡态
稳态
dx f (x) 0 dt
非平衡态(nonequilibrium state)
非平衡态就是除平衡态以外的状态。
非平衡态有稳定和不稳定两类
大多数的稳态是非平衡态
在动态系统中稳定的定常状态称为系统的吸引 子。除混沌态以外的稳定定常状态称为平庸吸 引子，而奇异吸引子则指混沌这种非平衡态。
以上这种平衡态是宏观平衡态，也称为热 力学平衡态。 构成系统的大量分子仍在不停地做各种运 动（物理的和化学的），但不存在任何方 向上的优势运动。
自然界没有真正的平衡态！
稳 态（Steady State ）
指在一定外部环境范围内，系统内环境有赖 整体的元素的协调联系，得以维持体系内环 境相对不变的状态，保持动态平衡的这种状 态。
第二节：生命系统的模型
对于多数生物系统来说，一个量(X)的变化必然影 响到另一个或某些量(Y)的改变（可把它看成是数学上 的自变量和因变量的关系）。
根据自变量和因变量之间的变化特征，这两者之 间的函数关系表达式为
Y = F(X) 这样，一个方程就成了生物系统的最基本的模型。
确定X与Y之间函数关系的方法主要有两种： 经验法，产生经验模型方程； 解析法，产生理论模型方程。
2）大多数的微分方程和高阶的代数方程 都没有解析解，而只能通过数值解进行近 似。
二、建立微分方程模型实例
在微生物学中有一个普遍性的假定：细菌 数目越多，它们就生长越快。
这个假定可以写出生长的简单函数方 程： G = F(N) 式中，G是生长率，N是群体密度。
如果决定生长率是群体密度的直接函数，即生长率 正比于群体密度而不涉及其他因素，则生长率方程 可写成如下形式：
美国生理学家坎农（W.B.Cannon）于上个世 纪20年代末提出的，是内环境恒定概念的引伸 和发展。
稳态是在不断运动中所达到的一种动态平衡； 是在遭受着许多外界干扰因素的条件下，经过 系统内复杂的调节机制使各系统内元素协调活 动的结果，这种稳定是相对的，不是绝对的， 一旦稳态遭破坏，系统即遭到破坏。
第二章 系统生物学模型的 基本理论和基本方法
系统（system）
指由一群有关连的个体组成，根据预先编 排好的规则工作，能完成个别元件不能单 独完成的工作的群体。
系统生物学的首要任务是对系统状态进行 描述, 包括： 系统的元素与系统所处环境的描述 系统元素之间的相互作用关系和环境 系统之间的相互作用的深入分析
dxi dt
x
fi (x1, x2 , xn , p1, p2 , pm , t)
i 1,2,n
这里
xi 表示状态变量，比如：某分子的浓度 pi 表示参数，例如：反应动力学参数 t 表示时间
常微分方程和偏微分方程
常微分方程(ordinary differential equation，简称 ODE)：状态参量只依赖一个变量(一个自变量)
第一节：系统的状态
系统有哪些种状态？
平衡态
平 衡 态（equilibrium state）
在没有外界（指与系统有关的周围环境）影响 的条件下，系统各部分的宏观性质长时间内不 发生变化的状态。
这里所说的没有外界影响，是指系统与外界之间不通 过作功或传热的方式交换能量，否则系统就不能达到 并保持平衡态。
经验法和解析法得到的模型方程都须回到实 际系统中去进行验证，以证实模型的有效性。
一、微分方程模型
通过因变量对自变量的变化率的研究，用解 析方法把简单的微分方程变成生命系统模型。
是生物系统中最常见最重要的模型建立方法。
在生物系统建模中，刻画某状态变量随时间 变化的关系，用常微分方程来描述。
可以表达成如下的微分方程组：
G = kN
式中，k是比例常数。该方程是一条斜率为k的直线。
这种方程的价值有限，因为人们主要关心生长过程 中任意时刻的群体密度，而不关心其生长率。
为了使生长率方程变成能够给出任意时刻 的群体密度的形式，须把生长率方程写成 微分方程形式：
dN kN dt
这样可以通过积分重新建立群体生长的方程。
Nt dN
通解：满足微分方程的含有不定参数（积分常 数）的函数一般形式。 特解：由特定条件（如初始条件、边界条件等） 确定下来的特定函数。
解析解：也称为闭式解，是可以用解析表 达式来表达的解。
在数学上，如果一个方程或者方程组存在 的某些解，是由有限次常见运算的组合给 出的形式，则称该方程存在解析解。
1）只有少数微分方程有解析解；
牛顿第二定律：
d 2s f (s) m
dt 2
偏微分方程(Partial Differential Equation，简称 PDE)：含有未知函数及其偏导数的方程。
拉普拉斯方程，泊松方程 等
ODE已广泛应用在生命系统模型中。
ODE的阶数，由最高导数n决定。 微分方程的解：
经验法:
经验模型的产生依赖于足够多的实验数据。
用统计学的方法将几种可能的方程类型 分别与实验数据相拟合，选择一个最佳拟合 方程作为经验模型方程。
这种模型的特点是抛开被研究系统的复 杂理论，只利用实验数据就能求出模型方程。
解析法:
解析法必须依赖于对所研究对象的理论推导， 得到一个解析方程。
如果由实验得到的数据和由解析方程得到的 数据高度相关时，就可以把由理论推导的解 析方程作为被研究系统的模型。
平衡态只是一个理想化的概念，它是在一定条件下对 实际情况的抽象和概括。
什么条件下可以看做平衡态？
一般，在实际问题中，只要系统状态的变 化很小就可以忽略时，可以近似看成平衡 态。
在外界环境条件不改变时，若热力学系统 的状态不随时间而改变，且系统中也不存 在宏观Fra Baidu bibliotek流动过程，则系统的此种状态称 为平衡态。
t
kdt
N N 0
0
ln( Nt ) kt N0
N t N0ekt
该方程表示群体初始密度为N0，生长率常数为k的 任意时刻t的群体密度。该方程有解析解。
该方程对应的曲线是典型的指数增长曲线。
该方程在一定范围内可用来描述多种正反馈或自生系 统，包括细菌的增长、人口的增长、兔群的增长等。
对于生命体，可能就意味着机体死亡。
定 态 （stationary state）
描述体系的状态函数不随时间变化的状态。
平衡态
稳态
dx f (x) 0 dt
非平衡态(nonequilibrium state)
非平衡态就是除平衡态以外的状态。
非平衡态有稳定和不稳定两类
大多数的稳态是非平衡态
在动态系统中稳定的定常状态称为系统的吸引 子。除混沌态以外的稳定定常状态称为平庸吸 引子，而奇异吸引子则指混沌这种非平衡态。
以上这种平衡态是宏观平衡态，也称为热 力学平衡态。 构成系统的大量分子仍在不停地做各种运 动（物理的和化学的），但不存在任何方 向上的优势运动。
自然界没有真正的平衡态！
稳 态（Steady State ）
指在一定外部环境范围内，系统内环境有赖 整体的元素的协调联系，得以维持体系内环 境相对不变的状态，保持动态平衡的这种状 态。
第二节：生命系统的模型
对于多数生物系统来说，一个量(X)的变化必然影 响到另一个或某些量(Y)的改变（可把它看成是数学上 的自变量和因变量的关系）。
根据自变量和因变量之间的变化特征，这两者之 间的函数关系表达式为
Y = F(X) 这样，一个方程就成了生物系统的最基本的模型。
确定X与Y之间函数关系的方法主要有两种： 经验法，产生经验模型方程； 解析法，产生理论模型方程。
2）大多数的微分方程和高阶的代数方程 都没有解析解，而只能通过数值解进行近 似。
二、建立微分方程模型实例
在微生物学中有一个普遍性的假定：细菌 数目越多，它们就生长越快。
这个假定可以写出生长的简单函数方 程： G = F(N) 式中，G是生长率，N是群体密度。
如果决定生长率是群体密度的直接函数，即生长率 正比于群体密度而不涉及其他因素，则生长率方程 可写成如下形式：
美国生理学家坎农（W.B.Cannon）于上个世 纪20年代末提出的，是内环境恒定概念的引伸 和发展。
稳态是在不断运动中所达到的一种动态平衡； 是在遭受着许多外界干扰因素的条件下，经过 系统内复杂的调节机制使各系统内元素协调活 动的结果，这种稳定是相对的，不是绝对的， 一旦稳态遭破坏，系统即遭到破坏。
第二章 系统生物学模型的 基本理论和基本方法
系统（system）
指由一群有关连的个体组成，根据预先编 排好的规则工作，能完成个别元件不能单 独完成的工作的群体。
系统生物学的首要任务是对系统状态进行 描述, 包括： 系统的元素与系统所处环境的描述 系统元素之间的相互作用关系和环境 系统之间的相互作用的深入分析
dxi dt
x
fi (x1, x2 , xn , p1, p2 , pm , t)
i 1,2,n
这里
xi 表示状态变量，比如：某分子的浓度 pi 表示参数，例如：反应动力学参数 t 表示时间
常微分方程和偏微分方程
常微分方程(ordinary differential equation，简称 ODE)：状态参量只依赖一个变量(一个自变量)
第一节：系统的状态
系统有哪些种状态？
平衡态
平 衡 态（equilibrium state）
在没有外界（指与系统有关的周围环境）影响 的条件下，系统各部分的宏观性质长时间内不 发生变化的状态。
这里所说的没有外界影响，是指系统与外界之间不通 过作功或传热的方式交换能量，否则系统就不能达到 并保持平衡态。
经验法和解析法得到的模型方程都须回到实 际系统中去进行验证，以证实模型的有效性。
一、微分方程模型
通过因变量对自变量的变化率的研究，用解 析方法把简单的微分方程变成生命系统模型。
是生物系统中最常见最重要的模型建立方法。
在生物系统建模中，刻画某状态变量随时间 变化的关系，用常微分方程来描述。
可以表达成如下的微分方程组：
G = kN
式中，k是比例常数。该方程是一条斜率为k的直线。
这种方程的价值有限，因为人们主要关心生长过程 中任意时刻的群体密度，而不关心其生长率。
为了使生长率方程变成能够给出任意时刻 的群体密度的形式，须把生长率方程写成 微分方程形式：
dN kN dt
这样可以通过积分重新建立群体生长的方程。
Nt dN
通解：满足微分方程的含有不定参数（积分常 数）的函数一般形式。 特解：由特定条件（如初始条件、边界条件等） 确定下来的特定函数。
解析解：也称为闭式解，是可以用解析表 达式来表达的解。
在数学上，如果一个方程或者方程组存在 的某些解，是由有限次常见运算的组合给 出的形式，则称该方程存在解析解。
1）只有少数微分方程有解析解；